Mathematik in der Schule Erfahrungen vor Ort

Grundstufe – 5./6. Klasse

Was tun? Ich musste in der Grundschule 5./6. Klasse Basiswissen reaktivieren oder neu erarbeiten. Um z. B. die Aufgabe 56 : 8 zu lösen, braucht man das kleine Einmaleins und ich gab den Schülern Einmaleins-Tafeln (Abb. 1) mit nach Hause, die sie wie ein Gedicht lernen sollten.

Abbildung 1

56 : 8 = ?, 7 · 8 = ?, 56 : 7 = ?

Einige hielten sich daran und begriffen auch, dass das bei vielen Aufgaben sehr hilfreich und zeitsparend ist. In der 5. Klasse wurden im Mathematik-Unterricht Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetze behandelt. Allerdings empfanden die Schüler dieses Thema hauptsächlich als nervig, und es war ihnen nicht klar, dass man bei vielen Aufgaben intuitiv die Gesetze nutzt und die Nutzung auch Arbeit sparen kann. Bei der Berechnung von

erkannte anfangs niemand, dass hier die Anwendung von Distributiv- und Kommutativgesetz oder kurz gesagt ausklammern die Rechnung vereinfacht.

Bei geometrischen Aufgabenstellungen wie der Ermittlung von Längen/Umfängen und der Berechnung von Flächen oder Volumina von einfachen Objekten (Rechtecken, Quadern) gab es oft Begriffskonfusionen. D. h. es war nicht immer klar, dass ein Umfang (z. B. Umfang eines Fußballfeldes) in Metern (m etc.) gemessen wird und die Größe einer Fläche in Quadratmetern (m² etc.). Um nicht viele kleine Quadrate (eines karierten Blattes) oder Würfel zählen zu müssen, gibt es ja glücklicherweise einfache Berechnungsformeln. Dass bei der Berechnung der Fläche eines Klassenraums mit einer Länge L = 7m und Breite B = 5m mit der Formel F = L · B eigentlich auch das Kommutativgesetz der Multiplikation sowie der Begriff der Potenz eine Rolle spielt, überraschte die Schüler sehr:

auch die auf diese Weise „entstehende“ Flächeneinheit m². Es zeigte sich auch, dass bei der Arbeit mit Symbolen, Variablen die Schreibweise 2a oder 5x von den Schüler oft nicht verstanden wird. Dass hier der Multiplikationspunkt der Einfachheit halber weg gelassen wurde, war den Schülern nicht klar. Für uns als Lehrer selbstverständlich, war für die Schüler der fehlende Multiplikationspunkt eine Hürde, so dass einige mit der Aufgabe 2x + 5x nichts anfangen konnten. Diese für uns gängige Vereinfachung war für die Schüler, denen das nicht ausreichend erklärt wurde, ein Problem.

Den Umgang mit Brüchen habe ich oben schon als gewaltige Herausforderung benannt. Die Multiplikation von Brüchen wurde von den meisten als einfach verstanden. Auch die Verwendung von Torten- oder Pizzastücken verhindert nicht, dass bei der Aufgabe 13+16 als Ergebnis 29 angegeben wird. Mit den hier helfenden Begriffen wie kleinstes gemeinsames Vielfaches, dem Wissen, dass die Multiplikation einer Zahl mit 1 den Wert der Zahl nicht verändert und dass 1=11=22=33=… ist, fremdeln die Schüler. Die korrekte Bearbeitung in der Form

bzw.

wobei im letzten Schritt gekürzt wurde 36=1⋅32⋅3=12, konnte nur sehr mühsam nachvollzogen werden. Bei den eben durchgeführten Rechnungen wurde auch mit der Zerlegung von Zahlen in Produkte von ganzen Zahlen, vorzugsweise Primzahlen, ein wichtiger Fundamentalsatz der Arithmetik verwendet. Beispiele wie

wurden verstanden, waren aber nicht eigenständig durch die Schüler machbar.

Die letzten Zeilen sind zweifellos mathematisch sehr „gehaltvoll“, aber sie sind der wesentliche Schlüssel zum Umgang und zur Manipulation von Brüchen. Aber ich musste leider feststellen, dass diese Fähigkeiten nur unzureichend ausgebildet sind und diese Defizite auch noch bis in die Oberstufe mitgeschleift werden.

Bei all den eben diskutierten Themen zeigten sich gravierende Defizite bei den Schülern. Einiges konnte behoben werden, aber am Ende hatte ich zu wenig Zeit, um Versäumtes aus den ersten Schuljahren aufzuholen. Insgesamt bleibt festzustellen, dass zu wenig Wissen nachhaltig akkumuliert wurde und wird. In der Konsequenz muss man dann in den folgenden Klassenstufen oft zu früh ansetzen, wiederholen und verliert damit wichtige Zeit, um den eigentlich vorgesehenen Lernstoff bewältigen zu können.

Auf einige Ursachen für die unbefriedigende Situation am Ende der Grundschule komme ich am Ende dieses Erfahrungsberichtes zurück.

Oberstufe – 9./10. Klasse

Ein Schlüsselerlebnis habe ich oben schon erwähnt, nämlich die Schwierigkeit der Schüler, z. B. eine Gleichung der Form 10x−2=3 nach x aufzulösen. Offensichtlich war der Umgang mit und die Manipulation von Gleichungen an den Schülern vorbei gegangen. Dass man beide Seiten einer Gleichung mit dem gleichen Faktor multiplizieren oder durch den gleichen Divisor dividieren kann, ohne die Gültigkeit der Gleichung zu verletzen, oder auf beiden Seiten die gleiche Zahl addieren oder subtrahieren kann, ohne die Gültigkeit der Gleichung zu verändern, war den meisten Schülern der 9./10. Klasse fremd. Hier half die Argumentation mit einer im Gleichgewicht befindlichen Waage nur wenig. Die Abstraktion von der Verdoppelung in den Waagschalen, d. h. zu jeweils einer abgewogenen Tüte Mehl noch eine zweite Tüte in die Waagschale zu legen und durch ein Gegengewicht auszutarieren, zu der Gleichungsmanipulation

erwies sich als sehr hohe Hürde. Defizite dieser Art erschweren die Lösung selbst der einfachsten Gleichungen.

In der Oberstufe, speziell in den Klassen 9 und 10, ging es mir auch darum, die Schüler auf die wichtigen Prüfungen MSA (mittelerer Schulabschluss) und BBR (Berufsbildungsreife) als erste Schulabschlüsse vorzubereiten.

Ich musste leider feststellen, dass nahezu alle Defizite, angefangen vom Einmaleins bis zur Bruchrechnung, auch in der 9. und 10. Klasse noch vorhanden waren. Das lag sicherlich auch daran, dass sich die besten Schüler nicht in meinen Kurs begeben hatten. Aber traurig ist es schon, wenn die Lösung der Aufgabe 72 : 9 erst nach mehreren Versuchen gefunden/erraten wurde. Überraschenderweise war auch der Begriff der Wurzel (Quadratwurzel) nicht geläufig, so dass bei der Gleichung x² = 9 das große Nachdenken einsetzte. Als wir uns dann zu einer Lösung x = 3 durchgekämpft hatten, stellte ich die Frage, ob nicht auch x = −3 als Lösung möglich ist. Dabei stellte sich heraus, dass nur wenige die Faustregel „minus mal minus gleich plus“ parat hatten. Es galt also, wieder einmal beim Urschleim zu beginnen. Die obige Gleichung 10x−2=3 habe ich extra so gestaltet, dass sich mit x = 2 eine einfache, ganzzahlige Lösung ergibt, denn die Direktorin der Schule bat darum, dass möglichst einfache Ergebnisse, vorzugsweise ganzzahlig, herauskommen sollten, denn komplizierte, gebrochene Zahlen als Lösungen würden die Schüler möglicherweise überfordern, na ja . . .

Um aus Wertetabellen die resultierende Funktion der Form y = m · x + n zu bestimmen, musste zwangsläufig das Thema „Lösung von linearen Gleichungssystemen“ angegangen werden. Die erste Hürde mit der Aufstellung eines Gleichungssystems zur Bestimmung von m und n erwies sich als sehr schwierig zu überwinden. Bei der Lösung ergaben sich natürlich Schwierigkeiten, weil es z. B. nicht beherrscht wurde, eine Gleichung der Form 7 = m · 2 + n nach n aufzulösen, um dann das Ergebnis in die zweite Gleichung, z. B. 11 = m · 4 + n einzusetzen.

Da es in der Oberstufe auch quadratische Gleichungen und Parabeln gibt, habe ich am Ende auch dieses Thema behandelt. Mit „Kochrezepten“ und vorgegebenen Formeln (p-q-Formel, Mitternachtsformel, . . . ) gelang es mit Mühe, Lösungen zu bestimmen. Allerdings scheiterten einige Schüler an der Umstellung der Gleichung 2x² + 4x − 8 = 0 zu x² + 2x − 4 = 0, um die p-q-Formel anwenden zu können. Mein Versuch, über Gleichungen der Form

in Richtung quadratische Ergänzung zu gehen, scheiterte auf ganzer Linie. Da half auch nicht die Umformulierung zu dem Gleichungssystem

und dessen schrittweiser Lösung. Die Schwierigkeiten beim Thema „Quadratische Gleichungen“ wirkten sich zwangsläufig auf Kurvendiskussionen, Scheitelpunktbestimmung etc. aus.

Geometrische Aufgaben wie die Flächenberechnung von Dreiecken, die Bestimmung der Volumina von Prismen, Pyramiden und Kegeln hakte, weil oft auf dem Weg zur Lösung der Satz des Pythagoras angewandt werden musste. Schwierig wurde es auch, wenn die Katheten nicht a und b hießen und die Hypotenuse nicht c hieß. Außerdem erwies es sich auch als hinderlich, dass Quadratwurzelbestimmungen nur sehr holprig funktionierten. Sehr hilfreich und instruktiv erwies sich meine Vorbereitung mit einem 3D-Drucker, auf dem ich einen Würfel in drei identische Pyramiden aufteilte und somit die Pyramiden-Volumen-Formel „ein Drittel mal Grundfläche mal Höhe“ recht eindrucksvoll bestätigen konnte (s. Abb. 2). Außerdem zerlegte ich einen Spat in geeignete Teile, um aus diesen einen Quader zu basteln (s. Abb. 3). Das half, genau wie der Stapel eines Uno-Kartenspiels, das Cavalieri-Prinzip zu erklären. 3D-Drucker und die von mir produzierten Dinge fanden die Schüler interessant und werden die dazu besprochenen mathematischen Formeln, Prinzipien in guter Erinnerung behalten.

Abbildung 2

Würfel und Pyramiden

Abbildung 3

Spat und Quader

Bei der Durchsicht von Muster-MSA- und -BBR-Klausuren fiel mir auf, dass die Textaufgaben oft aber auch gar nichts mit der Realität zu tun haben (das fiel mir übrigens auch bei Mathematik-Klausuren in Gymnasien und Abitur-Klausuren auf). Das erschwerte zweifellos das Erkennen der eigentlichen mathematischen Aufgabe. Beispiele helfen hier sicherlich, aber geringfügige Abweichungen davon sorgen oft für Panik.

Trigonometrie, Sinus- und Kosinussatz haben mir die Mathematik-Lehrer der 9./10. Klasse ausgeredet. Überhaupt musste ich feststellen, dass es zwischen der schulischen Realität und dem von den Schulbehörden vorgegebenen Curriculum eine größere Lücke gibt, und ich habe den Eindruck, dass diese mit der Zeit wächst oder die Anforderungen generell heruntergeschraubt werden.

Ein Thema, das eigentlich in die Grundschule (5./ 6. Klasse) gehört, war auch noch in den oberen Klassen problembehaftet präsent: Operationen mit negativen Zahlen bzw. generell der Umgang mit negativen Zahlen. Ohne diese Regeln nun zu beweisen oder langatmig zu erklären, sollte „minus mal minus gleich plus“ bzw. „minus mal plus gleich minus“ einfach respektiert und verinnerlicht werden, was aber nicht der Fall war. Viele Schüler können deshalb auch einfache Aufgaben, in denen negative Zahlen vorkommen, nicht lösen. Generell führt die Subtraktion in kombinierten Aufgaben oft zu Fehlern, z. B. gab es bei der Aufgabe 5 − 3 + 2 nicht selten das Ergebnis 0. Auch die Regel bzw. Vereinbarung „Punktrechnung geht vor Strichrechnung“ bei Aufgaben ohne hilfreiche Klammern wird oft nicht beachtet, so dass merkwürdige Rechenergebnisse erhalten werden, die eigentlich Verwunderung hervorrufen müssten.

Das Hauptziel der Gemeinschaftsschule besteht im Erlangen eines Schulabschlusses, entweder der MSA oder die BBR. In den Klassen, mit denen ich im Förderunterricht zu tun hatte, lag die Bestehensquote weit unter 50 Prozent. Und die Schüler, die den Abschluss erreicht haben, schafften dies am wenigsten durch ein akzeptables Mathematik-Ergebnis. Hier führen auch die Kompensations-Möglichkeiten trotz miserabler Mathematik-Kenntnisse zu sehr guten Abschlussnoten. Sinnvoll ist das nicht, wir machen uns angesichts der Abschlussnoten etwas vor und die nachschulischen Ausbildungseinrichtungen schlagen die Hände über dem Kopf zusammen.

Überlegungen zu Ursachen der insgesamt unbefriedigenden Situation

Sicherlich sind meine Erfahrungen nicht unbedingt repräsentativ. Allerdings haben ich und auch viele Kollegen an Universitäten selbst bei Leuten mit Gymnasialabschluss ähnliche Erfahrungen gemacht. Es gibt sicherlich einen Anteil von Schülern, bei denen wir uns hinsichtlich der Mathematik keine Sorgen machen müssen, aber dieser Teil ist viel zu klein. Der Anteil der Schüler, auf den die oben angesprochenen Probleme und Wissensdefizite zutreffen, ist viel zu groß.

Ich will hier nur zwei Punkte nennen, die Ursachen für den absolut unbefriedigenden beschriebenen Zustand sein können.

• Die personelle Ausstattung der Schule ist sehr viel schlechter^[2] im Vergleich zu meiner Schulzeit (1957–1969), was schlussendlich dazu führt, dass es nur zwei Möglichkeiten für einen erfolgreichen Schulbesuch gibt: Entweder man ist in der richtigen Art und Weise begabt oder man hat ein Elternhaus, das alle Defizite auffangen kann. Für diese inhärente Ungerechtigkeit unseres Schulsystems gibt es auch viel Untermauerung durch Forschung (das ist also nicht nur anekdotische Evidenz).

• Die Schülerschaft ist extrem inhomogen geworden – Vorwissen, soziale Einbindung und Unterstützungsmöglichkeiten zu Hause waren in der Bundesrepublik und auch der DDR früher einheitlicher und sind eigentlich heute für die Lehrerschaft kaum noch mit herkömmlichen Unterrichtsmethoden zu behandeln. Soziale und gesundheitliche Probleme schlagen dort jetzt oft fast ungebremst durch sozialstaatliches Handeln auf. Kinder sind eine sehr kleine Gruppe, die in der nächsten Zeit auch noch rasant im Anteil kleiner werden wird. Kurzfristig handelnde Politik blendet ihre Bedürfnisse deshalb weitgehend aus (d. h. das wird nicht besser, sondern wohl eher immer schlimmer werden). Unterschiede in der Muttersprache der Eltern sind nur ein Aspekt dabei, zumal es auch viele Beispiele für Einwanderer gibt, die für die Bildung ihrer Kinder Himmel und Hölle in Bewegung setzen.

Ich habe in den zwei Jahren in der Gemeinschaftsschule die Erfahrung machen müssen, dass man mit einem starr vorgegebenen Curriculum die Mehrzahl der Schüler zunehmend „verliert“. Es kommen nur die Leistungsstarken mit. Das Niveau ist sehr heterogen, und man muss die Schüler dort abholen, wo sie stehen. Und wenn ich den Leistungsstand in den oberen Klassen sehe, dann wurden zu viele Schüler verloren, und den Rückstand aufzuholen, gelingt nur selten. Es ist hier den Lehrern, die sich hauptsächlich um die leistungsstärkeren und leistungsbereiten Schüler kümmern, kein Vorwurf zu machen. Aber das Resultat sind dann die abgehängten Schüler, die oftmals auch noch den Unterricht massiv stören. Helfen kann zweifellos ein größerer Personaleinsatz von Lehrern und Erziehern, aber das ist wohl bei den augenblicklichen Prioritäten in den Landeshaushalten und den kommunalen Rahmenbedingungen unrealistisch.

Es gab jüngst und auch in der Vergangenheit Vorschläge, die Hausaufgaben abzuschaffen. Ohne diesen Vorschlag geeignet zu erläutern, ist das natürlich Unsinn. Aber mit Blick auf Chancengleichheit ergibt der Vorschlag durchaus Sinn, wenn damit gemeint ist, dass die außerunterrichtlichen Aufgaben in Gemeinschaft mit Erziehern und Mitschülern nachmittags in der Schule, vorzugsweise Ganztagsschule bearbeitet werden. Allerdings erfordert das eine kompetente Betreuung durch Erzieher bzw. Lehrer oder auch Referendare. Dann würde das unterschiedliche Bildungsniveau und Interesse in den Elternhäusern keine oder nur eine marginale Rolle spielen. Es ist nämlich ein wesentlicher Unterschied, ob man mit seinen Hausaufgaben allein gelassen wird oder ob man sich im Kollektiv im Schulhort beraten und Hilfe holen kann. Hilfreich können auch Patenschaften und Lerngruppen sein. Denn die bringen sowohl die guten Schüler als auch die leistungsschwachen Schüler voran. Das muss nur klug organisiert und gefördert werden. Diese Instrumente werden zur Zeit auch an der Universität wieder entdeckt. Der in einem Gespräch durch die Direktorin geäußerte Wunsch, die Schüler für die Mathematik in AGs zu begeistern, ist verständlich. Allerdings erfordert das eine zumindest minimale Wissensbasis. Und trotz diverser moderner Modelle der Wissensvermittlung sind Anstrengungen, Übungen und auch Fleiß vonnöten, auch um am Ende etwas Spaß an der Mathematik zu haben. Und weil es ihrer Meinung nach den Schülern mehr Spaß macht, z. B. Theater zu spielen, wird halt Geld in eine Theater-AG investiert.

Eine Ursache für die Akkumulation von Wissensdefiziten ist zweifellos auch der häufige Ausfall von Unterricht. Wenn ich das Schulgebäude betrat, erblickte ich auf dem Display, auf dem der tägliche Stundenplan aller Klassen aufgeführt war, sehr viele Einträge „entfällt“. Unterrichtsausfall ist m. E. ein ernsthaftes Problem und auch ein Grund für die insgesamt unbefriedigende Situation.

Hinsichtlich der Anforderungen bei Prüfungen (MSA, BBR), musste ich feststellen, dass man trotz der Unfähigkeit, elementarste mathematische Aufgaben zu lösen, durch großzügige Kompensationsmöglichkeiten den MSA oder die BBR trotzdem erfolgreich schaffen kann. Dass dann die zukünftigen Ausbildungsstätten keine Jubelschreie ausstoßen, kann man gut verstehen. Allerdings sind die Bestehensquoten trotz der sehr niedrigen Hürden erschreckend gering. Wie ich und meine Kollegen an der Universität feststellen müssen, betrifft diese Problematik nicht nur MSA und BBR, sondern auch beim Abitur kommt man mit sehr wenig Mathematik trotzdem „durch“ und bereitet uns an der Universität wenig Freude. Völlig irreführend sind die Noten bei den Abschlüssen. So kann man mit einer 4 in Mathematik trotzdem einen 1,0-Abschluss erreichen. Das ist sowohl beim MSA als auch beim deutschen Zentralabitur der Fall, und damit werden die Abschlüsse in gewisser Weise wertlos.

Die zwei Jahre in der Schulrealität waren für mich recht aufschlussreich und haben trotz einiger ernüchternder Erlebnisse Spaß gemacht, auch weil es zumindest einige Schüler weitergebracht hat. Der bauliche Zustand der Schule war in Ordnung, die Toiletten waren sauber. Ein Zustand, der leider landesweit offensichtlich die Ausnahme darstellt. Die technische Ausstattung mit Tafeln war sehr modern, zum Teil mit Zugriff auf das Internet mit den intelligenten Tafeln. Hier wäre es aber wünschenswert, wenn diese Technik durch einen fähigen IT-Support in ihrer Funktionalität besser als nur als Whiteboard genutzt würde. Es nützt am Ende wenig, wenn die Schule mit viel Hardware „zugeschüttet“ wird, wenn sie diese mangels Betreuung/Anleitung nicht effizient nutzen kann.

Deutschland ist als rohstoffarmes Land auf kluge und leistungsfähige Ingenieuere, Techniker, Handwerker, gut ausgebildete Naturwissenschaftler, Informatiker und Mathematiker angewiesen.^[3] Und es ist beileibe nicht so, dass es jenseits der Gymnasien keine Talente auf diesen Gebieten gibt. Man muss sie nur frühzeitig entdecken und geeignet fördern. Denn wenn sie sich in chaotischen Klassen langweilen und rumdümpeln, gehen sie der Gesellschaft verloren, und das können wir uns eigentlich nicht leisten. Da in vielen dieser Fälle die Elternhäuser sich nur unzureichend engagieren, muss die Schule, sprich müssen die Lehrer hier ihrer Verantwortung gerecht werden.

Und am Ende kann es auch nicht schaden, wenn der Mathematik- und NaWi-Unterricht dazu beiträgt, dass die Schüler, evtl. mit ihren Eltern, ihre Strom- oder Gasrechnung nachvollziehen können, und die Preiserhöhung oder -senkung bei einer Änderung des Kilowatt-Stunden-Preises ausrechnen können. Aber die Berechnung des zu zahlenden Beispiel-Gesamtpreises bei einem Verbrauch von 700 m³, einem Brennwert von 11,5kWh m3 und einem Gaspreis von 7,7ctkWh ist leider für den Großteil der Schüler unmöglich.

Ich habe auf den Unterrichtsausfall und die augenblicklich oft problematische Personalsituation in der Schule hingewiesen. Das ist wohlbemerkt eine Momentaufnahme und ist auch in urbanen Ballungsgebieten weniger ausgeprägt als in der Fläche. Ein Blick in die Kindergärten von heute zeigt allerdings, dass sich in wenigen Jahren ein völlig anderer Bedarf an Lehrern und Schulen ergeben wird. Deshalb sollte man nicht blind den Forderungen von Berufsverbänden, Gewerkschaften und Kultus-Bürokraten nach einer drastischen Steigerung der Lehrerzahlen folgen. Hier wird zu „linear“ gedacht, man sollte heute daran denken, was in wenigen Jahren an Schulen und deren Ausstattung aufgrund der demoskopischen Entwicklung tatsächlich erforderlich sein wird.

Epilog

Wenn man nach Gründen für das in der Gesellschaft weit verbreitete „Fremdeln“ mit der Mathematik sucht, dann ist sicherlich auch Folgendes mitverantwortlich. Bei den diesjährigen Abiturprüfungen gab es geradezu einen Tsunami von Einser-Abituren und auch eine beträchtliche Anzahl von 1,0-Ergebnissen (nicht nur in Hessen). Ich habe mir den Berechnungs-Modus einmal angesehen und mit einigen Gymnasial-Lehrern diskutiert. Für mich erschütternd war es zu erfahren, dass man trotz miserabler Mathematik-Kenntnisse (z. B. einer 4 im Grundkurs) ein 1,0-Abitur erreichen kann. Das gleiche trifft auf die MSA-Noten-Berechnung zu. Dabei will ich keineswegs bestreiten, dass viele Schüler mit Einser-Abitur sicherlich auch gute Mathematik-Kenntnisse vorzuweisen haben, aber es geht eben auch ohne. Und wie mir viele Mathematik-Lehrer berichtet haben, wird Mathematik von vielen so früh wie möglich abgewählt. Die fatale Schlussfolgerung: Man kann auch ohne Mathekenntnisse ein Super-Abitur mit Eins-Komma-etwas schaffen. Der Wert solcher Abschlüsse ist in vielen Fällen eher fragwürdig. Einen unrühmlichen Anteil an diesen inflationären Entwicklungen hat hier sicherlich der Numerus clausus neben dem oft übereifrigen Streben nach Schul-Renommeé. Aber etwas mehr Ehrlichkeit wäre an dieser Stelle angebracht und hilfreich. Die daraus resultierenden Probleme haben dann die Hochschulen, Berufsschulen und Ausbildungsbetriebe.