Volume 17, Issue 12

Es wird gezeigt, daß das Kriterium nach Cremer-Leonhard- Michailow auf der Grundlage eines äquivalenten Ersatzsystems zur Untersuchung der Stabilität nichtlinearer Regelkreise einsetzbar ist. Die Handhabung des Verfahrens und die Vorteile seiner Anwendung werden an Beispielen erläutert. Auf die Beurteilung der Brauchbarkeit einer auf harmonischer Linearisierung beruhenden Beschreibungsfunktion als Näherung wird besonders eingegangen. A method is shown to apply the stability criterion of Cremer- Leonhard-Michailow to non-linear control systems by using an equivalent substitute system. Examples are presented to illustrate the method and to demonstrate its advantages. Special consideration is given to the question of evaluating the range of validity of the describing function based on a first-harmonic approximation.

Beschrieben wird eine Methode zur selbsttätigen Einstellung einer Extremwerte von Funktionen z - g (x a · y), die durch einen Maximalwert ihres Arguments x a · y gekennzeichnet sind. Danach wird das vorgegebene System zu selbsterregten Schwingungen veranlaßt, bei denen die interessierende Größe um ihren Extremwert pendelt, ohne selbst als Steuergröße zu dienen. Typische Eigenarten solcher Systeme sind geringe Schwankungen der zu extremalisierenden Größe und besondere Einfachheit. Funktion und Realisierung des Verfahrens werden an Hand praktischer Beispiele erläutert. A method is described for the automatic setting of those extrema of functions z - g (x a · y) which are characterized by a maximum value of their argument x a · y. Self-induced oscillations are produced in the given system where the variable of interest oscillates around its extreme value without serving as forcing function itself. Small deviations of the variable to be extremalized and particular simplicity are typical characteristics of such systems. The principle and application of the method are explained through examples.

Für die rasche und bequeme Auswertung von Potentialfeldern, beispielsweise im elektrolytischen Trog, ist eine Einrichtung zweckmäßig, die es gestattet, eine Äquipotentiallinie in einem Zuge zu durchfahren. Die hierzu notwendige Nachlaufregelung stellt ein kompliziertes Regelproblem dar, da insbesondere konstante Bahngeschwindigkeit erwünscht ist und geschlossene Kurven beliebig oft durchlaufen werden sollen. Ein von zwei Instituten der Stuttgarter Universität gemeinsam entwickeltes Gerät, dessen Regeleinrichtung hier ausführlich beschrieben ist, erfüllt diese Anforderungen. To facilitate interpretation of potential fields, for example in electrolytic tanks, a device ist suitable, which is able to follow an equipotential line automatically. The necessary follow-up system represents a complicated control problem, because a constant velocity is desirable and especially because it shall be possible to follow closed curves an infinite number of times. These requirements are accomplished by a device developed in co-operation of two institutes at the University of Stuttgart. The control equipment of this device is described in detail.

Die Struktur von zeitoptimalen Steuergesetzen für kontinuierliche lineare zeitinvariante Systeme mit verschiedenen reellen Eigenwerten wurde untersucht. Aufgrund dieser Kenntnisse kann am Schluß der Arbeit ein subzeitoptimales Steuergesetz angegeben werden. Das Steuergesetz, das zu einem System n-ter Ordnung gehört, baut sich aus den Steuergesetzen von (n - 1) Teilsystemen 2. Ordnung auf. Die Teilsysteme sind so geordnet, daß das erste Teilsystem, zu dem die Eigenwerte λ 1 und λ 2 der Systemmatrix A mit dem kleinsten Absolutbetrag gehören, den ersten Zeitabschnitt der zeitoptimalen Steuerfunktion u* (t) im wesentlichen bestimmt. Teilsysteme, zu denen Eigenwerte mit größerem Absolutbetrag gehören (es gilt hier λ n < λ n-1 ... < λ 2 < λ 1 ≤ 0), haben im allgemeinen einen kleineren Einfluß auf die Bestimmung von u* (t). Das (n - 1 )-te Teilsystem mit den Eigenwerten λ n-1 und λ n beeinflußt hauptsächlich den vorletzten Zeitabschnitt von u* (t). Am Ende dieses Abschnittes haben alle Zustandskomponenten den gleichen Zeitabstand vom Ursprung, so daß im letzten Zeitabschnitt alle Teilsysteme die gleiche Steuerfunktion liefern. Die in dieser Arbeit gewählte Darstellung erlaubt außerdem eine einfache geometrische Ableitung des Satzes von Feldbaum. The structure of time-optimal control laws for continuous linear time-invariant systems with different real eigenvalues was investigated. Based on this knowledge at the end of the paper a time-suboptimal control law is given. The control law for an n-th order system consists of the control laws of n - 1 second order subsystems. The subsystems are ordered such that the first subsystem with the eigenvalues λ 1 and λ 2 of the system matrix A with the smallest absolute value determines essentially the first part of the time-optimal control variable u*(t). Subsystems with eigenvalues of bigger absolute value (here: λ n < λ n-1 < λ 2 < λ 1 < 0) generally have a smaller influence on the determination of u*(t). The (n - 1)st subsystem with the eigenvalue λ n-1 and λ n determines essentially the last but one interval of u*(t). At the end of this interval all state components have the same time distance from the origin, such that all subsystems give the same control function for the last interval. The representation chosen in this paper allows a simple geometric derivation of Feldbaum’s theorem.