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Lagrange'sche und Hamilton'sche Beschreibung partieller Differentialgleichungen

  • Assoz. Univ.-Prof. Dr.techn. Markus Schöberl ist Assoziierter Professor am Institut für Regelungstechnik und Prozessautomatisierung der Johannes Kepler Universität Linz. Hauptarbeitsgebiete: Nichtlineare Regelungstheorie, Systemtheoretische Untersuchung der Flachheit, Hamilton'sche Systembeschreibung für gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen, kovariante Beschreibung und systemtheoretische Analyse physikalischer Prozesse.

    Johannes Kepler Universität Linz, Institut für Regelungstechnik und Prozessautomatisierung, Altenberger Straße 69, A-4040 Linz, Tel: +43-(0)732-2468-6332

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    Univ.-Prof. Dr.techn. Kurt Schlacher ist Institutsvorstand am Institut für Regelungstechnik und Prozessautomatisierung der Johannes Kepler Universität Linz. Hauptarbeitsgebiete: Modellierung und Regelung von nichtlinearen konzentriert- und verteilt-parametrischen Systemen im Hinblick auf Industrieanwendungen und unter Verwendung von differentialgeometrischen und Computer-Algebra basierten Methoden.

    Johannes Kepler Universität Linz, Institut für Regelungstechnik und Prozessautomatisierung, Altenberger Straße 69, A-4040 Linz, Tel: +43-(0)732-2468-6321
Published/Copyright: July 31, 2015
at - Automatisierungstechnik
From the journal at - Automatisierungstechnik Volume 63 Issue 8

Zusammenfassung

In diesem Beitrag zeigen wir, dass für variationelle Feldtheorien erster Ordnung die partiellen Differentialgleichungen und die Randbedingungen anhand der Lagrange'schen Dichte eindeutig bestimmt werden können. Für Feldtheorien zweiter Ordnung schlagen wir ein Verfahren vor, welches es auch hier erlaubt (neben den PDEs) die Randbedingungen systematisch zu ermitteln. Dies erfolgt im Rahmen der Variationsformulierung mithilfe von Kontaktformen, welche als koordinatenfreie Variante der partiellen Integration verwendet werden. Ist man an einer evolutionären Darstellung der partiellen Differentialgleichungen interessiert, bietet sich eine Hamilton'sche Sichtweise an. In dieser Formulierung treten die Randbedingungen unter Umständen als Randtore in Erscheinung, was es erlaubt Leistungsflüsse über die Systemgrenzen zu analysieren. Auch in diesem Szenario ist es entscheidend die physikalisch korrekten Beziehungen am Rand zu gewinnen, was durch mehrfache partielle Integration nicht in eindeutiger Weise bewerkstelligbar ist. Zahlreiche Beispiele veranschaulichen die vorgestellten Methoden.

Abstract

In this contribution we show that for variational systems of first-order the partial differential equations and the boundary conditions can be derived uniquely once a Lagrangian density has been specified. Furthermore, we suggest a procedure, such that also in the case of second-order field theories (besides the pdes) the boundary conditions can be derived in a straightforward manner. This will be performed by using so-called contact forms in a variational setting. An evolutionary description of the partial differential equations can be achieved in a Hamiltonian setting, and here the boundary conditions may act as boundary ports. This allows to introduce power flows over the boundary and it is of great interest to deal with the physically meaningful boundary conditions, which cannot be derived in a unique fashion by applying repeated integration by parts. Several examples highlight the suggested methods.

Schlagwörter: Partielle Differentialgleichungen; Lagrange'sche Systeme; Hamilton'sche Systeme; Differentialgeometrie
Keywords: Partial differential equations; Lagrangian systems; Hamiltonian systems; differential geometry

Über die Autoren

Markus Schöberl

Assoz. Univ.-Prof. Dr.techn. Markus Schöberl ist Assoziierter Professor am Institut für Regelungstechnik und Prozessautomatisierung der Johannes Kepler Universität Linz. Hauptarbeitsgebiete: Nichtlineare Regelungstheorie, Systemtheoretische Untersuchung der Flachheit, Hamilton'sche Systembeschreibung für gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen, kovariante Beschreibung und systemtheoretische Analyse physikalischer Prozesse.

Johannes Kepler Universität Linz, Institut für Regelungstechnik und Prozessautomatisierung, Altenberger Straße 69, A-4040 Linz, Tel: +43-(0)732-2468-6332

Kurt Schlacher

Univ.-Prof. Dr.techn. Kurt Schlacher ist Institutsvorstand am Institut für Regelungstechnik und Prozessautomatisierung der Johannes Kepler Universität Linz. Hauptarbeitsgebiete: Modellierung und Regelung von nichtlinearen konzentriert- und verteilt-parametrischen Systemen im Hinblick auf Industrieanwendungen und unter Verwendung von differentialgeometrischen und Computer-Algebra basierten Methoden.

Johannes Kepler Universität Linz, Institut für Regelungstechnik und Prozessautomatisierung, Altenberger Straße 69, A-4040 Linz, Tel: +43-(0)732-2468-6321

Erhalten: 2015-2-9
Angenommen: 2015-6-15
Online erschienen: 2015-7-31
Erschienen im Druck: 2015-8-28

©2015 Walter de Gruyter Berlin/Boston

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  1. Frontmatter
  2. Editorial
  3. Ausgewählte Beiträge der GMA-Fachausschüsse 1.30 und 1.40
  4. Methoden
  5. Lagrange'sche und Hamilton'sche Beschreibung partieller Differentialgleichungen
  6. Backstepping-Methode für parabolische Systeme mit punktförmigem inneren Eingriff
  7. Konfigurationsflachheit linearer mechanischer Systeme
  8. Anwendungen
  9. Modellbasierte Analyse und Bewegungsplanung für das BionicKangaroo
  10. Ansätze zur modellprädiktiven Regelung der longitudinalen Strahldynamik in Synchrotronen
  11. Methoden
  12. Parametrische Modellordnungsreduktion für hierarchische selbstoptimierende Systeme
  13. Anwendungen
  14. Modellierung des Umschlingungswinkels eines auf Rollen geführten Metallbandes
  15. Modellbasierte Berechnung der Kontaktkräfte an einem elastischen Tastsensor
  16. Dissertation
  17. Model order reduction by Krylov subspace methods with global error bounds and automatic choice of parameters
  18. Adaptive Trajektorienfolgeregelung für Quadrokopter basierend auf der L1-adaptiven Regelungstheorie
https://doi.org/10.1515/auto-2015-0012
Keywords for this article
Partial differential equations; Lagrangian systems; Hamiltonian systems; differential geometry

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  17. Model order reduction by Krylov subspace methods with global error bounds and automatic choice of parameters
  18. Adaptive Trajektorienfolgeregelung für Quadrokopter basierend auf der L1-adaptiven Regelungstheorie
Downloaded on 18.4.2026 from https://www.degruyterbrill.com/document/doi/10.1515/auto-2015-0012/html
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