Transportmodelle für Flüssigkeitsfilme

Julian Hofmann; Anton Ponomarev; Veit Hagenmeyer; Lutz Gröll

doi:10.1515/auto-2020-0016

Article

Transportmodelle für Flüssigkeitsfilme

Julian Hofmann
M. Sc. Julian Hofmann ist wissenschaftlicher Mitarbeiter am Institut für Automation und angewandte Informatik (IAI) des Karlsruher Instituts für Technologie (KIT). Hauptarbeitsgebiete: Modellierung verfahrentstechnischer Anlagen, Regelungstechnik.
, Anton Ponomarev
Dr. Anton Ponomarev ist Associate Professor am Department of Mechanics of Controlled Motion der Staatlichen Universität Sankt Petersburg (SPbU). Hauptarbeitsgebiete: Regelung von Totzeitsystemen, modellprädiktive Regelung, Multiagentensysteme.
, Veit Hagenmeyer
Prof. Dr. Veit Hagenmeyer ist Institutsleiter am Institut für Automation und angewandte Informatik (IAI) des Karlsruher Instituts für Technologie (KIT). Hauptarbeitsgebiete: Automatisierungstechnik, Regelungstechnik, Mechatronik, Energieinformatik.
and Lutz Gröll
apl. Prof. Dr.-Ing. Lutz Gröll ist Gruppenleiter am Institut für Automation und angewandte Informatik (IAI) des Karlsruher Instituts für Technologie (KIT). Hauptarbeitsgebiete: Modellierung verfahrentstechnischer Anlagen, Identifikation, Systemtheorie, Regelungstechnik

Published/Copyright: July 31, 2020

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From the journal at - Automatisierungstechnik Volume 68 Issue 8

Zusammenfassung

Der Beitrag behandelt Modelle für Flüssigkeitsfilme in Rohrleitungen. Da sich das Ein-/Ausgangsverhalten von Flüssigkeitsfilmen nur in grober Näherung mit klassischen Transportmodellen beschreiben lässt, werden zwei neue Modelle entwickelt. Letztere basieren auf Liquidelementen und sind auf andere Transportprozesse, bspw. im Verkehrsfluss, übertragbar. Zusammen mit den jeweiligen Modellannahmen führen fundamentale Bilanzgleichungen auf quasilineare partielle Differentialgleichungen erster Ordnung, die mittels des Charakteristikenverfahrens in retardierte Ein-/Ausgangsgleichungen überführt werden. Diese Darstellung ist für den Reglerentwurf und die Simulation vorteilhaft. Der praktische Hintergrund des Beitrags ist der Fallfilmverdampferprozess. Daher werden die beiden Modelle hinsichtlich des beobachteten Ein-/Ausgangsverhaltens von Fallfilmverdampfern verglichen.

Abstract

The paper deals with models for liquid films in tubes. Since classical transport models are less accurate when describing liquid films, we develop two novel models. They are based on liquid elements and can be transferred to other transport processes, e. g., in traffic flow. Together with the corresponding model assumptions, fundamental balance equations lead to first-order quasilinear partial differential equations which, via the method of characteristics, are transformed into retarded input-output equations. This representation is advantageous for controller design and for simulation. The practical background of the paper is the falling film evaporator process. Therefore, the two novel models are compared w. r. t. the observed input-output behavior of falling film evaporators.

Schlagwörter: Transportmodell; Flüssigkeitsfilm; Ein-/Ausgangsverhalten; partielle Differentialgleichung; Fallfilmverdampfer

Keywords: transport model; liquid film; input-output behaviour; partial differential equation; falling film evaporator

Funding source: Helmholtz-Gemeinschaft

Award Identifier / Grant number: ZT-0002

Funding statement: Die Autoren danken dem Impuls- und Vernetzungsfonds der Helmholtz Gemeinschaft für die Unterstützung des Projekts „Energy Systems Integration“ (ZT-0002).

Über die Autoren

Julian Hofmann

M. Sc. Julian Hofmann ist wissenschaftlicher Mitarbeiter am Institut für Automation und angewandte Informatik (IAI) des Karlsruher Instituts für Technologie (KIT). Hauptarbeitsgebiete: Modellierung verfahrentstechnischer Anlagen, Regelungstechnik.

Anton Ponomarev

Dr. Anton Ponomarev ist Associate Professor am Department of Mechanics of Controlled Motion der Staatlichen Universität Sankt Petersburg (SPbU). Hauptarbeitsgebiete: Regelung von Totzeitsystemen, modellprädiktive Regelung, Multiagentensysteme.

Veit Hagenmeyer

Prof. Dr. Veit Hagenmeyer ist Institutsleiter am Institut für Automation und angewandte Informatik (IAI) des Karlsruher Instituts für Technologie (KIT). Hauptarbeitsgebiete: Automatisierungstechnik, Regelungstechnik, Mechatronik, Energieinformatik.

Lutz Gröll

apl. Prof. Dr.-Ing. Lutz Gröll ist Gruppenleiter am Institut für Automation und angewandte Informatik (IAI) des Karlsruher Instituts für Technologie (KIT). Hauptarbeitsgebiete: Modellierung verfahrentstechnischer Anlagen, Identifikation, Systemtheorie, Regelungstechnik

Danksagung

Die Autoren danken der GEA Wiegand GmbH für Informationen zum Fallfilmverdampferprozess.

Anhang A

Nachfolgend wird der Zusammenhang zwischen der PDE und den retardierten Gleichungen mittels des Charakteristikenverfahrens für das Transportmodell aus Abschnitt 4.1 hergeleitet. Dazu wird die Variable s eingeführt, sodass

(·)(s)=(·)(t(s),x(s))

gilt, wobei (·) eine beliebige abhängige Variable (ξ, c oder ζ) bezeichnet. Für die Ableitung folgt

d(·)ds=∂(·)∂tdtds+∂(·)∂xdxds.

Nach Koeffizientenvergleich mit (17) wird das charakteristische System

(33a)dtds=1,t(0)=t1,

(33b)dxds=c,x(0)=x1,

(33c)dξds=−ξζ,ξ(0)=ξ1,

(33d)dcds=0,c(0)=c1,

(33e)dζds=−ζ2,ζ(0)=ζ1

erhalten, welches die Lösung

(34a)t(s)=t1+s,

(34b)x(s)=x1+∫0sc(s¯)ds¯,

(34c)c(s)=c1,

(34d)ξ(s)=ξ11+ζ1s,

(34e)ζ(s)=ζ11+ζ1s

besitzt. Mit der Annahme, dass Pfropfen zur Zeit t1=t−τ an der Stelle x1=0 eintreten, sind die ABen von (33a) und (33b) festgelegt. Die weiteren ABen von (33) ergeben sich mit den RBen in (17) zu

c1=c¯i(t−τ),ξ1=m˙i,T(t−τ)c¯i(t−τ),ζ1=−c¯˙i(t−τ)c¯i(t−τ).

Die zur Zeit t1=t−τ an der Stelle x1=0 eingetretenen Pfropfen verlassen die Rohrleitung zur Zeit t(s)=t an der Stelle x(s)=ℓ. Es folgt aus (34a), dass τ=s und aus (34b), dass

τ(t)=ℓc¯i(t−τ(t)),

was eine implizite Gleichung zur Bestimmung der Totzeit darstellt. Des Weiteren ist

(35)c(t,ℓ)=c¯i(t−τ(t)),ξ(t,ℓ)=m˙i,T(t−τ(t))c¯i(t−τ(t))−c¯˙i(t−τ(t))τ(t).

Um die Anfangsfunktion zu bestimmen, werden die ABen t(0)=t0 und x(0)=x1 in (33) betrachtet. Entsprechend der ABen in (17) folgt dann

(36a)t(s)=t0+s,

(36b)x(s)=x1+∫0sc(s¯)ds¯,

(36c)c(s)=c0(x1),

(36d)ξ(s)=ξ0(x1)1+dc0(x)dx|x1s,

(36e)ζ(s)=dc0(x)dx|x11+dc0(x)dx|x1s

als Lösung von (33). Am Ausgangsrand gilt bekanntlich t(s)=t und x(s)=ℓ, sodass t=t0+s aus (36a) und x1=ℓ−c0(x1)(t−t0) aus (36b) folgt. Damit ergibt sich für diesen Fall

(37)c(t,ℓ)=c0(ϕ(t)),ξ(t,ℓ)=ξ0(ϕ(t))1+dc0(x)dx|ϕ(t)(t−t0),

wobei ϕ(t) mittels der impliziten Gleichung

ϕ(t)=ℓ−c0(ϕ(t))(t−t0)

ermittelt wird. Durch Kombination von (35) und (37) wird unter Nutzung der Ausgangsgleichung von (17)

m˙o,T(t)=c0(ϕ(t))ξ0(ϕ(t))1+dc0(x)dx|ϕ(t)(t−t0),t0≤t≤t0+ℓc0(0)c¯i(t−τ(t))m˙i,T(t−τ(t))c¯i(t−τ(t))−c¯˙i(t−τ(t))τ(t),sonst

für die retardierte E/A-Beziehung des Massenstroms erhalten.

Anhang B

Ebenso wird für das in Abschnitt 4.2 diskutierte Transportmodell der Zusammenhang zwischen der PDE und der E/A-Beziehung gezeigt. Zwecks kompakter Darstellung wird auch hier die Abkürzung f˜c(t):=f(c;c¯i(t)) für die Verteilungsdichte genutzt. Zur Anwendung des Charakteristikenverfahrens wird die Variable s eingeführt, sodass ξ(s)=ξ(t(s),x(s),c(s)) und

(38)dξds=∂ξ∂tdtds+∂ξ∂xdxds+∂ξ∂cdcds.

Durch Koeffizientenvergleich der PDE (29) mit (38) ergibt sich das charakteristische System zu

(39a)dtds=1,t(0)=t1,

(39b)dxds=c,x(0)=x1,

(39c)dcds=0,c(0)=c1,

(39d)dξds=0,ξ(0)=ξ1.

Die Wahl der ABen von (39) ergeben sich aus der Annahme, dass ein Partikel zur Zeit t1=t−τ an der Stelle x1=0 mit der Geschwindigkeit c1=c eintritt, sodass ξ1=ξ(t−τ,0,c). Dies liefert

(40a)t(s)=t−τ+s,

(40b)x(s)=cs,

(40c)c(s)=c,

(40d)ξ(s)=ξ(t−τ,0,c)

für die Lösung des charakteristischen Systems (39). Am Ausgangsrand gilt t(s)=t, x(s)=ℓ und c(s)=c. Mit (40) wird s=τ=ℓ/c und damit

(41)ξ(t,ℓ,c)=m˙i,Tt−ℓcf˜ct−ℓc

erhalten. Zur Ermittlung der Anfangsfunktion werden die ABen t(0)=t0, x(0)=x1, c(0)=c, sodass ξ(0)=ξ0(x1,c), in (39) betrachtet, was zur Lösung

(42a)t(s)=t0+s,

(42b)x(s)=cs+x1,

(42c)c(s)=c,

(42d)ξ(s)=ξ0(x1,c)

führt. Am Ausgangsrand gilt weiterhin t(s)=t, x(s)=ℓ und c(s)=c. Mit (42) erzeugt dies t=t0+s, x1=ℓ−c(t−t0) und deshalb

(43)ξ(t,ℓ,c)=ξ0(ℓ−c(t−t0),c).

Durch Kombination von (41) und (43) folgt

(44)ξ(t,ℓ,c)=ξ0(ℓ−c(t−t0),c),c≤ℓt−t0m˙i,Tt−ℓcf˜ct−ℓc,sonst.

Mit der Ausgangsgleichung aus (29) ergibt sich der Ausgangsmassenstrom zu

m˙o,T(t)=∫cminc∗(t)ξ0(ℓ−c(t−t0),c)dc+∫c∗(t)cmaxm˙i,Tt−ℓcf˜ct−ℓcdc,

wobei

c∗(t)=cmin,ℓt−t0<cmincmax,ℓt−t0>cmaxℓt−t0,sonst.

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Erhalten: 2020-02-02

Angenommen: 2020-06-02

Online erschienen: 2020-07-31

Erschienen im Druck: 2020-08-27

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transport model; liquid film; input-output behaviour; partial differential equation; falling film evaporator