Experimentelle Erprobung einer kollisionsfreien Abstandsregelung für mobile Roboter

Literatur

Das Problem der asymptotischen Synchronisation von Multiagentensystemen wurde in einer Vielzahl von Veröffentlichungen untersucht. Eine Übersicht zu verschiedenen Aspekten der Synchronisation homogener und heterogener Agenten ist beispielsweise in [5] zu finden.

Zur Gewährleistung der Kollisionsfreiheit bei einer Kolonnenfahrt werden zusätzliche Forderungen an das Übergangsverhalten der Fahrzeuge gestellt. Üblicherweise wird dafür die in [11] eingeführte Kolonnenstabilität als Sicherheitsforderung genutzt [7]. Allerdings reicht dies nicht, um die Kollisionsfreiheit der Fahrzeuge in jeder Fahrsituation zu garantieren. Dagegen fordert [6] die externe Positivität der geregelten Fahrzeuge und zeigt, dass in diesem Fall die Kollisionsfreiheit der Fahrzeugkolonne sichergestellt ist. Beide Ansätze sollen in dieser Arbeit experimentell verglichen werden (Abschnitt 6).

Ein weit verbreiteter Ansatz zur Bahnfolgeregelung von mobilen Robotern ist die Projektion der Roboterposition auf eine parametrisierte Referenzbahn [1], [9]. Dies ermöglicht den Entwurf von linearen bzw. nichtlinearen Regelungen, die die asymptotische Bahnfolge des Roboters gewährleisten. Alternativ wird in [3] ein leitendes Vektorfeld genutzt, um die Roboter mittels einer nichtlinearen Bewegungssteuerung entlang der Referenzbahn zu führen. Da sich in diesem Beitrag die Experimente auf Kreisbahnen als Referenzbahn beschränken, kann die Bahnfolge der Roboter durch eine lineare Zwei-Freiheitsgrade-Regelung sichergestellt werden (Abschnitt 4).

Gliederung

Im 2. Kapitel wird der Aufbau der Versuchsanlage SAMS vorgestellt. In Kapitel 3 wird das Modell des nichtlinearen Roboters eingeführt. Der Entwurf einer Bahnfolgeregelung wird in Kapitel 4 präsentiert. In den Kapiteln 5 und 6 wird der Entwurf der synchronisierenden Regler diskutiert und an der Versuchsanlage SAMS experimentell erprobt.

M3pi-Roboter

Über einen Differentialantrieb bestehend aus zwei unabhängig, über Gleichstrommotoren angetriebenen Rädern können die mobilen Roboter der Firma Pololu auf der Fahrfläche bewegt werden. Die Stellgrößen werden über ein XBee-Funkmodul empfangen. Durch eine Platte mit fünf reflektierenden Markerbällen, die bei jedem Roboter in einem individuellen Muster angeordnet sind, kann jeder Roboter durch das Kamerasystem eindeutig identifiziert werden.

Kamerasystem

Zwölf gleichmäßig über der Fahrfläche angeordnete USB-Kameras des Typs Flex 3 der Firma Optitrack bestimmen sowohl die Position als auch den Orientierungswinkel der Roboter. Diese Daten werden über eine serielle Schnittstelle an den PC übermittelt.

PC mit MATLAB

Mit der am PC laufenden Software Motive werden die Bilddaten des Kamerasystems in Echtzeit ausgewertet und an Matlab übermittelt. Dort werden unter Verwendung der entworfenen Regelungsalgorithmen aus den Messgrößen die Stellgrößen der Roboter berechnet.

Xbee-Funkmodul

Die Stellgrößen werden drahtlos über ein Xbee-Funkmodul an die Roboter übertragen. Eine individuelle ID-Kennung legt fest, für welchen Roboter die gesendete Stellgröße bestimmt ist.

Abbildung 3 zeigt den schematischen Aufbau des Regelkreises eines Roboters. Das Xbee-Funkmodul zusammen mit den Motoren des Roboters bilden das Stellglied, der mobile Roboter die Regelstrecke und das Kamerasystem zusammen mit der Software Motive das Messglied des Regelkreises. In Matlab ist der Regler als zeitdiskreter Algorithmus implementiert. Die verwendete Hardware ermöglicht eine Zykluszeit von 30ms, wobei für die hier verwendeten Roboter keine wesentlichen Übertragungstotzeiten auftreten.

4.1 Zielstellung und Steuerungsstruktur

Das Ziel dieses Abschnittes ist die Strukturierung und der Entwurf einer Regelung, die einen mobilen Roboter mit beliebiger Geschwindigkeit entlang der in Abb. 5 gezeigten Kreisbahn führt.

Abb. 5

Gewünschte Kreisbahn des mobilen Roboters.

Abb. 6

Zwei-Freiheitsgrade-Struktur der Bahnfolgeregelung eines Roboters.

Dazu wird das Modell (1) in die Polarkoordinaten

überführt, wobei der Mittelpunkt (xm,ym)T der Kreisbahn als Pol gewählt wird. Aus der Transformation ergibt sich das Modell

wobei r(t) den Radius der Kreisbahn, θ(t) den Polarwinkel und ϕ(t) den Orientierungswinkel des Roboters beschreiben.

Abbildung 6 zeigt die Struktur der Bahnfolgeregelung bestehend aus einer Bahnsteuerung sowie Komponenten zur Anpassung des Bahnradius und des Orientierungswinkels des Roboters. Ziel der folgenden Abschnitte ist es, diese Reglerstruktur systematisch abzuleiten und Methoden für die Wahl die Parameter anzugeben, damit die Forderung

unter Vorgabe einer translatorischen Sollgeschwindigkeit vs(t) und eines konstanten Sollradius r¯ der Kreisbahn erfüllt wird.

4.2 Bahnsteuerung

Unter der Annahme, dass sich der Roboter in seiner Startpose tangential auf der Kreisbahn mit Radius rsoll(t) befindet, kann für eine gegebene translatorische Sollgeschwindigkeit vs(t) über die Beziehung

die zugehörige rotatorische Geschwindigkeit ωV(t) bestimmt werden. Die daraus folgende Bahnsteuerung ist in Abb. 6 oben dargestellt. Es handelt sich dabei um eine Steuerung in der offenen Kette.

Abbildung 7 zeigt die Erprobung der Bahnsteuerung eines Roboters, der tangential auf der Kreisbahn mit dem Radius r¯=1,7m platziert wurde und sich mit der translatorischen Geschwindigkeit v¯s=0,85m/s bewegen sollte. Die Vorsteuerung kann nicht auf die rampenförmigen Störungen des Orientierungswinkels des Roboters und den daraus resultierenden Einfluss auf den gefahrenen Radius reagieren. Für die Kompensation dieser Störeinwirkung dienen die beiden in den folgenden Abschnitten entwickelten Regler.

Abb. 7

Experimentelle Erprobung der Bahnsteuerung eines mobilen Roboters.

4.3 Anpassung des Orientierungswinkels

Aus der Winkeländerung ωV(t)−ωR(t) und dem Anfangswinkel ϕ0 wird der aktuelle Sollwinkel

bestimmt. Wie in Abb. 8 dargestellt, bildet die Abweichung des gemessenen Winkels ϕ(t) vom Sollwert ϕsoll(t) den Regelfehler

Aus Gleichung (2) ist ersichtlich, dass der Orientierungswinkel ϕ(t) bezüglich der rotatorischen Geschwindigkeit ω(t) integrales Verhalten aufweist. Zur Stabilisierung des Orientierungswinkels wird ein PD-Regler der Form

mit den Parametern

verwendet. Eine Kompensation der rampenförmigen Störung des Orientierungswinkels des Roboters kann mit der gewählten Reglerstruktur nicht gewährleistet werden, woraus eine bleibende Reglerabweichung zwischen Sollwert ϕsoll(t) und Istwert ϕ(t) resultiert. Allerdings wird dies auch nicht in der Zielstellung der Bahnfolgeregelung (3), einer vorgegebenen Kreisbahn zu folgen, explizit gefordert.

Abb. 8

Korrektur des Orientierungswinkels des Roboters.

Abb. 9

Korrektur des Radius des mobilen Roboters.

4.4 Anpassung des Bahnradius

Auch mit dem durch die zuvor beschriebene Regelung korrigierten Orientierungswinkel ϕ(t) haben Störungen weiterhin zur Folge, dass der Roboter nicht exakt auf der gewünschten Kreisbahn fährt (Abb. 9). Aus diesem Grund wird eine Regelung zur Korrektur des Radius verwendet.

Entwurf der Regelung

Aufgabe der Regelung des Radius ist die Stabilisierung der linearisierten Strecke (8) um den Arbeitspunkt (7) sowie die Kompensation sprungförmiger Störungen, die aus der Anpassung des Orientierungswinkels resultieren. Das Verhalten des linearisierten Modells (8) wird im Bezug auf das Eingangssignal ωW(t)∘−∙ΩW(s) und das Ausgangssignal r(t)∘−∙R(s) durch die Übertragungsfunktion

(9)GR(s)=v¯ss2+v¯s2r¯2

beschrieben. Da die Regelstrecke (9) keinen integralen Anteil zur Kompensation einer sprungförmigen Störung besitzt, wird ein PID-Regler der Form

(10)KR(s)=kPR+kIRs+kDRs

verwendet [4]. Bei der Stabilisierung der linearen Strecke um den Arbeitspunkt ist zu beachten, dass sowohl die statische Verstärkung als auch die Polstellen der Übertragungsfunktion (9) abhängig vom jeweiligen Arbeitspunkt sind. Wie Abb. 10 zeigt, werden daher die Reglerparameter

kPR=5,kIR=0,4undkDR=4

anhand der Wurzelortskurve so ausgelegt, dass der geschlossene Regelkreis für die Arbeitspunktintervalle v¯s∈[0,07,0,9] und r¯∈[0,1,7] E/A-stabil ist.

Abb. 10

Wurzelortskurven bei Kreisbahnradius r¯=1,7 und unterschiedlichen translatorischen Geschwindigkeiten v¯s.

Zusammengefasst wird die rotatorische Geschwindigkeit

ω(t)=ωV(t)+ωW(t)−ωR(t)

des Roboters durch die Bahnsteuerung (4), die Anpassung des Orientierungswinkels (6) sowie die Anpassung des Radius (10) beeinflusst.

4.5 Experimentelle Erprobung

In Experimenten am Versuchsaufbau SAMS wurde die in Abb. 6 gezeigte Zwei-Freiheitsgrade-Regelung erprobt, wobei sich der Roboter mit der translatorischen Geschwindigkeit vs(t)=0,85m/s auf einer Kreisbahn mit dem Radius r¯=1,7m bewegen sollte. Als Startpose wurde der Roboter tangential auf der Kreisbahn platziert. Abbildung 11 zeigt, dass es in Bezug auf den Orientierungswinkel aufgrund der rampenförmigen Störungen zu einer konstanten Regelabweichung eϕ kommt. Aus dem Verlauf der Regelabweichung er zwischen Soll- und Istradius des Roboters ist hingegen ersichtlich, dass das in Gl. (3) formulierte Ziel, den Roboter entlang der gewünschten Kreisbahn zu führen, erfüllt wird.

Abb. 11

Experimentelle Erprobung der Kreisbahnregelung eines mobilen Roboters.

5.1 Regelungsaufgabe

Die sich auf der Kreisbahn bewegenden Roboter (11) werden im Folgenden für die Realisierung einer Kolonnenfahrt an der Versuchsanlage SAMS genutzt, um im Experiment Fahrzeugkolonnen, wie sie in Zukunft im Straßenverkehr auftreten sollen, nachzubilden. Die Fahrzeugkolonne besteht aus einem Führungsroboter und aus N geregelten Folgerobotern, die sich mit gleicher Geschwindigkeit und einem vorgegebenen Abstand bewegen sollen.

Abb. 12

Struktur einer Roboterkolonne.

Abbildung 12 zeigt die Kopplungsstruktur der geregelten Roboter, die einem gerichteten Pfad zwischen den benachbarten Robotern entspricht. Der Führungsroboter Σ˜0 folgt dem Führungssignal w(t) für die Winkelgeschwindigkeit und jeder Folgeroboter Σ¯i, (i=1,…,N) erhält die Position des vorausfahrenden Roboters als Winkel θi−1(t) auf der Kreisbahn. Um Kollisionen zwischen den Robotern zu verhindern, muss gewährleistet werden, dass der Abstand

zwischen den Robotern einen vorgegebenen Mindestabstand dmin nicht unterschreitet. Entsprechend Abb. 13 wird ein reduzierter Abstand

eingeführt, welcher mit dmin=γ+α die Länge des Roboters γ im Bogenmaß und einen Mindestabstand α berücksichtigt.

Abb. 13

Abstände zwischen zwei Robotern auf der Kreisbahn.

Um Kollisionen bei Geschwindigkeitsänderungen zu vermeiden, müssen die Fahrzeugkolonnen mit automatischer Abstandsregelung entsprechend [6] die folgenden Forderungen erfüllen:

1. E/A-Stabilität: Die Roboterkolonne muss eingangs-ausgangs-stabil sein.

2. Asymptotische Synchronisation der Geschwindigkeiten: Bewegen sich sämtliche Roboter mit der Geschwindigkeit des Führungsroboters

   limt→∞|vi(t)−v0|=0,i=0,…,N,

   so stellt sich ein konstanter Abstand zwischen den Robotern ein.

3. Asymptotische Fahrzeugfolgezeit: Der lokale Sollabstand zum vorausfahrenden Roboter

   d˜iref(t)=βvi(t),i=1,…,N

   hängt von der Geschwindigkeit des Roboters und der Fahrzeugfolgezeit β ab. Stationär sollen sich die Abstände der Roboter den lokalen Sollwerten angleichen:

   limt→∞|d˜i(t)−d˜iref(t)|=0,i=1,…,N.

4. Kollisionsfreiheit: Zu keinem Zeitpunkt soll der Sicherheitsabstand dmin unterschritten werden:

   d˜i(t)≥0,t≥0,i=1,…,N.

5. Akkurates Fahrverhalten: Die Roboter sollen sich zu keinem Zeitpunkt rückwärts bewegen:

   vi(t)≥0,t≥0,i=0,…,N.

5.2 Abstandsregelung

In Abbildung 14 ist die Struktur des bahngeregelten Roboters mit Abstandsregelung dargestellt. Dabei entspricht θi(t)∘−∙Θi(s) der Position des Roboters und vsi(t)∘−∙Vsi(s) der Sollwinkelgeschwindigkeit des i-ten Roboters. Die Sollgeschwindigkeit

ergibt sich aus der Differenz des reduzierten Abstands d˜i(t)=di(t)−d¯minσ(t) und des Sollabstands d˜iref(t)∘−∙βVi(s).

Abb. 14

Blockschaltbild des i-ten Roboters mit Abstandsregler K(s).

5.3 Modelle des geregelten Roboters

Für das Übertragungsverhalten der bahngeregelten Roboter mit überlagerter Abstandsregelung wird im Folgenden ein Modell abgeleitet. Das Robotermodell (11) wird im Frequenzbereich durch

mit der Übertragungsfunktion

beschrieben. Aus Gln. (12), (13) resultiert das Modell des geregelten Roboters

mit der Übertragungsfunktion

bezüglich der Position θi(t) des i-ten Roboters und der Position θi−1(t) des vorausfahrenden Roboters. Da zwischen der Geschwindigkeit und der Position des Roboters der Zusammenhang

und für den Mindestabstand unter Berücksichtigung des Anfangswertes

gilt, resultiert aus Gl. (14) das Übertragungsverhalten im Bezug auf die Geschwindigkeiten:

Die Änderung des reduzierten Abstands ist durch die Beziehung

gegeben, die auf

führt. Damit erhält man das Robotermodell (Abb. 15)

welches für den Entwurf der Abstandsregelung benötigt wird.

Abb. 15

Blockschaltbild des geregelten Roboters V¯i.

5.4 Roboter, die die Forderungen (R1)–(R5) erfüllen

Dieser Abschnitt zeigt, dass man die an die Kolonne gestellten Forderungen (R1)–(R5) als Forderungen an die geregelten Teilsysteme umformulieren kann. Der Regelkreis wird durch einen PI-Regler

geschlossen, wobei kP der Reglerverstärkung des proportionalen Anteils und kI der Reglerverstärkung des integralen Anteils entspricht. Wie sich zeigen wird, ist die Verwendung eines PI-Reglers notwendig, da beide Freiheitsgrade benötigt werden, um formulierten Forderungen zu erfüllen.

Einsetzen von Gleichungen (13) und (18) in die Übertragungsfunktionen (15) und (16) des geregelten Roboters ergibt

und

Aus den Forderungen (R1)–(R5) werden im Folgenden Bedingungen an die Wahl der Parameter kP und kI abgeleitet, die nach [6] eine kollisionsfreie Kolonnenfahrt der Roboter gewährleisten.

5.5 Kolonnenstabile Roboter

Dieser Abschnitt beschreibt eine alternative Vorgehensweise zur Erfüllung der Forderungen (R1)–(R5). Eine in der Literatur häufig verwendete Eigenschaft, die die Forderungen (R4) und (R5) ersetzen soll, ist die Kolonnenstabilität der geregelten Roboter:

Wird der Führungsroboter Σ˜0 mit einem sinusförmigen Sollwert w(t)=sin(ψt) angeregt, fordert die Kolonnenstabilität, dass die Amplitude des reduzierten Abstands d˜i(t), (i=1,…,N) entlang der Kolonne konstant bleibt oder abklingt.

Mit dieser Definition werden die Forderungen (R4) und (R5) aus Abschnitt 5.1 folgendermaßen ersetzt:

1. Kolonnenstabilität: Bei einer sinusförmigen Anregung des Führungsroboters sollen die reduzierte Abstände d˜i(t) entlang der Kolonne nicht aufklingen (19).

Die Bedingung an die Kolonnenstabilität (19) kann in diesem Fall also wie folgt umformuliert werden:

Wie in [6] an einen Beispiel gezeigt wurde und sich in der experimentellen Erprobung herausstellen wird, reicht die Kolonnenstabilität des geregelten Roboters allerdings nicht aus, um die Kollisionsfreiheit (R4) zu garantieren.

Wahl der Reglerparameter

Die Kolonnenfahrt soll auf einer Kreisbahn mit dem Radius r¯=1,7m erprobt werden. Aus Gl. (13) folgt, dass die Roboter in diesem Fall eine statische Verstärkung von ks=0,588 aufweisen. Aus der Länge der Roboter

sowie dem gewählten Sicherheitsabstand α=2∘ folgt der Mindestabstand dmin=7,4∘. Die Fahrzeugfolgezeit wurde auf β=0.4s festgelegt.

Die Parameter des Reglers (18) für die kolonnenstabile Roboterdynamik wurden entsprechend den Forderungen aus Abschnitt 5.5 gewählt:

Um eine extern positive Roboterdynamik zu erzeugen, wurden die Reglerparameter nach den Bedingungen aus Abschnitt 5.4 festgelegt:

Vergleich der geregelten Roboter

Abbildung 16 zeigt die Pol-Nullstellen-Diagramme der beiden geschlossenen Regelkreise G¯v(s). Aus der Lage der Polstelle wird ersichtlich, dass in beiden Fällen die Roboter E/A-stabil sind.

Abb. 16

Pol-Nullstellen-Diagramme der geregelten Roboter.

Abb. 17

Gewichtsfunktion der geregelten Roboter.

In Abb. 17 werden die Gewichtsfunktionen der geregelten Roboter verglichen. Es ist zu erkennen, dass die Gewichtsfunktion des kolonnenstabilen Roboters über einen kurzen Zeitraum negativ ist. Folglich führt eine kolonnenstabile Roboterdynamik nicht zwingend zu einer extern positiven Roboterdynamik. Im Vergleich dazu erzeugt die Wahl der Reglerparameter (21) eine nichtnegative Gewichtsfunktion.

Kolonnenfahrt

Zunächst wurde die Kolonnenfahrt für sieben Roboter mit den Reglerparametern (20) untersucht.

Abb. 18

Kolonnenfahrt von sieben Robotern bei kolonnenstabiler Dynamik der Folgeroboter.

Der Führungsroboter Σ˜0 folgte dabei einem vorgegebenen Geschwindigkeitsprofil w(t) mit mehrfachen sprungförmigen Änderungen der Geschwindigkeit. Abbildung 18 zeigt die Ergebnisse. Alle Roboter der Kolonne folgen ihrem jeweils vorausfahrenden Roboter und die Geschwindigkeiten der Roboter vi(t) synchronisieren asymptotisch. Ändert der Führungsroboter seine Geschwindigkeit vs0(t), so kommt es zu einem Überschwingen der Sollgeschwindigkeit vsi(t) der Folgeroboter. Für den Fall, dass der Führungsroboter stark abbremst, hat dies zur Folge, dass der reduzierte Abstand d˜i(t) entlang der Kolonne monoton abnimmt (roter Pfeil in Abb. 18). Bei einer ausreichend großen Anzahl an Robotern werden die Forderungen nach Kollisionsfreiheit (R4) sowie nach akkuratem Fahrverhalten (R5) folglich nicht erfüllt.

Im Vergleich dazu ist in Abb. 19 die Kolonnenfahrt für sieben Roboter mit den Reglerparametern (21) dargestellt. In diesem Fall kommt es bei einer Änderung der Geschwindigkeit vs0(t) des Führungsroboters zu keinem Überschwingen der Sollgeschwindigkeiten vi(t). Dies gewährleistet, dass auch im Falle einer starken Abbremsung der reduzierte Abstand d˜i(t) nicht überschwingt, sodass sowohl die Kollisionsfreiheit (R4) als auch das akkurate Fahrverhalten (R5) bei einer beliebigen Anzahl an Robotern gewährleistet werden.

Abb. 19

Kolonnenfahrt von sieben Robotern bei extern positiver Dynamik der Folgeroboter.