Volume 55, Issue 9

Im Folgenden wird gezeigt, dass in der Modellreduktion, Krylov-artige Projektionen konstruiert werden können, die gleichzeitig Momente des Systems angleichen und Polplatzierung erlauben. Das heißt, dass gewisse Momente des reduzierten Systems gleich mit Momenten des ursprünglichen Systems sind, und die Pole des reduzierten Systems an vorbestimmten Stellen der komplexen Ebene liegen. In this note we establish the fact that in model reduction there exist Krylov-type projections which achieve moment matching and pole placement, simultaneously. In other words, the reduced system matches a certain number of moments of the original system and its poles are at pre-assigned locations of the complex plane.

Der Beitrag beschäftigt sich mit der Stabilitätserhaltung bei der Ordnungsreduktion linearer Modelle und linearer Regler. Es wird eine Parametrierung angegeben, die ausgehend von einem Modell (oder Regler) hoher Ordnung eine große Klasse stabiler reduzierter Modelle (oder regelkreisstabilisierender reduzierter Regler) beschreibt. Hiermit können verschiedene bestehende Reduktionsverfahren, die mittels Ähnlichkeitstransformationen oder singulärer Perturbation operieren und nicht zwingend stabilisieren, sinnvoll erweitert werden. This note addresses the problem of instability in both model and controller reduction methods based on similarity transformations. For a given model (controller) a general framework is proposed that parameterizes a large set of reduced models (controllers) that preserve the stability of the original model (closed loop system). As an application of the main results, it is shown how different reduction methods can be modified, if they fail to maintain stability.

Es wird ein algebraischer Zugang zur Parameteridentifikation in linearen verteiltparametrischen Systemen vorgestellt. Dabei werden zunächst Systeme mit verzögertem Eingang und homogenen Anfangsbedingungen untersucht. Eine mögliche Verallgemeinerung auf Systeme mit inhomogenen Anfangsbedingungen wird am Beispiel einer autonomen Differenzen-Differenzialgleichung diskutiert. Ein analoger Zugang erlaubt die Identifikation von Parametern auch in Systemen, die durch (örtlich eindimensionale) lineare partielle Differenzialgleichungen beschrieben werden. Dabei werden lediglich die Trajektorien von Randgrößen als bekannt vorausgesetzt. Der Zugang wird am Beispiel von partiellen Differenzialgleichungen zweiter Ordnung bezüglich des Orts, insbesondere der eindimensionalen Wärmeleitungsgleichung, diskutiert. An algebraic approach for identification of parameters in linear infinite dimensional systems based on operational calculus is proposed. First, the method is derived for a system with delayed input and homogeneous initial conditions. A possible generalization to delay systems without input and non-homogeneous initial conditions is sketched. A similar approach is applicable to systems described by linear partial differential equations which, in particular, is discussed for second order p. d. e., as for instance the one dimensional heat equation.

Dieser Beitrag behandelt den Entwurf nichtlinearer Beoachter unter Verwendung des Hilfssatzes von Lyapunov. Zur Berechnung von Beobachtern mit näherungsweise linearer Fehlerdynamik mit dieser Methode werden zwei numerische Verfahren vorgeschlagen. Der erste Ansatz basiert auf einer Potenzreihenentwicklung der Lösung des beim Beobachterentwurf anfallenden Anfangswertproblems und liefert für hinreichend kleine Anfangsfehler eine näherungsweise lineare Fehlerdynamik in den Originalkoordinaten. Beim zweiten Ansatz wird das Galerkin-Verfahren verwendet, um die Nichtlinearitäten der Fehlerdynamik in einem vorgebbaren Bereich im Zustandsraum im quadratischen Mittel klein zu machen und damit näherungsweise zu linearisieren. Für beide Verfahren werden lineare Matrixgleichungen in expliziter Form hergeleitet, was eine Implementierung der vorgeschlagenen Beobachterentwurfsverfahren in numerischen Software-Pakten ermöglicht. Anhand eines einfachen Beispiels werden die beiden Ansätze zum Beobachterentwurf miteinander verglichen. This paper presents the design of nonlinear observers by using Lyapunov’s Auxiliary Theorem. On the basis of this result two approaches are proposed for the design of nonlinear observers with approximately linear error dynamics. The first approach uses a Taylor expansion of the solution of the initial value problem to be solved for the observer design. The resulting observer has an approximately linear error dynamics in the original coordinates provided that the initial error is sufficiently small. By using the Galerkin approach the second method results in an error dynamics with nonlinearities which are small in the least square sense on a prespecified interval in the state space. Linear matrix equations are derived for both methods enabling the implementation in numerical software packages. A simple example compares the properties of the proposed numerical observer design techniques.

Aufgrund der hohen Stelldynamik und des nahezu unbegrenzten Auflösungsvermögens eignen sich aktive Materialien in Verbindung mit hochpräzisen Wegsensoren und einer rauscharmen Steuerelektronik ganz besonders zur Realisierung hochdynamischer paralleler Feinstpositioniersysteme, sofern die benötigten Stellwege hinreichend klein bleiben. Die Führungselemente solcher Systeme werden fast ausschließlich mit Hilfe von elastischen Festkörpergelenken realisiert, sodass im mechanischen System harte Nichtlinearitäten wie Haft- und Gleitreibung nicht auftreten. In solchen Fällen stellt die Mechanik im Wesentlichen ein lineares strukturdynamisches System dar. Nichtlinearitäten werden in solchen Systemen hauptsächlich durch die aktorischen und sensorischen Übertragungscharakteristiken der aktiven Materialien bei Ansteuerung mit großen Signalen erzeugt. Gegenstand des vorliegenden Beitrages ist es nun, am Beispiel eines zweiachsigen parallelen piezoelektrischen Positioniersystems ein neuartiges Vorsteuerungskonzept abzuleiten, das mit Hilfe von operatorbasierten Methoden simultan die hysterese- und kriechbehafteten Materialnichtlinearitäten in den Aktoren, die ausgeprägte Strukturdynamik sowie die Verkopplung der Ein- und Ausgänge des Systems kompensiert. Due to the high dynamic positioning capability and the nearly unlimited resolution especially active materials in connection with high precision positioning sensors and a low noise control electronic are well suited for the realisation of ultra high precision parallel positioning systems if the necessary displacements are sufficiently small. The guiding elements of such systems are normally realised with elastic solid-state joints such that hard nonlinearities like static and sliding friction do not occur. In these cases the mechanical part of the system can be mainly regarded as a linear structural dynamical system. Nonlinearites in the overall system are mainly generated by the actuator and sensor characteristics of the active materials if they are driven with high amplitudes. The aim of this article is the development of an innovative feedforward control concept for a 2-dof parallel piezoelectric positioning system which is able to compensate simultaneously the complex hysteretic and creep material nonlinearities in the actuators as well as the pronounced structural dynamic and the coupling between the inputs and outputs of the system.

Dieser Beitrag beschreibt einen neuen Zugang zur Querdynamikregelung von Personenkraftwagen. Um eine physikalisch interpretierbare Schnittstelle zu der untergeordneten Radregelung zu schaffen, wird das Giermoment um die Hochachse des Fahrzeuges als fiktive Stellgröße eingeführt. Es kann gezeigt werden, dass die Fahrzeugquergeschwindigkeit des nichtlinearen Einspurmodells einen flachen Ausgang des Systems repräsentiert. Das vorgeschlagene Konzept zur Querdynamikregelung basiert auf einer Zwei-Freiheitsgrad-Regelkreisstruktur mit einer flachheitsbasierten Steuerung der Fahrzeugquergeschwindigkeit und einer Stabilisierung des Trajektorienfehlersystems. Da mit diesem Regelungskonzept auch eine indirekte Regelung des Schwimmwinkels erreicht wird, bringt dieser Ansatz diverse Vorteile gegenüber der klassischen Gierratenregelung mit sich. Darüber hinaus wird die Parametrierung des Regelkreises durch den modellbasierten Entwurf deutlich erleichtert. Für die praktische Realisierung werden nur herkömmliche Mess- und Stellgrößen eines ESP®-Systems benötigt. Das Regelungskonzept wurde anhand von zahlreichen Simulationen mit einem detaillierten Fahrzeugmodell getestet. This paper presents a new approach to the lateral dynamics control of passenger vehicles. In order to establish a physically meaningful interface to the subordinate wheel control system the yawing torque of the vehicle is introduced as a fictitious control input. It is shown that the lateral vehicle velocity of the nonlinear single track model serves as a flat output of the system. The proposed concept for the lateral dynamics control relies on a two degrees-of-freedom control structure with a flatness-based feedforward control of the lateral vehicle velocity and a stabilizing feedback control of the corresponding trajectory error system. Since the control concept indirectly corresponds to the control of the vehicle´s body side-slip angle, it brings along some advantages compared to the classical yaw rate control. Moreover, the model-based approach extremely simplifies the controller parametrization. For the practical implementation of this control scheme only the standard equipment of an ESP®-system is required. The proposed control concept has been tested by means of numerous simulation studies with a detailed vehicle model.