Trajektoriengenerator zur Erzeugung beschränkter B-Splines
-
Andreas Seefried
andreas.seefried@dlr.de
und
Andreas Pfeiffer
andreas.pfeiffer@dlr.de
Zusammenfassung
Der Beitrag stellt einen Algorithmus zur Generierung von mehrfach stetig differenzierbaren Trajektorien auf Basis von B-Splines vor, deren Funktionswerte und Ableitungen innerhalb von konstanten Grenzen liegen. Die Trajektorien können für Systeme genutzt werden, bei denen Grenzen in den Ableitungen des Systemeingangs vorliegen. Dies trifft beispielsweise auf Modelle zu, bei denen ein Antrieb mit Begrenzungen in der Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung als Systemeingang genutzt wird.
Zur Generierung werden Parameter, Startwerte der Trajektorie sowie die konstanten Grenzen benötigt. Eine quadratische Optimierung liefert die Stützpunkte der B-Spline-Kurve, die dadurch definiert ist. Die implizit begrenzten B-Splines können ideal in Optimalsteuerungsproblemen und modellprädiktiven Regelungen als Steuertrajektorie eingesetzt werden. Durch die implizite Berücksichtigung von Nebenbedingungen können ebensolche aus dem eigentlichen Optimierungsproblem entfallen. Daraus resultiert eine Verringerung der Komplexität des Optimalsteuerungsproblems bzw. der modellprädiktiven Regelung was wiederum zu einer schnelleren Berechnungszeit führt.
Die implizit begrenzten B-Splines werden im Beitrag vorgestellt und exemplarisch in einer modellprädiktiven Regelung mit einem robotischen System angewandt. Sie führen zu einer deutlich schnelleren Berechnungszeit im Vergleich zur Nutzung von B-Splines mit expliziten Nebenbedingungen im Optimierungsproblem.
Abstract
In this paper, a novel approach for generating continuously differentiable trajectories based on B-Splines with the implicit consideration of constraints is presented. The control points of the B-spline are evaluated by a set of parameters and a quadratic programming problem. The approach can be used for systems that have inputs with constant constraints and constant constraints in their first and second derivative.
For optimal control problems or model predictive control, the presented B-splines implicitly fulfill constraints that can be removed from the optimization problem. Thus, the complexity and computational effort of the superordinate optimization problem is reduced. The paper presents the method, examples of generated trajectories and an application of these trajetories in a model predictive control for a robot based motion simulator.
Über die Autoren
andreas.seefried@dlr.de
andreas.pfeiffer@dlr.de
Anhang A Nebenbedingungen
Die Matrix G und der Vektor h stellen die Nebenbedingungen (25) für das Optimierungsproblem (24) dar. Zur besseren Lesbarkeit werden G und h in kleinere Matrizen bzw. Vektoren aufgeteilt, sodass
Zusätzlich wird
eingeführt.
Aus
folgt
Aus
folgt
Die Ungleichungen zur Beschränkung der Geschwindigkeit
liefern
und für die Beschränkung der Beschleunigung
werden die Matrizen analog aufgebaut. Aufgrund der Größe ist die Darstellung leider nicht komplett möglich. Als Beispiel dienen die Zeilen für
und
Literatur
1. A. Beghi, M. Bruschetta and F. Maran. A Real-Time Implementation of an MPC-Based Motion Cueing strategy with Time-Varying Prediction. In 2013 IEEE International Conference on Systems, Man, and Cybernetics, pages 4149–4154, Oct 2013.10.1109/SMC.2013.707Suche in Google Scholar
2. T. Bellmann. Optimierungsbasierte Bahnplanung für interaktive robotische Bewegungssimulatoren. PhD thesis, 2014.Suche in Google Scholar
3. C. De Boor. A Practical Guide to Splines, volume 27. Springer-Verlag New York, 1978.10.1007/978-1-4612-6333-3Suche in Google Scholar
4. H. Fujioka and H. Kano. Control theoretic B-spline smoothing with constraints on derivatives. In 52nd IEEE Conference on Decision and Control, pages 2115–2120. IEEE, 2013.10.1109/CDC.2013.6760194Suche in Google Scholar
5. A. Gasparetto and V. Zanotto. Optimal trajectory planning for industrial robots. Advances in Engineering Software, 41(4):548–556, 2010.10.1016/j.advengsoft.2009.11.001Suche in Google Scholar
6. L. Grüne and J. Pannek. Nonlinear Model Predictive Control: Theory and Algorithms. Communications and Control Engineering. Springer International Publishing, 2016.10.1007/978-3-319-46024-6Suche in Google Scholar
7. R. Hanson and K. Haskell. Algorithm 587: Two algorithms for the linearly constrained least squares problem. ACM Transactions on Mathematical Software (TOMS), 8(3):323–333, 1982.10.1145/356004.356010Suche in Google Scholar
8. K. Höllig and J. Hörner. Approximation and Modeling with B-splines, volume 132. SIAM, 2013.10.1137/1.9781611972955Suche in Google Scholar
9. T. J. Hughes, J. A. Cottrell and Y. Bazilevs. Isogeometric analysis: CAD, finite elements, NURBS, exact geometry and mesh refinement. Computer methods in applied mechanics and engineering, 194(39-41):4135–4195, 2005.10.1016/j.cma.2004.10.008Suche in Google Scholar
10. W. V. Loock, G. Pipeleers and J. Swevers. B-spline parameterized optimal motion trajectories for robotic systems with guaranteed constraint satisfaction. Mechanical Sciences, 6(2):163–171, 2015.10.5194/ms-6-163-2015Suche in Google Scholar
11. A. Pfeiffer. Optimization library for interactive multi-criteria optimization tasks. In 9th International Modelica Conference, 2012.10.3384/ecp12076669Suche in Google Scholar
12. L. Piegl and W. Tiller. The NURBS book. Springer Science & Business Media, 2012.Suche in Google Scholar
13. J. B. Rawlings and D. Q. Mayne. Model predictive control: Theory and design, 2009.Suche in Google Scholar
14. K. Zaychik and F. Cardullo. Nonlinear motion cueing algorithm: Filtering at pilot station and development of the nonlinear optimal filters for pitch and roll. Technical Report NASA/CR-2012-217567, NF1676L-14637, NASA, May 2012.Suche in Google Scholar
© 2020 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Boston
Artikel in diesem Heft
- Frontmatter
- Editorial
- Vorwort 2020
- Methoden
- Formale Methoden für rekonfigurierbare cyber-physische Systeme in der Produktion
- Anwendungen
- On agent-based decentralized and integrated scheduling for small-scale manufacturing
- Experimentelle Erprobung einer kollisionsfreien Abstandsregelung für mobile Roboter
- Pfadfolgeregelung mit Konzepten für den Pfadfortschritt: Ein Assemblierungsszenario
- Model-based chassis control system for an over-actuated planetary exploration rover
- Tools
- Trajektoriengenerator zur Erzeugung beschränkter B-Splines
Artikel in diesem Heft
- Frontmatter
- Editorial
- Vorwort 2020
- Methoden
- Formale Methoden für rekonfigurierbare cyber-physische Systeme in der Produktion
- Anwendungen
- On agent-based decentralized and integrated scheduling for small-scale manufacturing
- Experimentelle Erprobung einer kollisionsfreien Abstandsregelung für mobile Roboter
- Pfadfolgeregelung mit Konzepten für den Pfadfortschritt: Ein Assemblierungsszenario
- Model-based chassis control system for an over-actuated planetary exploration rover
- Tools
- Trajektoriengenerator zur Erzeugung beschränkter B-Splines
