Ein systematischer Backstepping-Zugang zur Regelung gekoppelter ODE-PDE-ODE-Systeme

1 Einleitung

Der im Folgenden vorgestellte systematische Backstepping-Entwurf von stabilisierenden Zustandsrückführungen für sogenannte ODE-PDE-ODE-Systeme bietet einen einheitlichen Rahmen sowohl für hyperbolische als auch für parabolische partielle Differentialgleichungen (PDEs), die wechselseitig mit gewöhnlichen Differentialgleichungen (ODEs) gekoppelt sind. Die parabolischen PDEs beschreiben dabei typischerweise Diffusionsphänomene, wie sie beispielsweise bei Wärmeleitungsproblemen oder chemischen bzw. biochemischen Reaktionsprozessen auftreten. Hingegen kommen hyperbolische PDEs meist dann zur Beschreibung eines Prozesses zum Einsatz, wenn Wellen und deren Ausbreitung mit endlicher Geschwindigkeit dominieren. Dazu zählen unter anderem elektrische, pneumatische oder anderweitig geartete Übertragungsleitungen und schwingende Saiten.

Unabhängig vom Charakter der PDE werden solche Systeme betrachtet, bei denen dynamische Randbedingungen auftreten. Diese führen zu einer beidseitigen Kopplung einer PDE oder eines PDE-Systems mit ODEs an den entsprechenden Rändern der PDE(s); es entstehen ODE-PDE-ODE-Systeme. Die ODEs beschreiben dabei unter anderem eine Sensor- oder Aktordynamik, können aber auch bei beliebigen anderen Kopplungen zwischen Prozessen mit verteilten und konzentrierten Parametern zum Vorschein kommen. Als Beispiel seien die Wechselwirkung zwischen (konzentrierten) Energieerzeugern und Energieverbrauchern über zumeist durch hyperbolische PDEs charakterisierte Übertragungsleitungen genannt oder auch einfach eine Last an einem schweren Seil.

Die zentrale Herausforderung beim Backstepping-Entwurf von Reglern für PDE-Systeme besteht in der Wahl eines geeigneten Ansatzes für die Backstepping-Transformation sowie eines Zielsystems, in das transformiert werden soll und das aufgrund seiner einfachen Struktur leicht durch eine entsprechende Zustandsrückführung stabilisiert werden kann. Beides wird für ODE-PDE-ODE-Systeme wesentlich erschwert. Obwohl diese Systemklasse in den letzten Jahren stark im Fokus von Wissenschaftlern auf dem Gebiet des Backstepping-Entwurfs stand, decken publizierte Ergebnisse oftmals nur Sonderfälle ab. So beschränkt sich [2] auf die Kopplung einer (skalaren) Transportgleichung mit ODEs erster Ordnung und [5] unter sehr restriktiver Annahmen auf zwei hyperbolische PDEs, die mit ODEs beliebiger Ordnung in Wechselwirkung stehen. Gleiches gilt für parabolische Systeme, für die man sich für den Reglerentwurf zumeist auf eine einfache Wärmeleitungsgleichung beschränkt (z. B. [20] oder der PDE-ODE-Fall in [17]). Im Gegensatz zu diesen Einschrittentwürfen wird in [7] und [6] die Verwendung mehrerer Transformationsschritte vorgeschlagen, also ein Mehrschrittverfahren. Den einzelnen Entwurfsschritten ist dabei jeweils eine Aufgabe in Bezug auf die Stabilisierung und Entkopplung von Teilsystemen des ODE-PDE-ODE-Systems zugeordnet, wodurch sich Zustandsregler für Systeme beliebiger Dimension unter weniger restriktiven Annahmen herleiten lassen.

Anders als der weit verbreitete Einschrittentwurf baut der hier vorgeschlagene sukzessive Mehrschrittentwurf unmittelbar auf dem Integrator-Backstepping auf, indem er explizit die strenge Rückkopplungsform der ODE-PDE-ODE-Systeme berücksichtigt. Bekanntlich nutzt das Integrator-Backstepping die genannte Systemstruktur zur schrittweisen Konstruktion von Ljapunov-Funktionen, um auf diese Art Teilsystem für Teilsystem zu stabilisieren und im letzten Schritt die Zustandsrückführung zu gewinnen. Dieses Vorgehen kam auch beim passivitätsbasierten Reglerentwurf für einen Brückenkran mit schweren Ketten in [18] zum Einsatz. Allgemein lässt sich die Grundidee des Integrator-Backsteppings direkt auf die Stabilisierung von ODE-PDE-ODE-Systemen übertragen, wobei durch die Wahl eines kaskadierten Zielsystems, also einer Hintereinanderschaltung der Teilsysteme in den transformierten Koordinaten, auf die für verteilt-parametrische Systeme wesentlich komplexere Ljapunov-Theorie verzichtet werden kann. Letztlich wird die Backstepping-Methode für gekoppelte Systeme dadurch zu ihren Ursprüngen im Integrator-Backstepping zurückgeführt, was wiederum durch die eindeutige Klärung der schwierigen Frage nach der Wahl einer jeden Transformation eine Systematisierung des Mehrschrittentwurfs in [7] und [6] ermöglicht.

Im Folgenden werden lineare ODE-PDE-ODE-Systeme mit Randaktuierung und örtlich eindimensionalen parabolischen oder hyperbolischen PDEs betrachtet. Auf diese Art schließen die Ergebnisse sowohl PDE-ODE- als auch ODE-PDE-Systeme ein, bei denen die Stellgröße einerseits auf die ODE und andererseits direkt am Rand der PDE wirkt. Dem eigentlichen Backstepping-Entwurf ist in Abschnitt 2 eine ausführliche Motivation auf Basis des Zusammenhangs zwischen Integrator-Backstepping und der Backstepping-Methode für PDEs vorangestellt. Die Grundidee wird anschließend in Abschnitt 3 auf parabolische ODE-PDE-ODE-Systeme angewandt, wobei auf Grundlage von deren strenger Rückkopplungsform in jedem der drei Entwurfsschritte sukzessiv Teilsystem für Teilsystem stabilisiert wird, was im letzten Schritt auf eine die Ruhelage des Systems stabilisierende Zustandsrückführung führt. Neben dem Integrator-Backstepping kommt dabei das Konzept des relativen Grads zum Einsatz, wodurch der Entwurf grundsätzlich mit klassischen Methoden der Regelung von endlichdimensionalen Systemen auskommt. Die in den drei Schritten eingesetzten Transformationen bzw. deren Kerne ergeben sich als Lösung von bekannten Kerngleichungen (siehe [9], [10]) und einfachen Anfangswertproblemen. Da sich parabolische und hyperbolische ODE-PDE-ODE-Systeme strukturell nicht unterscheiden, lässt sich der Entwurf für den hyperbolischen Fall in Abschnitt 4 direkt aus Abschnitt 3 übertragen, wobei auf die Kerngleichungen in [11] und [7] zurückgegriffen werden kann. Letztlich wird in den Abschnitten 5 und 6 aufgezeigt, dass sich der vorgestellte modulare Entwurf direkt auf größere Systemklassen und neue Problemstellungen anwenden lässt, die wesentlich über die Ergebnisse in [7] und [6] hinausgehen.

2 Motivation und Grundidee

Die mittlerweile in der Regelungstechnik fest etablierte Backstepping-Methode für PDEs entsprang bekanntlich aus einer Verallgemeinerung des gleichnamigen Verfahrens für ODE-Systeme. So wurde beispielsweise in [4] ein Backstepping-Regler zur Stabilisierung der skalaren Reaktions-Diffusions-Gleichung

Das lineare System (2) n-ter Ordnung liegt in strenger Rückkopplungsform vor. In einer solchen hängt allgemein die i-te Ableitung x˙i(t), i=1,…,n, nur von den Komponenten x1(t), …, xi+1(t) mit xn+1(t)=u(t) ab (z. B. [15]), wobei sich in (2) speziell eine Bandstruktur ergibt, die hier jedoch nicht weiter von Interesse ist. Folglich lässt sich durch einen rekursiven Entwurf unter sukzessiver Berücksichtigung von Integratoren, oder kurz Integrator-Backstepping, eine stabilisierende Zustandsrückführung finden (z. B. [16], [1], [15]). Dafür wird im i-ten Schritt, i=1,…,n−1, die Größe xi+1(t) als virtueller Eingang zur Stabilisierung des Teilsystems mit dem Zustand [x1(t),…,xi(t)]T durch eine im linearen Fall üblicherweise lineare (virtuelle) Rückführung

verwendet und anschließend eine Fehlergröße

eingeführt. Anschaulich gesprochen, werden durch diesen Koordinatenwechsel destabilisierende Terme sukzessive in Richtung der letzten ODE geschoben, wo sie durch geeignete Wahl des Eingangs kompensiert werden können. Aufgrund der Linearität von (2) und der Rückführungen αi ergibt sich dadurch letztlich neben der stabilisierenden Zustandsrückführung u(t)=∑i=1nk¯ix¯i(t)=∑i=1nkixi(t) eine Zustandstransformation der Form

Wie in [4] gezeigt, lässt sich aus der Zustandsrückführung für die endlichdimensionale Approximation (2) eine Zustandsrückführung für das verteilt-parametrische System (1) zurückgewinnen. Die untere Dreiecksform der Transformationsmatrix motiviert dabei den Ansatz einer Volterra-Integraltransformation

in der der Transformationskern k(z,ζ) auf einem (3) entsprechenden, triangulären Gebiet 0<ζ<z<1 definiert ist. Die Anwendung von (4) auf die Reaktions-Diffusions-Gleichung (1) kann damit auch als verteiltes Integrator-Backstepping mit dem virtuellen Eingang x(1,t) (analog zu xn+1(t) im letzten Backstepping-Schritt für (2)) verstanden werden, das Integral mit dem Kern k(z,ζ) als (virtuelle) Rückführung. Entsprechend stellt x¯(z,t) eine Fehlergröße dar und der Eingang u(t) muss so gewählt werden, dass x¯(z,t) im durch (4) transformierten System (1) gegen Null geht. Die n Backstepping-Schritte für die Approximation (2) fallen dabei zu einem Schritt für die PDE (1) zusammen.

Diese Grundgedanken lassen sich direkt auf ODE-PDE-ODE-Systeme übertragen, da sich für diese auf natürliche Weise eine strenge Rückkopplungsform der einzelnen Teilsysteme ergibt. In jedem Backstepping-Schritt wird dabei eines dieser Teilsysteme stabilisiert. Indem die virtuellen Rückführungen so gewählt werden, dass sich im Zielsystem eine Kaskade der einzelnen linearen ODE- und PDE-Teilsysteme ergibt, folgt die Stabilität des Gesamtsystems aus der Kaskadenstruktur und der Stabilität der Teilsysteme, wobei letztere durch eine einfache Eigenwertvorgabe gesichert wird. Folglich ist keine umfangreiche Ljapunov-Stabilitätsanalyse notwendig.

3 Der parabolische Fall

Der parabolische Fall basiert auf dem ODE-PDE-ODE-System in [6], das im Folgenden eingeführt wird. Anschließend werden in drei Entwurfsschritten zuerst die ODE am nicht-aktuierten Rand, dann die PDE auf Grundlage einer klassischen Volterra-Integraltransformation und schließlich die aktuierte ODE durch Überführung des entsprechenden Randsystems auf Byrnes-Isidori-Normalform stabilisiert. Der so erhaltene Regler ist eine Rückführung der Zustände aller Teilsysteme.

3.2 1. Schritt: Stabilisierung der w0-ODE

Im ersten Schritt wird mit

w˙0(t)=F0w0(t)+B0x(0,t),

nur die w0-ODE (11a) an jenem Rand z=0 betrachtet, der am weitesten vom Eingang u(t) entfernt ist. In dieser, für eine bessere Lesbarkeit hier erneut angegeben, ODE übernimmt der Randwert x(0,t) die Rolle eines Eingangs. Basierend auf der Annahme (A1) von Stabilisierbarkeit von (F0,B0) kann die w0-ODE mit dem (virtuellen) Stellgesetz

(13)x(0,t)=α(w0(t))=K0w0(t)

stabilisiert werden und es ergibt sich

w˙0(t)=(F0+B0K0)w0(t)=F˜0w0(t)

mit einer Hurwitz-Matrix F˜0.

Tatsächlich ist x(0,t) kein Eingang und kann daher nicht frei vorgegeben werden. Wie beim Integrator-Backstepping üblich, wird daher eine Fehlergröße x˜(0,t)=x(0,t)−α(w0(t)) als Abweichung zwischen dem Randwert der PDE und dem virtuellen Stellgesetz (13) definiert, welche in Folge durch Vorgabe des (realen) Eingangs u(t) zu Null gemacht werden soll. Daraus motiviert sich die Transformation

(14)x¯(z,t)=x(z,t)−N(z)w0(t)

des PDE-Zustands auf die Fehlergröße x¯(z,t), wobei für die Transformationsmatrix N(z)∈Rn×n0 wegen (13) zumindest

(15)N(0)=K0

gelten soll. Die Anwendung von (14) auf das ODE-PDE-ODE-System (11) führt auf die transformierte Darstellung

(16a)w˙0(t)=F˜0w0(t)+B0x¯(0,t)

(16b)∂zx¯(0,t)=Q0x¯(0,t)+C˜0w0(t)

(16c)∂tx¯(z,t)=Λ(z)∂z2x¯(z,t)+A(z)x¯(z,t)−N(z)B0x¯(0,t)+C˜(z)w0(t)

(16d)∂zx¯(1,t)=Q1x¯(1,t)+C˜1w0(t)+C1w1(t)

(16e)w˙1(t)=F1w1(t)+B1x¯(1,t)+B1N(1)w0(t)+Bu(t)

mit

C˜0=C0+Q0K0−N′(0)C˜1=Q1N(1)−N′(1)C˜(z)=−N(z)F˜0+A(z)N(z)+Λ(z)N″(z).

Nachdem, wie in (16a) erkennbar, das w0-Teilsystem exponentiell stabilisiert wurde,^[3] kann durch geeignete Wahl von N(z) eine Kaskadierung mit den übrigen Teilsystemen vorbereitet werden. Durch die Wahl

(17)C˜0=0,C˜(z)=0

wird erreicht, dass der ODE-Zustand w0(t) nur noch auf das Teilsystem am aktuierten Rand bei z=1 rückkoppelt (vgl. strichlierte Pfeile in Abbildung 1). Dieser Einfluss lässt sich später durch geeignete Wahl des Eingangs u(t) kompensieren, weshalb nach dem ersten Transformationsschritt de facto eine Kaskade der exponentiell stabilen w0-ODE und des Restsystems vorliegt.

Abb. 1

Struktur des ODE-PDE-ODE-Systems (16) mit der Wahl (17).

Aus (17) und (15) ergibt sich für die Transformationsmatrix in (14) das Anfangswertproblem

(18a)Λ(z)N″(z)+A(z)N(z)−N(z)F˜0=0

(18b)N(0)=K0

(18c)N′(0)=C0+Q0K0,

mit (18a) auf z∈(0,1].

Lemma 1.

Das Anfangswertproblem (18a) besitzt eine eindeutige stückweiseC2-LösungN(z).

Unter Verwendung der Eigenwerte und Eigenvektoren (bzw. Hauptvektoren) von F˜0 lässt sich das matrixwertige Anfangswertproblem für N(z)∈Rn×n0 als n0 Anfangswertprobleme im Rn umschreiben, deren Lösung klassisch mit Hilfe der Fundamentalmatrix angegeben werden kann. Weitere Details finden sich in Anhang A.1.

3.3 2. Schritt: Stabilisierung der PDE

Wie in Abschnitt 2 motiviert, lässt sich das Integrator-Backstepping durch eine Volterra-Integraltransformation (4) auf eine PDE übertragen. Dieser zweite Schritt stimmt folglich in den Grundzügen mit dem Backstepping-Entwurf für reine PDE-Systeme, also ohne Ankopplung von ODEs an den Rändern, überein (z. B. [9]). Zur Stabilisierung des PDE-Teilsystems (16b)–(16d) wird entsprechend die Backstepping-Transformation

(19)x˜(z,t)=x¯(z,t)−∫0zK(z,ζ)x¯(ζ,t)dζ=T[x¯(t)](z)

mit dem Kern K(z,ζ)∈Rn×n und der zugehörigen inversen Abbildung

(20)x¯(z,t)=x˜(z,t)+∫0zKI(z,ζ)x˜(ζ,t)dζ=T−1[x˜(t)](z)

angesetzt. Aus der Identität x˜(t)=T[T−1[x˜(t)]], also durch Einsetzen von (20) in (19), ergibt sich die sogenannte Reziprozitätsbeziehung

(21)KI(z,ζ)=K(z,ζ)+∫ζzK(z,ζ¯)KI(ζ¯,ζ)dζ¯,

aus der sich der Kern KI(z,ζ)∈Rn×n durch Fixpunktiteration ergibt.

Einsetzen von (19) in das PDE-Teilsystem (16b)–(16d) führt auf

(22a)∂zx˜(0,t)=0

(22b)∂tx˜(z,t)=Λ(z)∂z2x˜(z,t)−μcx˜(z,t)+A0(z)x˜(0,t)

(22c)∂zx˜(1,t)=Q˜1x˜(1,t)+C˜1w0(t)+C1w1(t)+∫01Q˜1K(1,z)−∂zK(1,z)x¯(z,t)dz

mit Q˜1=Q1−K(1,1), sofern der Transformationskern K(z,ζ) die Kerngleichungen

(23a)Λ(z)∂z2K(z,ζ)−∂ζ2(K(z,ζ)Λ(ζ))=K(z,ζ)(A(ζ)+μcIn)

(23b)∂ζK(z,0)Λ(0)+K(z,0)(Λ′(0)−Λ(0)Q0)=−A0(z)−T[NB0](z)

(23c)Λ(z)(ddzK(z,z)+∂zK(z,z))+K(z,z)Λ′(z)+∂ζK(z,z)Λ(z)=−(A(z)+μcIn)

(23d)K(z,z)Λ(z)−Λ(z)K(z,z)=0

(23e)K(0,0)=Q0

erfüllt,^[4] wobei die PDE (23a) auf dem Gebiet 0<ζ<z<1 definiert ist. Die Existenz einer C2-Lösung K(z,ζ) der Kerngleichungen (23) ist in [9, Thm. 3] gezeigt.^[5] Aus der Lösung K(z,ζ) ergeben sich die Elemente von

(24)A0(z)=0⋯⋯0a2,1(z)⋱⋮⋮⋱⋱⋮an,1(z)⋯an,n−1(z)0.

Demnach beschreibt nur ein Teil von (23b) Randbedingungen; der Rest definiert die Elemente ai,j(z) von A0(z).

In Hinblick auf (22b) liegt durch die Struktur von A0(z) eine Kaskade der einzelnen n PDEs vor, wobei die PDE von x˜i(z,t), i=2,…,n nicht (bzw. nur noch über den aktuierten Rand bei z=1) auf die PDE von x˜i−1(z,t) rückkoppelt. Setzt man gedanklich den aktuierten Rand mit ∂zx˜(1,t)=0 zu Null, so wird aufgrund der Struktur von (22) klar, dass das kaskadierte PDE-Teilsystem durch geeignete Wahl des Entwurfsparameters μc (in der L2-Norm) exponentiell stabilisiert wird. Eine solche Wahl ist immer möglich (siehe z. B. [9, Theorem 1]). Die Stabilität des PDE-Teilsystems folgt damit aus der Stabilität der einzelnen n PDEs und ihrer kaskadierten Struktur.

Insgesamt überführt die Integraltransformation (19) mit dem Kern K(z,ζ) entsprechend (23) das ODE-PDE-ODE-System (16) auf die Darstellung

(25a)w˙0(t)=F˜0w0(t)+B0x˜(0,t)

(25b)∂zx˜(0,t)=0

(25c)∂tx˜(z,t)=Λ(z)∂z2x˜(z,t)−μcx˜(z,t)+A0(z)x˜(0,t)

(25d)∂zx˜(1,t)=Q˜1x˜(1,t)+C˜1w0(t)+C1w1(t)+∫01K˜(z)x˜(z,t)dz

(25e)w˙1(t)=F1w1(t)+B1x˜(1,t)+B1N(1)w0(t)+∫01K¯(z)x˜(z,t)dz+Bu(t),

mit

K˜(z)=Q˜1KI(1,z)−∂zK(1,z)−∫z1∂zK(1,ζ)KI(ζ,z)dζK¯(z)=B1KI(1,z).

Auf Basis von (22c) wurde dabei der auftretende Integralterm in Abhängigkeit von x¯(z,t) unter Verwendung der Reziprozitätsbeziehung (21) auf die neue Größe x˜(z,t) überführt. Aus der Struktur von (25) in Abbildung 2 ist zu erkennen, dass das ODE-PDE-ODE-System nach Transformation mit (19), von den strichlierten Rückkopplungseffekten abgesehen, einer Kaskade der zwei bereits stabilisierten Teilsysteme für w0(t) und x˜(z,t) sowie der im dritten Entwurfsschritt verbleibenden w1-ODE entspricht.

Abb. 2

Struktur des ODE-PDE-ODE-Systems (25).

3.4 3. Schritt: Stabilisierung der w1-ODE

Der Stabilitätsdiskussion des PDE-Teilsystems im vorangegangenen Abschnitt war die Annahme ∂zx˜(1,t)=0 vorausgegangen. Im letzten Schritt ist daher das Ziel, den Eingang u(t) so zu wählen, dass die (verbleibende) w1-ODE stabilisiert wird und gleichzeitig ∂zx˜(1,t)→0 für t→∞ gilt. Tatsächlich handelt es sich dabei um ein klassisches Problem der Regelung linearer und nichtlinearer Systeme endlicher Dimension. Das wird deutlich, wenn (25e) und (25d) in der Form

(26a)w˙1(t)=F1w1(t)+Fv(t)+Bu(t)

(26b)χ(t)=C1w1(t)+Gv(t)

angeschrieben werden, wobei χ(t)=∂zx˜(1,t) die Rolle eines Ausgangs in Bezug auf die w1-ODE übernimmt und die linearen, unbeschränkten Operatoren

(27a)Fv(t)=B1N(1)w0(t)+B1x˜(1,t)+∫01K¯(z)x˜(z,t)dz

(27b)Gv(t)=C˜1w0(t)+Q˜1x˜(1,t)+∫01K˜(z)x˜(z,t)dz

mit v(t)T=[w0(t)T,x˜(·,t)T] alle Rückkopplungseffekte der bereits stabilisierten Teilsysteme zusammenfassen.

Zunächst sei v(t)=0, wodurch sich aus (26) die klassische Zustandsdarstellung

(28a)w˙1(t)=F1w1(t)+Bu(t)

(28b)χ(t)=C1w1(t)

ergibt. Die Frage nach einer den Ausgang χ(t) für t→∞ zu Null machenden Zustandsrückführung, auch als output-zeroing problem bekannt, führt unmittelbar auf das Konzept des relativen Grads und der Byrnes-Isidori-Normalform (z. B. [13] oder [1]). Dafür bezeichne {r1,…,rn} den (vektoriellen) relativen Grad des linearen Mehrgrößensystems (28), mit ∑i=1nri≤n1=dimw1(t). Dann existiert eine (invertierbare) Zustandstransformation

(29)ξ(t)η(t)=Tw1(t),ξ(t)T=[ξ1(t)T,…,ξn(t)T]

mit ξi(t)=[ξi1(t),…,ξiri(t)]T derart, dass (28) auf die Byrnes-Isidori-Normalform

(30a)ξ˙ij(t)=ξij+1(t),j=1,…,ri−1

(30b)ξ˙iri(t)=miTξ(t)+siTη(t)+kiTu(t)

(30c)η˙(t)=Pξ(t)+Qη(t)

(30d)χi(t)=ξi1(t)

überführt werden kann, in der sich Integratorketten der Länge ri für die Komponenten χi(t), i=1,…,n, des Ausgangs χ(t)=[χ1(t),…,χn(t)]T ergeben.^[6] Die Matrizen P, Q und Vektoren miT, siT, kiT ergeben sich aus F1, B sowie C1 und werden hier nicht explizit angegeben. Für (30) lässt sich immer eine die ξ-Dynamik asymptotisch stabilisierende Zustandsrückführung angeben, was limt→∞χ(t)=0 impliziert. Das Gesamtsystem (30) ist nur dann asymptotisch stabil, wenn gleiches für die Nulldynamik η˙(t)=Qη(t) gilt.

Diese bekannten Ergebnisse lassen sich direkt auf die w1-ODE in (26) übertragen. Aufgrund der Operatoren F und G in (26) treten dabei sowohl in der (29) ersetzenden Zustandstransformation

(31)ξ(t)η(t)=Tw1(t)+Vv(t)0

als auch in der zugehörigen Byrnes-Isidori-Normalform

(32a)ξ˙ij(t)=ξij+1(t),j=1,…,ri−1

(32b)ξ˙iri(t)=miTξ(t)+siTη(t)+Miv(t)+kiTu(t)

(32c)η˙(t)=Pξ(t)+Qη(t)+Hv(t)

(32d)χi(t)=ξi1(t)

(vgl. (30)) mit Vv(t), Hv(t) und Miv(t), i=1,…,n, zusätzliche Terme auf, die unter anderem Zeitableitungen der Randwerte x˜(0,t) und x˜(1,t) bis zur Ordnung ri−1 enthalten. Entsprechend hängt auch eine die ξ-Dynamik stabilisierende Zustandsrückführung

(33)u(t)=K¯[ξ(t),η(t),v(t)]

von diesen Zeitableitungen ab, deren Realisierung nicht Gegenstand der vorliegenden Betrachtungen ist (siehe z. B. [6]). Die Annahme (A2) sichert, dass Q in (32c) bzw. im geschlossenen Kreis

(34a)ξ˙(t)=Rξ(t)

(34b)η˙(t)=Pξ(t)+Qη(t)+Hv(t)

(34c)χi(t)=ξi1(t)

eine Hurwitz-Matrix ist^[7] und damit, dass (33) die w1-ODE asymptotisch stabilisiert.

Wie in Abbildung 3 illustriert, führt die Zustandsrückführung (33) auf eine kaskadierte Struktur der einzelnen Teilsysteme im geschlossenen Kreis (25a)–(25c), (34). Basierend auf der Hurwitz-Eigenschaft von R in (34a) klingt ξ(t) exponentiell ab, was χ(t)=∂zx˜(1,t)=0 für t→∞ impliziert und damit in Hinblick auf die Kaskade der n exponentiell stabilen PDEs in (25c) auf limt→∞||x˜(t)||L2=0 führt. Wegen x˜(0,t)=0 für t→∞ und F˜0 Hurwitz geht damit auch w0(t) exponentiell gegen Null. Auf der Basis von v(t)T=[w0(t)T,x˜(·,t)T]=0T und ξ(t)=0 verbleibt in (34b) nur eine autonome ODE für η(t), die in Folge der Hurwitz-Matrix Q exponentiell stabil ist, wodurch zuletzt die exponentielle Stabilität des geschlossenen Kreises (25a)–(25c), (34) gezeigt ist. Aufgrund der Beschränktheit der Transformationen (14), (19) und (31) gilt gleiches für das durch

(35)u(t)=K[X(t)]

geregelte System (11) bzw. (12) in den Originalkoordinaten X(t), wobei (35) aus (33) unter Verwendung der zuvor genannten drei Transformationen bzw. ihrer Inversen folgt.

Abb. 3

Struktur des ODE-PDE-ODE-Systems (25a)–(25c), (34).

4 Der hyperbolische Fall

Der für parabolische ODE-PDE-ODE-Systeme aufgezeigte systematische Entwurf von Zustandsrückführungen lässt sich direkt auf den hyperbolischen Fall übertragen, da beide die strukturell gleiche strenge Rückkopplungsform eint. Die Diskussion des Reglerentwurfs für das allgemeine hyperbolische System aus [7] fällt daher kompakter aus.