Kants Konzeption der geometrischen Darstellung

1.1 Die Aufgabe der geometrischen Darstellung

Die Aufgabe der mathematischen Darstellung ist im Kontext der für Kants kritische Philosophie zentralen These zu sehen, dass die Mathematik im Wesentlichen aus synthetischen Erkenntnissen besteht und also Begriffe und Anschauungen verbindet.^[15] Ein mathematischer Begriff ist Kant zufolge daher dadurch ausgezeichnet, dass er „schon eine reine Anschauung in sich [enthält], und alsdann kann er construirt werden“ (KrV, B 747; AA 03: 472.34–35). Präziser noch ist vielleicht Kants Bestimmung, dass mathematische Begriffe, da sie „schon auf eine Anschauung a priori gehen, auch eben darum a priori und ohne alle empirische data in der reinen Anschauung bestimmt gegeben werden können“ (KrV, B 752; AA 03: 475.18–20). Diese Formulierung macht deutlich, dass mathematische Begriffe zum einen innerlich auf Anschauungen bezogen sind, ohne sie doch selbst enthalten zu können, so dass der Mathematiker „zu Eigenschaften, die in diesem Begriffe nicht liegen, aber doch zu ihm gehören, hinausgehen“ (KrV, B 746; AA 03: 472.02–03) muss.^[16] Zum anderen können wir „unsere Begriffe in der Anschauung a priori bestimmen, indem wir uns im Raume und der Zeit die Gegenstände selbst durch gleichförmige Synthesis schaffen“ (KrV, B 751; AA 03: 475.09–12).^[17] Die mathematischen Begriffe müssen somit in der Anschauung dargestellt werden, weil sie inhärent auf die Anschauung bezogen und daher nur auf dem Wege ihrer Veranschaulichung zu bestimmen sind.

Versuchen wir uns der Darstellung mathematischer Begriffe mit Hilfe von Kants rekurrentem Beispiel des Dreiecks zu nähern. Wenn wir ein Dreieck konstruieren, sind wir gezwungen, es auf vielfältige Weise zu spezifizieren und zahlreiche Eigenschaften zu fixieren. Nicht nur die Seiten müssen zwangsläufig eine bestimmte Länge haben und die Winkel eine gewisse Größe. Das Dreieck wird darüber hinaus spitz-, recht- oder stumpfwinklig sein und damit zugleich anschaulich klassifiziert. Es ist so unvermeidbar, dass das Dreieck im Zuge seiner Konstruktion Bestimmungen erfährt, die im allgemeinen Begriff vielleicht angelegt, aber nicht festgelegt sind. Sie sind dagegen in der Anschauung eines Dreiecks und in der ihr eigenen Form des Raums zwangsläufig gegeben.

Diese konkrete Bestimmung des Dreiecks im Übergang vom allgemeinen Begriff zur besonderen Anschauung sollte jedoch nicht voreilig mit dem Vorgehen des Mathematikers gleichgesetzt werden, seine Begriffe darzustellen. Sie verdeutlicht vielmehr die zentrale philosophische Herausforderung, vor der Kant steht, nämlich zu begründen, wie der Mathematiker mit Hilfe eines einzelnen Dreiecks den allgemeinen Begriff des Dreiecks in der Anschauung darzustellen vermag. Diese Vermittlung zwischen der Allgemeinheit des Begriffs und der Besonderheit der Anschauung ist der Mathematik unverzichtbar, stand aber spätestens seit einer Debatte zwischen John Locke und George Berkeley grundsätzlich in Frage.^[18] Beide entwickelten ihre Argumente bereits am Beispiel des Dreiecks, sie gingen aber anders als Kant von den einzelnen Dreiecken aus, um die Entstehung des allgemeinen Begriffs aus der Vielfalt der konkreten Erfahrungen zu beschreiben. Sie nahmen dabei an, ein solcher Begriff müsse alle möglichen Bestimmungen von Dreiecken enthalten, und folgerten, dass er insbesondere einander ausschließende Attribute umfassen müsse, wie z. B. die Spitz-, Recht- und Stumpfwinkligkeit. Daraus schlossen Locke und Berkeley zunächst einhellig, dass ein allgemeiner Begriff des Dreiecks aufgrund seiner inhärenten Widersprüchlichkeit unmöglich sei. Sie blieben aber uneins darüber, ob die Annahme seiner fiktiven Existenz zumindest pragmatisch zu Zwecken des Erkenntnisgewinns und der Kommunikation zu rechtfertigen sei, wie Locke argumentierte, oder, was Berkeley vorschlug, dagegen auf das Vorgehen des Mathematikers zu achten sei, der von den spezifischen Eigenschaften der Dreiecke absehe und sie ohne jeden Rekurs auf einen allgemeinen Begriff schlicht als Stellvertreter für alle Dreiecke gebrauche.^[19]

Die Frage, wie der allgemeine Begriff mit der einzelnen Anschauung vermittelt werden kann, stellt sich auch Kant.^[20] Er geht zwar davon aus, dass der Begriff des Dreiecks gegeben ist, betrachtet dessen Darstellung in der Anschauung aber als das entscheidende Charakteristikum der mathematischen Erkenntnis. Wie sollte sich jedoch ein Begriff anschaulich darstellen lassen, wenn die Anschauung die Gegenstände spezifiziert und sich daher von der Allgemeinheit des Begriffs entfernt? Grundsätzlicher formulieren lässt sich dieser Einwand, indem Kants Definition von Begriffen als allgemeinen Vorstellungen, unter die viele Gegenstände zu subsumieren sind, und von Anschauungen als Vorstellungen einzelner Gegenstände hinzugezogen wird: Zwischen der Singularität des Gegenstands der Anschauung und der Allgemeinheit des Begriffs scheint es prinzipiell keine Vermittlung geben zu können.^[21] Der Versuch des Mathematikers, „das Allgemeine im Besonderen, ja gar im Einzelnen“ (KrV, B 742; AA 03: 469.28–29) darzustellen, wäre zum Scheitern verurteilt, weil die einzelnen Gegenstände der Anschauung der Allgemeinheit des Begriffs nicht entsprechen könnten.

Kant selbst formuliert diesen Einwand im Schematismus-Kapitel der Kritik der reinen Vernunft scheinbar in aller wünschenswerten Klarheit. Er unterscheidet dort wiederum am Beispiel des Dreiecks scharf zwischen dem Begriff, der auf unanschauliche Weise alle Dreiecke überhaupt umfasst, von dessen Schema, das die Vermittlung des Begriffs mit den Erscheinungen beliebiger, aber konkreter Dreiecke gewährleistet, sowie vom Bild, das nichts anderes ist als die Vorstellung eines einzelnen, bestimmten Dreiecks.^[22] Aus dieser Unterscheidung folgert Kant unmittelbar, dass ein solches Bild, d. h. eine konkrete, einzelne Anschauung, keinem Begriff entsprechen kann, da es stets einen besonderen Gegenstand vorstellt, während ein Begriff per definitionem allgemein ist:

Dem Begriffe von einem Triangel überhaupt würde gar kein Bild desselben jemals adäquat sein. Denn es würde die Allgemeinheit des Begriffs nicht erreichen, welche macht, daß dieser für alle, recht oder schiefwinklichte ec. gilt, sondern immer nur auf einen Theil dieser Sphäre eingeschränkt sein. (KrV, B 180; AA 03: 136.02–06)

Diese Argumentation ist jedoch keineswegs der unmissverständliche Einwand gegen die Darstellung des Begriffs durch die Anschauung, als der sie in der Literatur zu Kants Theorie der Geometrie meist verstanden wurde. Denn sie ist im konkreten Kontext des Schematismus-Kapitels zu verstehen und steht dort unter anderen systematischen Voraussetzungen als Kants Konzeption der mathematischen Darstellung in der „Transscendentalen Methodenlehre“.

Im Schematismus-Kapitel versucht Kant ein wichtiges Element seiner Theorie der empirischen Erkenntnis abzusichern. Er versucht nämlich zu zeigen, dass die allgemeinsten, apriorischen Begriffe oder die Kategorien des Verstandes auf die in der Anschauung gegebenen Erscheinungen angewandt werden können, die dadurch objektiv bestimmt und empirisch erkannt werden.^[23] Die Begriffe weisen so zwar keinen unmittelbaren Bezug auf den Gegenstand der Erkenntnis auf, worin ja auch gerade Kants kritische Pointe gegen den Rationalismus zu sehen ist. Sie beziehen sich aber notwendig auf Erscheinungen, die in der Anschauung gegeben sind, um sie unter sich zu begreifen.^[24] Begriffe haben hier folglich die Aufgabe, objektiv zu bestimmen, was in der Anschauung gegeben ist. Die Schemata haben dabei die Aufgabe, zwischen allgemeinen Begriffen und singulären Anschauungen zu vermitteln. Sie fungieren im Falle mathematischer Begriffe so als „Regel der Synthesis der Einbildungskraft in Ansehung reiner Gestalten im Raume“ oder im Falle empirischer Begriffe als „Regel der Bestimmung unserer Anschauung gemäß einem gewissen allgemeinen Begriffe“ (KrV, B 180; vgl. AA 03: 136.08–13). Das Schematismus-Kapitel handelt folglich von der Bestimmung der Anschauung durch Begriffe.

In der „Transscendentalen Methodenlehre“ behandelt Kant dagegen die mathematische Konstruktion, von der im Schematismus-Kapitel kein einziges Mal die Rede ist. In der mathematischen Darstellung haben Begriffe und Anschauungen aber eine andere Funktion als in der Erkenntnis von gegebenen Erscheinungen. Die Mathematik bezieht Begriffe nicht auf Anschauungen, um zum Beispiel ein besonderes Dreieck und seine Eigenschaften zu bestimmen. Sie möchte vielmehr Eigenschaften von Dreiecken im Allgemeinen erkennen. Deshalb geht sie vom allgemeinen Begriff aus und versucht sich an seiner

geometrische[n] Construction, vermittelst deren ich in einer reinen Anschauung […] das Mannigfaltige, was zu dem Schema eines Triangels überhaupt, mithin zu seinem Begriffe gehört, hinzusetze, wodurch allerdings allgemeine synthetische Sätze construirt werden müssen. (KrV, B 747; AA 03: 472.09–14)

Kant gibt den Beweis des Winkelsummensatzes als Beispiel, dass nämlich für alle Dreiecke die Summe der Innenwinkel gleich zwei rechten ist.^[25] Die Konstruktion des Begriffs dient somit dazu, an der einzelnen Anschauung allgemeine Charakteristika des Begriffs zu verhandeln und „durch eine Kette von Schlüssen, immer von der Anschauung geleitet“ (KrV, B 744 f.; AA 03: 471.10–11), allgemeine mathematische Aussagen zu beweisen.^[26]

Das Verhältnis von Begriff und Anschauung ist in der mathematischen Darstellung deshalb ein vollkommen anderes als im Falle der objektiven Erkenntnis. Die Mathematik hat nicht das Ziel, Erscheinungen objektiv zu bestimmen, die in der Anschauung gegeben sind oder die sie selbst hervorgebracht hätte. Stattdessen konstruiert sie die ihr eigenen Begriffe, um sie „in der Anschauung a priori [zu] bestimmen“ (KrV, B 751; AA 03: 475.09–10) und auf diesem Wege Erkenntnisse über sie zu gewinnen. Die Mathematik begreift nicht Anschauungen, sie veranschaulicht ihre Begriffe. Deshalb ist das Verhältnis von Begriff und Anschauung nicht auf die Erscheinung ausgerichtet, die die Anschauung gibt und der Begriff bestimmen soll, sondern auf den Begriff, zu dessen Darstellung die Anschauung konstruiert wird. Diese prinzipielle Unterscheidung reduziert sich folglich nicht darauf, dass die mathematische Erkenntnis nach Kant a priori ist, die objektive Erkenntnis dagegen empirisch. Sie betrifft die Form der objektiven Erkenntnis, die den Gegenstand der Anschauung und seine begriffliche Bestimmung zum Ziel hat, und die Form der mathematischen Erkenntnis, die auf den Begriff abzielt und ihn in der Anschauung bestimmt. Nur aufgrund dieser besonderen Form eignet sich die Mathematik für den Vergleich mit der Philosophie, der im Zentrum der „Transscendentalen Methodenlehre“ steht. Denn die Mathematik hat mit der Philosophie gemein, dass sie – anders als die empirische Erkenntnis – keine Erkenntnis der Erscheinungen, sondern der Begriffe ist.

Es erscheint daher ratsam, die Konzeption der Darstellung der „Transzendentalen Methodenlehre“ nur mit großer Umsicht auf die Begrifflichkeiten des Schematismus-Kapitels zu beziehen und dabei die argumentativen Kontexte und Voraussetzungen sorgfältig zu unterscheiden, auch wenn das wiederkehrende Beispiel des Dreiecks anderes nahelegen mag. Zunächst muss festgestellt werden, dass die mathematische Darstellung des Dreiecks nicht mit dem ‚Bild‘ eines Dreiecks im Sinne des Schematismus-Kapitels gleichzusetzen ist, da sie Begriff und Anschauung in ein anderes funktionales Verhältnis setzt als in der objektiven Erkenntnis, die die Gegenstände der Anschauung durch Begriffe bestimmt. Kants Argument, Begriff und ‚Bild‘ könnten nicht einander entsprechen, ist daher keineswegs der eindeutige Einwand gegen die mathematische Darstellung, wie in der Literatur zu Kants Theorie der Geometrie meist angenommen wurde. Aber auch weniger kritische Deutungen laufen Gefahr, die Sachlage zu verwirren, wenn sie die geometrische Darstellung im Rekurs auf das Schematismus-Kapitel erläutern und wie Lisa A. Shabel als „universalizable image“ verstehen.^[27] Diese Bezeichnung ruft nicht nur den voraussehbaren Einwand Michael Friedmans auf den Plan, es handele sich mit Blick auf Kants scharfe Unterscheidung von Begriff, Schema und Bild um ein Oxymoron.^[28] Shabels Formulierung übersieht wie auch Friedmans Einwand vor allem, dass die „Transscendentale Methodenlehre“ mit Bezug auf die mathematische Arbeitsweise ein anderes Verhältnis von Begriff und Anschauung konzipiert als das Schematismus-Kapitel mit Bezug auf die empirische Erkenntnis.

Dieser Befund hat methodische Konsequenzen: Die Rolle der Anschauung innerhalb der mathematischen Darstellung muss in einer funktionalen Perspektive gedeutet werden, wenn Begriff und Anschauung in der Darstellung des Begriffs prinzipiell ein anderes Verhältnis eingehen als in der Bestimmung des Gegenstands der Anschauung durch den Begriff. Insbesondere kann die vertraute Definition der Anschauung nicht vorausgesetzt werden, insofern sie an das Modell der empirischen Erkenntnis gebunden bleibt.^[29] Stattdessen gilt es zu betrachten, wie der Mathematiker sich der Anschauung bedient, um auf dem Wege ihrer Konstruktion den Begriff vor Augen zu stellen. Kant ist eine solche funktionale Perspektive, die den jeweiligen Gebrauch von Anschauung und Begriff betrachtet, keineswegs fremd. Denn auch singuläre Termini – also Begriffe, die nur einen einzigen Gegenstand umfassen – scheinen zunächst unmöglich, da Begriffe als solche der kantischen Definition nach allgemein sind. Aber Kant gesteht mit Verweis auf den möglichen „Gebrauch“ (Log, AA 09: 91.20) die Möglichkeit singulärer Termini durchaus zu.^[30] Es wird sich zeigen, dass Kants Theorie der Geometrie und seine Konzeption der mathematischen Darstellung auf analoge Weise die Möglichkeit eines allgemeinen Gebrauchs der Anschauung ins Auge fassen, der nur prima facie der Definition der singulären Anschauung widerspricht.

1.2 Der reflektierende Vollzug der geometrischen Darstellung

Nachdem die Aufgabe der Darstellung des Begriffs in der Anschauung bestimmt wurde, soll im Folgenden erläutert werden, wie es möglich ist, im einzelnen Dreieck den allgemeinen Begriff des Dreiecks darzustellen und vermittels der Konstruktion einer Anschauung Erkenntnisse über alle möglichen Dreiecke zu gewinnen. Der Geometer, so Kants Antwort, konstruiert seinen Begriff in der Anschauung, um im Vollzug auf die ‚Handlung‘ der Konstruktion zu reflektieren:

Die einzelne hingezeichnete Figur ist empirisch und dient gleichwohl, den Begriff unbeschadet seiner Allgemeinheit auszudrücken, weil bei dieser empirischen Anschauung immer nur auf die Handlung der Construktion des Begriffs […] gesehen [wird]. (KrV, B 741 f.; AA 03: 469.20–25)

Dieser Gedanke ist grundlegend für Kants Verständnis der geometrischen Darstellung und insbesondere für seine Bestimmung des mathematischen Gebrauchs der Anschauung. Der Mathematiker konstruiert eine Anschauung, um auf die Handlung der Konstruktion zu reflektieren. Diese Handlung besteht darin, ausgehend von einem mathematischen Begriff eine Anschauung hervorzubringen, die unter diesen Begriff fällt. Diese Anschauung ist daher keine einzelne und isolierte Anschauung. Sie ist von vornherein eingebunden in die Reflexion auf den Zusammenhang und die Handlung der Konstruktion, deren Verfahren im darzustellenden Begriff gegeben ist.^[31] Dadurch kann dieses allgemeine Verfahren nicht nur anschaulich vor Augen geführt werden. Der anschauliche Gegenstand erscheint auch selbst im Horizont dieses Verfahrens und damit im Lichte des allgemeinen Begriffs. Auf diese Weise wird es möglich, sich vermittels dieses einzelnen Gegenstands reflektierend auf den allgemeinen Begriff zu beziehen, unter den er fällt.

Für eine angemessene Deutung von Kants Konzeption der geometrischen Darstellung ist es daher entscheidend, den reflektierenden Grundzug des Darstellens zum Ausgangspunkt zu nehmen. Es ist dabei sogleich zu betonen, dass dieser reflektierende Grundzug als tatsächlicher Vollzug der Darstellung zu verstehen ist. Damit ist nicht gemeint, dass die Darstellung – wie alle Erfahrung in der Kritik der reinen Vernunft – mit Bezug auf die ‚Handlung‘ der Synthese zu begreifen ist, durch die sie zuallererst zustande kommt.^[32] Denn die Darstellung ist nicht als bloßes Resultat einer solchen ‚Handlung‘ zu begreifen, wie es im Falle der Anschauung eines Gegenstands oder der empirischen Erkenntnis mitunter erscheinen kann. Sie basiert wesentlich darauf, dass im Vollzug der Konstruktion anhand der entstehenden Anschauung zugleich auf ihre allgemeine Regel reflektiert wird. Ohne die Durchführung der Konstruktion und die gleichzeitige Reflektion auf deren allgemeine Regel ist der eigentliche Gegenstand der Darstellung, der allgemeine Begriff, nicht zu fassen, er fällt vielmehr zurück auf den Gegenstand der Anschauung, dieses Dreieck, das unter den allgemeinen Begriff des Dreiecks fallen mag, ihn aber keineswegs darstellt. Die Darstellung ist nur im reflektierenden Vollzug oder zumindest Nachvollzug der Konstruktion anhand der Anschauung möglich. Daher bietet sich Kants Theorie der geometrischen Darstellung auch auf besondere Weise dazu an, sie mit Bezug auf das Verständnis der Euklidischen Geometrie im 18. Jahrhundert und der mit ihr verbundenen mathematischen Praxis zu deuten, wie es Lisa A. Shabel in ihrer ausgezeichneten Studie Mathematics in Kant’s Critical Philosophy. Reflections on Mathematical Practice getan hat.^[33]

Die geometrische Darstellung als reflektierenden Vollzug der Konstruktion des Begriffs in der Anschauung zu bestimmen, stellt zugleich den Ausgangspunkt dafür dar, die Funktion der Anschauung innerhalb der Darstellung und damit eine zentrale Pointe von Kants Theorie der Geometrie präziser zu fassen. Es ist dabei zuallererst unmissverständlich festzustellen, dass sich die Anschauung, deren sich der Mathematiker bedient, von der Anschauung unterscheidet, wie sie Kant im Allgemeinen definiert. Nach dieser Definition ist die Anschauung durch ihren unmittelbaren Bezug auf den singulären Gegenstand ausgezeichnet, während der Begriff sich vermittels eines gemeinsamen Merkmals auf eine Vielzahl von Gegenständen bezieht:

Diese [Erkenntnis] ist entweder Anschauung oder Begriff (intuitus vel conceptus). Jene bezieht sich unmittelbar auf den Gegenstand und ist einzeln, dieser mittelbar, vermittelst eines Merkmals, was mehreren Dingen gemein sein kann. (KrV, B 377; AA 03: 250.04–07)

Diese Bestimmung der Anschauung charakterisiert deren Funktion in der objektiven Erkenntnis durch die Unmittelbarkeit des Bezugs und die Singularität des Gegenstands. Innerhalb der mathematischen Darstellung des Begriffs hat die Anschauung dagegen eine andere Funktion. Denn zum einen ist der Bezug zum Gegenstand der Anschauung hier insofern nicht unmittelbar, als er durch die Reflexion auf die Handlung und den Zusammenhang der Konstruktion des Begriffs gerahmt ist. Zum anderen ist der Gegenstand der Anschauung dadurch nicht mehr im strengen Sinne singulär: Dank der Reflexion auf die Konstruktion der Anschauung, die sich ‚an‘ ihrem Gegenstand vollzieht – wie Kant mit einer charakteristischen Präposition gerne formuliert^[34] –, führt dieser Gegenstand ein allgemeines Verfahren vor Augen und stellt er den konstruierten allgemeinen Begriff dar. Die Anschauung erfährt innerhalb der geometrischen Darstellung somit eine Verallgemeinerung:

Zur Construction eines Begriffs wird also eine nichtempirische Anschauung erfordert, die folglich, als Anschauung, ein einzelnes Object ist, aber nichts destoweniger, als die Construction eines Begriffs (einer allgemeinen Vorstellung) Allgemeingültigkeit für alle mögliche Anschauungen, die unter denselben Begriff gehören, in der Vorstellung ausdrücken muß. (KrV, B 741; AA 03: 469.11–16)

Die Anschauung rückt demnach gleichsam in die Nähe des Begriffs, ohne dass sie deshalb zum Begriff würde. Denn sie fungiert im Zusammenhang der Darstellung zum einen wie der Begriff als „reflectirte Vorstellung“ (Log, AA 09: 91.09–10), die eine Gültigkeit für viele andere Anschauungen ausdrückt. Zum anderen bezieht sie sich auf diese aber nicht wie Begriffe über gemeinsame Merkmale, sondern vermittels der allgemeinen Konstruktion, aus der wie sie selbst auch jene Anschauungen hervorgehen könnten. Diese Verallgemeinerung bezieht sich zum einen auf Anschauungen, die unter denselben Begriff fallen, von dem die Konstruktion der Anschauung ausgeht. Sie vollzieht sich aber innerhalb der Darstellung, d. h. ohne Rekurs auf den Begriff.

Diese immanente Verallgemeinerung der Anschauung erklärt wohl auch, warum Kant in diesem Zusammenhang gelegentlich vom Schema spricht:

[…] wie dieses Einzelne unter gewissen allgemeinen Bedingungen der Construction bestimmt ist, eben so der Gegenstand des Begriffs, dem dieses Einzelne nur als sein Schema correspondirt, allgemein bestimmt gedacht werden muß. (KrV, B 742; AA 03: 469.30–33)

Dieses Zitat belegt zunächst nochmals, dass die Anschauung im Rahmen der Darstellung nicht als ‚Bild‘ im Sinne des Schematismus-Kapitels aufzufassen ist, sondern wegen ihrer inhärenten Verallgemeinerung eher an ein Schema erinnert.^[35] Dies sollte jedoch nicht zu der Hoffnung verleiten, die Konzeption der Darstellung sei durch den bekannten Begriff des Schemas aus dem Schematismus-Kapitel zu erklären. Dort hat das Schema die Aufgabe, „einem Begriffe sein Bild zu verschaffen“ (KrV, B 180; AA 03: 135.36), und bringt somit stets die Anschauung eines Gegenstands hervor. Es ist aber selbst nicht in der Anschauung zu fassen und kann in diesem Sinne „niemals anderswo als in Gedanken existiren“ (KrV, B 180; AA 03: 136.07). Die geometrische Darstellung verallgemeinert dagegen die Anschauung im Hinblick auf den Begriff, der konstruiert wird, und transformiert sie dadurch zu einem ‚Schema‘, das selbst anschaulich ist.^[36] Dieses ‚Schema‘ charakterisiert somit anders als im Schematismus-Kapitel eine Verallgemeinerung der Anschauung, die innerhalb des Anschaulichen verbleibt und deshalb zur Veranschaulichung des Begriffs dienen kann: Da in der mathematischen Darstellung die Anschauung mit dem Begriff vermittelt ist, von dem die Konstruktion ausgeht, wird es möglich, sich vermittels des anschaulichen Gegenstands auf den allgemeinen Begriff zu beziehen, den er selbst instantiiert.

In der Literatur wurde diese anspruchsvolle Konzeption der geometrischen Darstellung bislang nicht herausgearbeitet und dem von Kant eingeführten Begriff keine Beachtung geschenkt. Stattdessen wurde die geometrische Darstellung meist auf der Grundlage der kantischen Definition der Anschauung verstanden, ohne dass diese Voraussetzung befragt worden wäre. Jaakko Hintikka vertritt so die einflussreiche Auffassung, dass die Anschauung und ihr Gegenstand die Aufgabe hätten, „particular representatives“ bzw. „particular instances of general concepts“^[37] zu geben. Er akzentuiert damit nicht nur den Umstand, dass der Gegenstand der Anschauung dem Begriff zu subsumieren ist, von dem die Konstruktion ausgeht, sondern sieht die Aufgabe der Anschauung auch in erster Linie darin, die mathematische Existenz des konstruierten Gegenstands zu beweisen.^[38] Diesen Ansatz hat Michael Friedman in seinen ingeniösen Studien ausgebaut, indem er die Theorie der Geometrie in der „Transscendentalen Methodenlehre“ auf das Problem der Teilbarkeit und Unendlichkeit des Raums in der „Transscendentalen Ästhetik“ bezieht und die unendliche Iterierbarkeit der Operationen des Teilens oder des Fortschreitens als verschleierte Aussagen über die Existenz unendlicher Modelle des kontinuierlichen Raums versteht, die in der Logik zur Zeit Kants selbstredend nicht formuliert werden konnten.^[39] Diese logischen Deutungen verstehen die mathematische Darstellung somit primär als Anschauung im Sinne der kantischen Definition und damit als unmittelbare und singuläre Vorstellung eines Gegenstands, um ihre Konstruktion als eine ins Anschauliche gewendete Existenzaussage zu begreifen.

Da die mathematische Darstellung in diesem ersten Schritt auf einen unmittelbaren, ‚präsentativen‘ Bezug zu einem Gegenstand weitgehend reduziert wird, muss sie oft in einem zweiten Schritt durch eine ‚repräsentative‘ Dimension ergänzt werden, damit der angeschaute Gegenstand den allgemeinen Begriff auch darstellen kann. Hintikka versteht die „particular representatives“ deshalb als ‚Symbole‘ in einem modernen Sinne, von denen bei Kant keine Rede ist und von deren Verständnis sich seine Konzeption der Darstellung, wie wir noch sehen werden, sogar abgrenzt.^[40] Eine andere, weit verbreitete Deutung verknüpft die Anschauung, deren sich der Mathematiker bedient, mit einer Abstraktion, die von den konkreten Eigenschaften des einzelnen Gegenstands absehen und ihm zugleich allgemeingültige, variationsunabhängige Verhältnisse ‚ablesen‘ soll.^[41] Die Schräglage dieser Deutungen resultiert stets daraus, dass die mathematische Darstellung im Kern als unmittelbarer Bezug auf den singulären Gegenstand der Anschauung gefasst und ihr eine weitere Schicht der Repräsentation oder Abstraktion hinzugefügt wird. Eine solche Schicht bedürfte jedoch einer eigenständigen Begründung, die aufgrund der vorangehenden Herauslösung der Anschauung aus dem Zusammenhang der Konstruktion schwerlich zu leisten ist.^[42]

Der im vorliegenden Beitrag vertretenen Deutung von Kants Konzeption der Darstellung kommt dagegen Robert E. Butts näher, der aus der Kritik an Hintikkas Interpretation das Modell einer Exemplifizierung vorschlägt, die durch ein enges Verhältnis zwischen der Regel der Konstruktion und den konstruierten exempla geprägt ist, die jene Regel ebenso explizieren wie bestimmen.^[43] Aber auch Butts verkürzt die mathematische Darstellung weitgehend auf eine semantische Exemplifizierung der Regel durch den Fall, statt sie als Moment eines Vollzugs zu begreifen, der am Einzelnen auf die allgemeine Regel reflektiert.^[44] Dies ist jedoch gerade die Stärke von Kants Konzeption der Darstellung, dass sie nämlich die ‚darstellende‘ Funktion der Anschauung in der Feinstruktur des reflektierenden Vollzugs der Darstellung selbst begründet. Ich zitiere den für die hier vorgelegte Deutung zentralen Satz nochmals in seiner Gänze:

Die einzelne hingezeichnete Figur ist empirisch und dient gleichwohl, den Begriff unbeschadet seiner Allgemeinheit auszudrücken, weil bei dieser empirischen Anschauung immer nur auf die Handlung der Construktion des Begriffs, welchem viele Bestimmungen, z. E. der Größe, der Seiten und der Winkel, ganz gleichgültig sind, gesehen und also von diesen Verschiedenheiten, die den Begriff des Triangels nicht verändern, abstrahiert wird. (KrV, B 741 f.; AA 03: 469.20–26)

Die Anschauung, deren sich der Mathematiker bedient, stellt dar, weil ihr Gegenstand konstruiert wird, um zugleich auf die allgemeine Regel dieser Konstruktion zu reflektieren. Dadurch ist der Bezug auf den Gegenstand ebenso durch die Reflexion auf den Zusammenhang der Konstruktion vermittelt, wie er seinerseits einen vermittelten Bezug auf den allgemeinen Begriff eröffnet, von dem die Konstruktion ausgegangen ist. Statt von einer Anschauung auszugehen und sie mit repräsentativen und abstrahierenden Dimensionen zu ergänzen, begründet Kant die darstellende Dimension der Anschauung im reflektierten Vollzug der Konstruktion.

Diese Konzeption der geometrischen Darstellung hat schließlich Konsequenzen für die Frage, inwieweit das Darstellen rein a priori oder auch empirisch vollzogen wird. Zunächst einmal scheint Kant einen apriorischen Vorgang im Sinn zu haben. Denn die „mathematische Betrachtung“ stützt sich, so Kant, auf eine „Anschauung, in welcher sie den Begriff in concreto betrachtet, aber doch nicht empirisch, sondern bloß in einer solchen, die sie a priori darstellt, d. i. construirt hat“ (KrV, B 743 f.; AA 03: 470.24–27). An verschiedenen Stellen führt Kant dazu weiteres aus. In einer Anmerkung von „Über eine Entdeckung, nach der alle neue Kritik der reinen Vernunft durch eine ältere entbehrlich gemacht werden soll“ bezieht er sich auf die hier diskutierte Passage der Kritik der reinen Vernunft und definiert die Darstellung zunächst umfassend: „In allgemeiner Bedeutung kann alle Darstellung eines Begriffs durch die (selbstthätige) Hervorbringung einer ihm correspondirenden Anschauung Construction heißen.“ (ÜE, AA 08: 192.24–26) Für die mathematische Darstellung ist es aber wesentlich, so Kant weiter, dass sie „durch die bloße Einbildungskraft einem Begriffe a priori gemäß“ zustande kommt. In einer Anmerkung in der „Ersten Einleitung in die Kritik der Urteilskraft“ erklärt Kant schließlich, dass die beiden traditionellen Hilfsmittel der geometrischen Konstruktion, Zirkel und Lineal, letztlich nicht als „wirkliche Werkzeuge“ zu begreifen seien, sondern als „die einfachsten Darstellungsarten der Einbildungskraft a priori“ (EEKU, AA 20: 198.28 und 30–31).^[45] Die Darstellung des Begriffs scheint somit prinzipiell rein a priori vollzogen werden zu müssen.

Jedoch widersprechen diesem scheinbar eindeutigen Befund andere Stellen, wo Kant die materielle Realisierung der Darstellung keineswegs ausschließt. Ich zitiere nochmals einen Teil des für die hier vorgelegte Deutung zentralen Satzes: „Die einzelne hingezeichnete Figur ist empirisch und dient gleichwohl, den Begriff unbeschadet seiner Allgemeinheit auszudrücken, weil bei dieser empirischen Anschauung immer nur auf die Handlung der Construction des Begriffs […] gesehen“ (KrV, B 741 f.; AA 03: 469.20–25) wird. Kant spricht hier ohne größere Umstände von der empirischen Anschauung, wie auch einige Zeilen zuvor: Der Mathematiker könne die Konstruktion „durch bloße Einbildung, in der reinen, oder nach derselben […] auf dem Papier, in der empirischen Anschauung, beidemal aber völlig a priori“ (KrV, B 741; AA 03: 469.17–19) bewerkstelligen. Die materielle Realisierung der Konstruktion ist offenbar nicht ausgeschlossen. Jedoch ist wie im apriorischen Fall nicht der unmittelbare Bezug auf den Gegenstand der Anschauung und seine konkrete Beschaffenheit maßgeblich, sondern die sich an ihm vollziehende Reflexion auf die allgemeine Konstruktion: Sie bildet den Beweisgrund der mathematischen Erkenntnis, und zwar unabhängig davon, ob die geometrische Darstellung materialiter realisiert wird oder nicht. Der Mathematiker kann sich ebenso gut ‚durch bloße Einbildung‘ wie ‚auf dem Papier‘ vermittels eines Dreiecks reflektierend auf den allgemeinen Begriff beziehen. Gerade deshalb kann er sich, wie Kant verschiedentlich ausführt, auf hingeworfene Kritzeleien auf Papier ebenso stützen wie auf grobe Furchen im Sand, ohne sich um deren empirische Präzision oder numerische Exaktheit bekümmern zu müssen.^[46]

2.1 Die Konzeption der Darstellung und die vorkritische Theorie der Zeichen

Im Zentrum von Kants vorkritischem Vergleich zwischen Mathematik und Philosophie stehen Aspekte, die sich zwar in der „Transscendentalen Methodenlehre“ der Kritik der reinen Vernunft in ähnlicher Form finden, dort allerdings eine eher zweitrangige Rolle innehaben. Demnach definiert die Mathematik ihre Begriffe willkürlich, während die Philosophie gegebene Begriffe aufklärt.^[48] In der Mathematik bilden die Definitionen daher den Anfang, in der Philosophie könnten sie allenfalls am Ende folgen.^[49] Dem Mathematiker sind deshalb zumindest prinzipiell die Attribute seiner Begriffe vollständig bewusst, und seine Schlüsse haben einen sicheren Ausgangspunkt. Dagegen muss sich der Philosoph langsam und mühselig über die Attribute seiner Begriffe klar werden, was ihm vielleicht nie völlig gelingt, so dass philosophische Beweise auf keinem sicheren Grund stehen.^[50]

Dass diese Gesichtspunkte den Vergleich zwischen Mathematik und Philosophie in der vorkritischen Schrift, aber nicht mehr in der Kritik der reinen Vernunft beherrschen, hat mit dem jeweiligen philosophischen Hintergrund zu tun. Kants Sicht auf Mathematik und Philosophie ist in der Untersuchung über die Deutlichkeit der Grundsätze der natürlichen Theologie und der Moral noch stark geprägt von der Leibniz-Wolff’schen Tradition und insbesondere von ihrer Differenzierung klarer und dunkler, distinkter und verworrener Vorstellungen: Klare Vorstellungen gewährleisten demnach anders als dunkle, den vorgestellten Gegenstand zu identifizieren; unter ihnen stellen die distinkten Vorstellungen wiederum anders als die verworrenen mit dem Gegenstand zugleich seine Attribute explizit und bewusst vor.^[51] Kants Grundgedanke lässt sich daher wie folgt reformulieren: Der Mathematiker hat zumindest prinzipiell klare und distinkte Vorstellungen von seinen Begriffen, weil er sie zu Beginn willkürlich und bewusst definiert; der Philosoph geht dagegen von dunklen oder verworrenen Vorstellungen gegebener Begriffe aus und überführt sie soweit möglich in klare und distinkte Vorstellungen.^[52]

Es ist ein weiterer vertrauter Grundgedanke der Leibniz-Wolff’schen Tradition, dass das Denken sich bei Gegenständen, die nicht ohne weiteres in der Fülle all ihrer Attribute klar und distinkt vorgestellt werden können, behilft, indem es sich der Zeichen bedient: Der Gebrauch von Zeichen soll es erlauben, allzu große Komplexität, deren wir uns nicht jederzeit bewusst sein können, gleichsam handhabbar zu machen.^[53] Vor diesem Hintergrund stellt Kant wiederum eine Differenz zwischen mathematischen und philosophischen Zeichen fest, die der unterschiedlichen Klarheit ihrer Gegenstände gleicht: Die Philosophie hat es mit gegebenen Begriffen zu tun und müsse daher zurückgreifen auf „Worte“, die „ihre Bedeutung durch den Redegebrauch“ (UD, AA 02: 284.22) erhalten, wohingegen die Mathematik wie ihre Gegenstände auch ihre Zeichen selbst definiert. Die Bedeutung der mathematischen Zeichen ist daher wie ihre Vorstellungen sicher gegründet, während die Philosophie sich nicht nur an verworrenen Vorstellungen abarbeitet, sondern auch mit Verwechslungen und Verschiebungen der Bedeutung ihrer Zeichen rechnen muss.

Kant folgert daraus, dass operativer Gebrauch und epistemischer Nutzen der Zeichen in Philosophie und Mathematik sehr unterschiedlich sind. Der Mathematiker arbeitet vorrangig mit Zeichen, ohne dabei jederzeit an die Gegenstände denken zu müssen, um die es dabei eigentlich geht. Er kann den Zeichengebrauch zumindest temporär an die Stelle der Vorstellungen seiner Gegenstände treten lassen, weil ihre Bedeutung qua definitionem geklärt sind und die Operationen mit ihnen den Beziehungen in der Sache entsprechen.^[54] Dagegen sind die

Zeichen der philosophischen Betrachtung […] niemals etwas anders als Worte, die weder in ihrer Zusammensetzung die Theilbegriffe, woraus die ganze Idee, welche das Wort andeutet, besteht, anzeigen, noch in ihren Verknüpfungen die Verhältnisse der philosophischen Gedanken zu bezeichnen vermögen. (UD, AA 02: 278.33–279.02)

Weil die Worte nicht an die logische Struktur der verhandelten Gegenstände gebunden sind, ersetzen sie nicht wie in der Mathematik das Denken an die Sache und können in der Philosophie lediglich zur Erinnerung dienen.^[55] Der Philosoph muss daher nicht nur mit unsicheren Worten arbeiten, sondern auch zugleich und daneben an die eigentlichen Gegenstände seines Unterfangens denken:

Daher man bei jedem Nachdenken in dieser Art der Erkenntnis die Sache selbst vor Augen haben muß und genöthigt ist, sich das Allgemeine in abstracto vorzustellen, ohne dieser wichtigen Erleichterung sich bedienen zu können, daß man einzelne Zeichen statt der allgemeinen Begriffe der Sachen selbst behandle. (UD, AA 02: 279.02–06)^[56]

Deshalb unterscheidet Kant das philosophische Arbeiten ‚in abstracto‘ vom mathematischen Vorgehen ‚in concreto‘: So „betrachtet die Mathematik in ihren Folgerungen und Beweisen ihre allgemeine Erkenntniß unter den Zeichen in concreto, die Weltweisheit aber neben den Zeichen noch immer in abstracto.“ (UD, AA 02: 291.24–26)

In der Untersuchung über die Deutlichkeit der Grundsätze der natürlichen Theologie und der Moral ist die Mathematik gegenüber der Philosophie folglich „einer größern Anschauung theilhaftig“ (UD, AA 02: 296.10), weil sie sich in besonderer Weise auf die Operation mit Zeichen stützen kann. Der Mathematiker arbeitet nicht nur behelfsweise mit „sichtbaren“ (UD, AA 02: 279.21) und „sinnlichen Zeichen“ (UD, AA 02: 292.12). Er stützt sich grundlegend auf die Operationen mit diesen „sinnlichen Erkenntnißmitteln“ (UD, AA 02: 291.28–29) und gewinnt die Gewissheit seiner Erkenntnis wesentlich in der Evidenz der Zeichen, die ihm klar vor Augen stehen.^[57] Kant bezieht sich dabei in erster Linie auf die Arithmetik, der er den extensiven Zeichengebrauch in der Mathematik abschaut und bei der die Kopplung zwischen den Operationen mit Zeichen und der Struktur der Gegenstände Plausibilität gewinnt.

Kant knüpft mit diesem faszinierenden Verständnis der Formalität der Mathematik und der Pragmatik ihrer Operabilität offenbar an Leibniz an, bei dem sich bis hin zur Betonung der ‚sinnlichen Hilfsmittel‘ wesentliche Elemente bereits finden lassen.^[58] Leibniz hatte den arithmetischen Zeichengebrauch jedoch als Vorbild einer Neufundierung der Philosophie in einer ‚universalen Charakteristik‘ gesehen, wogegen sich Kants vorkritische Schrift richtet, wenn sie den anderen Zeichen- bzw. Wortgebrauch der Philosophie aufweist.^[59] In der „Transscendentalen Methodenlehre“ der Kritik der reinen Vernunft greift Kant zwar auf Elemente seines vorkritischen Vergleichs von Mathematik und Philosophie zurück. Er hat diesem Vergleich und insbesondere der Charakterisierung der Nähe der Mathematik zu Anschauung und Sinnlichkeit jedoch bereits die philosophische Grundlage entzogen. Denn Kants kritische Philosophie geht nicht mehr davon aus, der Bezug unserer Vorstellungen auf Gegenstände sei gegeben und würde nötigenfalls mit dem Gebrauch von Zeichen ergänzt. Stattdessen stellt er von neuem die grundlegende Frage, „auf welchem Grunde beruhet die Beziehung desienigen, was man in uns Vorstellung nennt, auf den Gegenstand?“ (Br, AA 10: 130.07–08) Kant versucht diese Frage zu beantworten, indem er die Genese der Vorstellungen und ihrer Gegenstände betrachtet und dazu auf die verschiedenen Vermögen und ihr Zusammenspiel zurückgeht.^[60]

Die geometrische Darstellung und ihre Nähe zur Anschauung sind in Kants kritischer Philosophie daher im Rückgang auf die involvierten Vermögen und ihr spezifisches Zusammenspiel zu erklären. Meine bisherigen Ausführungen sind vor allem auf Verstand und Begriffe auf der einen Seite sowie die Anschauung auf der anderen Seite eingegangen. Sie sind mit Blick auf den Vollzug der Darstellung in der Anschauung nun aber um ein weiteres und entscheidendes Vermögen zu ergänzen: Die Konstruktion der Anschauung, deren sich die Mathematik zum Zwecke der Darstellung bedient, beruht wesentlich auf der „figürlichen Synthesis“ (KrV, B 151; AA 03: 119.32) des Mannigfaltigen und damit auf der Tätigkeit der Einbildungskraft, und zwar unabhängig davon, ob diese ‚figürliche Synthesis‘ eine selbständige Leistung der Einbildungskraft ist, wie es die erste Auflage der Kritik der reinen Vernunft nahelegt,^[61] oder sie dabei durch den Verstand geleitet wird, wie die zweite Auflage gelegentlich suggeriert^[62]. Denn die Einbildungskraft ist es, die die Anschauung sukzessive aufbaut und zugleich in der anschaulichen Figur zusammenführt, vermittels deren sich ein allgemeiner Begriff darstellen soll:

Auf diese successive Synthesis der productiven Einbildungskraft in der Erzeugung der Gestalten gründet sich die Mathematik der Ausdehnung (Geometrie) mit ihren Axiomen, welche die Bedingungen der sinnlichen Anschauung a priori ausdrücken, unter denen allein das Schema eines reinen Begriffs der äußeren Erscheinung zu Stande kommen kann […]. (KrV, B 204; AA 03: 150.04–08)^[63]

Die Theorie der Geometrie in der Kritik der reinen Vernunft ist somit scharf von der vorkritischen Theorie Kants zu unterscheiden.^[64] Sie lässt nicht nur an die Stelle des mathematischen Zeichengebrauchs die Darstellung von Begriffen treten, von der in der Untersuchung über die Deutlichkeit der Grundsätze der natürlichen Theologie und der Moral kein einziges Mal die Rede ist.^[65] Sie begründet auch die Möglichkeit mathematischer Gegenstände – sowie ihre Anwendbarkeit auf die empirische Realität, wie das Zitat andeutet und ich noch weiter ausführen werde – in der Tätigkeit der produktiven Einbildungskraft.^[66] Dieses für Kants kritische Philosophie charakteristische Unterfangen verbindet sich vor allem mit der Geometrie, während die vorkritische Schrift den Zeichengebrauch der Mathematik in erster Linie anhand der Arithmetik diskutiert.^[67]

Die Konzeption der geometrischen Darstellung in der Kritik der reinen Vernunft ist folglich auch systematisch von der vorkritischen Auffassung einer Repräsentation durch Zeichen zu unterscheiden, was Kant allerdings erst in der Kritik der Urtheilskraft explizit tut.^[68] Im Falle der Repräsentation verweist die Anschauung des selbst präsenten Zeichens über sich hinaus auf die repräsentierte Bedeutung. Dabei ist zweierlei vorausgesetzt: zum einen die Definition des Zeichens, durch die es geschaffen und sein Sinn festgelegt wird, und zum anderen das Vermögen, sinnlich gegebene Zeichen zu identifizieren und sich durch ihre Anschauung zu anderen Vorstellungen, d. h. ihrem Sinn leiten zu lassen.^[69] Die mathematische Darstellung bedient sich der Anschauung nicht im selben Sinne als ‚sinnliches Erkenntnismittel‘. Die Anschauung weist hier nicht einfach über sich hinaus, da sie die darzustellenden Begriffe selbst instantiiert. Sie ist aber auch keine unmittelbare Anschauung, da vermittels des anschaulichen Gegenstands ein allgemeiner Begriff vor Augen geführt wird. Die Darstellung weist dazu gleichsam in die Anschauung hinein, um den reflektierenden Vollzug oder Nachvollzug ihrer Konstruktion hervorzurufen, wodurch der unmittelbare Gegenstand verallgemeinert wird. Die mathematische Darstellung wird daher nicht wie die zeichenbasierte Repräsentation durch eine Reflexion gestört, die sich in der Anschauung des sinnlichen Zeichens selbst vertieft, statt sich zu seinem Sinn leiten zu lassen. Vielmehr vollzieht sie sich in der Reflexion auf die Konstruktion der Anschauung, um der Anschauung einen neuen Sinn zu verleihen und etwas darzustellen, was selbst kein unmittelbarer Gegenstand der Anschauung sein kann.^[70]

Es ist charakteristisch für diese Konzeption der mathematischen Darstellung, dass sie sich dem Modell einer zeichenbasierten Repräsentation nicht fügt. In der Darstellung dient die Anschauung des einzelnen Dreiecks nicht als Zeichen für eine Bedeutung, mit der dieses Zeichen per definitionem nichts gemein hat. Vielmehr ist der Gegenstand der Anschauung untrennbar mit dem darzustellenden Begriff verwoben: Das auf das Blatt geworfene Dreieck ist zuallererst ein Dreieck und fällt als solches unter den Begriff des Dreiecks; insofern an ihm auf die allgemeinen Eigenschaften aller Dreiecke reflektiert wird, stellt es aber zugleich den allgemeinen Begriff des Dreiecks vor Augen. Es macht den Begriff, der es als Dreieck bestimmt, in sich anschaulich und ist daher weder von dem zu trennen, was es darstellt, noch schlicht mit ihm identisch. Anschaulicher Gegenstand und darzustellender Begriff sind so sehr verwoben, dass hier gleichsam präsent ist, was repräsentiert wird (der Begriff im anschaulichen Dreieck), wie auch repräsentiert wird, was präsent ist (das anschauliche Dreieck durch den Begriff). Dieses Gewebe von präsentativen und repräsentativen Momenten ist so eng verflochten, dass es durch die Differenz von präsenter Anschauung auf der einen und repräsentierter Bedeutung auf der anderen Seite nicht analysiert, sondern lediglich zerschnitten wird.

Was in der Begrifflichkeit der Repräsentation kaum zu fassen ist, findet in der Semantik des ‚Darstellens‘ dagegen seinen zwanglosen Ausdruck, worin vermutlich auch die Wahl des Begriffs motiviert ist. Seit Luthers Bibelübersetzung ist ‚darstellen‘ eher eine Nähe zum ‚präsentieren‘ als zum ‚repräsentieren‘ eigen. Es bedeutet so ‚vor Augen stellen‘ und ‚sehen lassen‘, ‚persönlich vorstellen‘ und ‚vor einem Gericht erscheinen‘ – eine Semantik, die sich in einigen wenigen einschlägigen Wendungen wie der ‚Darstellung Jesu im Tempel‘ bis heute gehalten hat.^[71] An diesen Sinn knüpfen Kants Formulierungen immer wieder an, wenn sie die Beziehung zum Gegenstand der Anschauung betonen sollen. Den geometrischen Begriff zu konstruieren, heißt im Falle von Kants Beispiel des Dreiecks daher auch, ein einzelnes Dreieck gegenwärtig zu machen: „So construire ich einen Triangel, indem ich den diesem Begriffe entsprechenden Gegenstand […] darstelle.“ (KrV, B 741; AA 03: 469.16–20)^[72] Das ‚Darstellen‘ des Mathematikers besteht also wesentlich darin, einen dem Begriff ‚entsprechenden Gegenstand‘ – in Kants etwas ungelenken Worten – „anschauend [zu] machen“ (KrV, B 743; AA 03: 470.11–12)^[73] oder ihn – so die für die Zeit charakteristische Wendung – ‚vor Augen zu stellen‘^[74].

Spätestens im 18. Jahrhundert weitet sich die Semantik von ‚Darstellen‘ aber in die Richtung dessen, was wir landläufig unter Repräsentation verstehen und – anders als Kant und seine Zeitgenossen – meist unreflektiert mit Darstellung identifizieren: Der vor Augen gestellte Gegenstand ist kein bloßer Gegenstand mehr, er soll nun auch einen Begriff veranschaulichen und ihn in diesem Sinne ‚darstellen‘. Für die Mathematik ist es so Kant zufolge charakteristisch, dass „ihre Begriffe an der reinen Anschauung sofort in concreto dargestellt werden müssen“ (KrV, B 739; AA 03: 467.20–21). Diese „Darstellung eines Begrifs in der Anschauung“ (Br, AA 11: 42.35–36) hat aber keineswegs die enge Bindung an das ältere Vor-Augen-Stellen verloren. Da Kant den Begriff der Darstellung zudem mit Bezug auf die Konstruktion der Anschauung einführt, sind in der Semantik des Darstellens in Kants Text wie in seiner Konzeption der mathematischen Darstellung drei Dimensionen miteinander verknüpft: eine Anschauung herstellen (1), um vermittels des vor Auge gestellten Gegenstands (2) den allgemeinen Begriff dieses Gegenstands zu veranschaulichen (3).

2.2 Schluss: Die Darstellung durch die Einbildungskraft

Auf den letzten Seiten stand eine Folgerung aus der Einsicht, dass die mathematische Darstellung auf der Tätigkeit der produktiven Einbildungskraft beruht, im Zentrum, nämlich der systematische Unterschied zwischen der Konzeption der Darstellung und der Theorie der Repräsentation durch Zeichen. Abschließend möchte ich drei weitere Konsequenzen skizzieren, die die Anwendbarkeit der Mathematik auf die empirische Wirklichkeit betreffen, unser Verständnis der Geometrie sowie unsere Auffassung der Räumlichkeit und Zeitlichkeit der Darstellung.

Die erste Konsequenz bezieht sich auf die für Kants kritische Philosophie zentrale Frage, warum die Mathematik sich auf die empirische Wirklichkeit anwenden lässt. Kants Antwort hat wenig damit zu tun, dass sich mathematische Begriffe wie Vorstellungen oder Zeichen auf eine unabhängige empirische Wirklichkeit beziehen müssten. Vielmehr gründet die empirische Anwendbarkeit der Mathematik darauf, dass sowohl die mathematische Darstellung als auch die empirische Erkenntnis auf der Tätigkeit der produktiven Einbildungskraft beruhen.^[75] Kant geht nämlich davon aus, dass „eben dieselbe bildende Synthesis, wodurch wir in der Einbildungskraft einen Triangel construiren, mit derjenigen gänzlich einerlei ist, welche wir in der Apprehension einer Erscheinung ausüben, um uns davon einen Erfahrungsbegriff zu machen“ (KrV, B 272; AA 03: 189.06–10). Es ist die produktive Einbildungskraft im Zusammenspiel mit Verstand und Anschauung, in der Kant die Grundlage für die mathematische Darstellung wie die empirische Erfahrung findet, weshalb er sein neues, kritisches Verständnis der empirischen Erkenntnis in den bekannten Worten der „Vorrede zur zweiten Auflage“ der Kritik der reinen Vernunft auch im Rekurs auf das Paradigma der apriorischen Erkenntnis der Mathematik und den Beweis des „gleichschenklichten Triangel“ (KrV, B XI; AA 03: 09.28–29) formuliert.^[76] Für die Geometrie folgert Kant daraus zugleich, dass sie sich zwar vollkommen eigenständig mit der „bloßen Form“ (KrV, B 298; AA 03: 204.25) von Gegenständen beschäftigt. Sie handelt damit aber lediglich über mögliche Formen empirischer Gegenstände, weshalb ihr eigentliches Ziel, so Kant, letztlich die Bestimmung der Gegenstände der Erfahrung sei.^[77]

Eine zweite Konsequenz betrifft unser Verständnis der Geometrie und ihres eigentlichen Gegenstands. Den bisherigen Ausführungen zufolge geht es der Geometrie um die Erkenntnis ihrer Begriffe, die innerlich auf die Anschauung bezogen und deshalb durch ihre Konstruktion in der Anschauung zu erfassen sind. In ihrer Darstellung bestimmen die mathematischen Begriffe aber nicht nur die konstruierte Anschauung und ihren Gegenstand, sondern werden sie zugleich mit den Formen der Anschauung verwoben und durch sie mithin auch selbst bestimmt. Der reflektierende Vollzug der mathematischen Darstellung kann daher nicht nur dem dargestellten Begriff, sondern ebenso der Form der Anschauung gelten, in der er dargestellt wird. Anhand der „formalen Anschauung“ (KrV, B 162, Fn.; AA 03: 125.29) im Sinne von ‚bloßen Formen‘ von Gegenständen, können so Erkenntnisse über den Raum als „Form der Anschauung“ (KrV, ibid.; AA 03: 125.28) gewonnen werden.^[78] Die Geometrie ist in diesem Sinne als die Wissenschaft vom Raum zu begreifen.^[79]

Warum ist eine solche Wissenschaft jedoch nötig, wenn uns der Raum, wie Kant bemerkt, als „ursprüngliche Vorstellung eines einigen unendlichen, subjectiv gegebenen Raumes“ (AA 20: 420.12–13) je schon vertraut scheint?^[80] Die Antwort ist zumindest im Ansatz relativ einfach: Der Raum mag uns als die apriorische Form unserer äußeren Anschauung ‚subjektiv gegeben‘ sein, damit ist er aber ebenso wenig schon als solche begriffen, wie seine allgemeinen Eigenschaften dadurch bereits erkannt sind. Der Raum wird als solcher nur auf dem Wege der Darstellung einzelner Anschauungen zugänglich und an der ‚bloßen Form‘ ihrer Gegenstände begreifbar. Die Geometrie kann sich so den Raum in einem erweiterten Sinne zum Gegenstand machen, obwohl er weder ein unmittelbarer Gegenstand der Anschauung^[81] noch ein Begriff^[82] ist. Analog argumentiert Kant mit Bezug auf die Zeit: Sie ist als Form des inneren Sinns zwangsläufig erlebt, wird aber allein durch ihre Darstellung anhand einer Linie überhaupt vorstellbar und objektiv messbar: Wir können uns, so Kant,

[…] selbst die Zeit nicht [vorstellen], ohne, indem wir im Ziehen einer geraden Linie (die die äußerlich figürliche Vorstellung der Zeit sein soll) bloß auf die Handlung der Synthesis des Mannigfaltigen, dadurch wir den inneren Sinn successiv bestimmen, und dadurch auf die Succession dieser Bestimmung in demselben Acht haben. (KrV, B 154; AA 03: 121.27–31)^[83]

Diese Bestimmung der Darstellung der Zeit anhand einer Linie teilt mit Kants Theorie der geometrischen Darstellung nicht nur den reflektierenden Grundzug, den wir ausführlich behandelt haben. Sie leitet auch zur dritten und abschließenden Konsequenz der engen Verbindung der geometrischen Darstellung mit der Tätigkeit der produktiven Einbildungskraft über: Wie die Zeit als Form der inneren Anschauung nur über ihre Darstellung an der Linie und damit in einer äußeren und räumlichen Anschauung zu fassen ist, kann die Geometrie ihre Begriffe und den Raum nur behandeln, indem sie sich in ihren Darstellungen die Zeit zu Nutze macht. Im Vollzug der Darstellung wird eine Anschauung schrittweise konstruiert und durch die Einbildungskraft sukzessive in einer anschaulichen Figur synthetisiert, um anhand dieser Figur auf die gesamte Konstruktion reflektieren zu können. Die mathematische Darstellung ist daher nicht nur in dem allgemeinen Sinne ein zeitlicher Vollzug, dass die Einbildungskraft der Zeit bedarf, um die Mannigfaltigkeit der Anschauung sukzessive in einer einheitlichen Figur zusammenzuführen.^[84] Sie ist wesentlich zeitlich auch in dem Sinne, dass die resultierende Figur in erster Linie dazu dient, auf ihre schrittweise Konstruktion zu reflektieren. Die mathematische Darstellung setzt somit die Simultaneität der Anschauung erneut ins Verhältnis zur Sukzession ihrer Entstehung, um am Gegenstand der Anschauung seinen allgemeinen Begriff darzustellen. Sie nutzt so die der produktiven Einbildungskraft eigene Zeit, um die Anschauung über die resultierende, unmittelbare Figur hinaus zu erweitern und in ihr einen mathematischen Begriff oder Eigenschaften des Raums darzustellen.

Die „Darstellungsart“, die „unter dem Bilde einer Linie, so fern wir sie ziehen“, nichts weniger als die Zeit selbst „vorstellig mach[t]“ (KrV, B 156; AA 03: 122.19–20), weist so in verschiedener Hinsicht über die enge Bindung der Konzeption der Darstellung an die Mathematik und vor allem die Geometrie in der Kritik der reinen Vernunft hinaus. Sie lässt eine Zeitlichkeit zwischen der Simultaneität der anschaulichen Figur und ihrer sukzessiven Synthese exemplarisch erkennen, die jeder mathematischen Darstellung als reflektierendem Vollzug der Konstruktion einer Anschauung eigen ist, aber erst an den ästhetischen Formen der Darstellung in der Kritik der Urteilskraft weiter entfaltet wird. Jene ‚Darstellungsart‘ zeigt zudem, dass der reflektierende Vollzug der Darstellung nicht nur dem Begriff gelten muss, von dem die Konstruktion ausgeht, sondern auch auf andere Bedingungen abzielen kann, wie der Zeit, die der Tätigkeit der Einbildungskraft als sukzessiver Synthesis des Mannigfaltigen eigen ist, oder dem Raum, dem sich die Geometrie vermittels der Darstellung bloßer Formen zuwendet. Die Konzeption der Darstellung beschränkt sich folglich bereits in der Kritik der reinen Vernunft nicht auf die Veranschaulichung von Begriffen. Sie geht seit ihren Anfängen in Kants kritischer Philosophie über diesen Ausgangspunkt hinaus und greift auf Formen der Darstellung vor, die anschaulich machen, was prinzipiell keiner Instantiierung in der Anschauung fähig ist.