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§ 7. Neunerprobe und Neunerkunststück

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Mathematische Mußestunden
Ein Kapitel aus dem Buch Mathematische Mußestunden
J&eimetptoüe unö jBeunetßunftftötft Jede Zahl läßt, durch 9 dividiert, denselben Rest, wie wenn ihre Quersumme, d. h. die Summe aller ihrer Ziffern, durch 9 dividiert wird. Dies rührt daher, daß die Basis 10 unsrer Zifferschrift und deshalb auch ihre Potenzen 100, 1000 usw., durch 9 dividiert, den Rest 1 lassen. Denn, wenn eine Zahl a Einer, b Zehner, c Hunderter, d Tausender u6w. hat, so läßt sie sich folgendermaßen schreiben: a + 10b + 100c + lOOOd + ..., und diese Summe läßt sich zerlegen in eine andere Summe, deren erster Addend a+b-}-c-|-d+..., also die Quer-summe der vorliegenden Zahl ist, während der zweite Ad-dend 9 b + 99 c + 999 d + . . . heißt, also eine durch 9 teil-bare Zahl darstellt. Da dieser zweite Addend bei der Division durch 9 keinen Rest läßt, so muß der Rest, der bleibt, wenn man a + 10b + 100c + lOOOd + . . . durch 9 dividiert, der-selbe sein, wie wenn man die Quersumme a-(- b -f- c -f- d -f- ... durch 9 dividiert. Mit Benutzung dieser Regel kann man auch bei vielziffrigen Zahlen sehr schnell den Neunerrest bestimmen. Man hat nur nacheinander die Ziffern zu addieren und immer, sobald man dabei auf eine zweiziffrige Zahl stößt, wiederum deren Ziffersumme zu nehmen, wie folgendes Beispiel verdeutlicht: Es sei zu der Zahl 74056892 der Neunerrest zu bestimmen, d. h. der Rest, der bleibt, wenn man diese Zahl durch 9 divi-62
© 2021 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Munich/Boston

J&eimetptoüe unö jBeunetßunftftötft Jede Zahl läßt, durch 9 dividiert, denselben Rest, wie wenn ihre Quersumme, d. h. die Summe aller ihrer Ziffern, durch 9 dividiert wird. Dies rührt daher, daß die Basis 10 unsrer Zifferschrift und deshalb auch ihre Potenzen 100, 1000 usw., durch 9 dividiert, den Rest 1 lassen. Denn, wenn eine Zahl a Einer, b Zehner, c Hunderter, d Tausender u6w. hat, so läßt sie sich folgendermaßen schreiben: a + 10b + 100c + lOOOd + ..., und diese Summe läßt sich zerlegen in eine andere Summe, deren erster Addend a+b-}-c-|-d+..., also die Quer-summe der vorliegenden Zahl ist, während der zweite Ad-dend 9 b + 99 c + 999 d + . . . heißt, also eine durch 9 teil-bare Zahl darstellt. Da dieser zweite Addend bei der Division durch 9 keinen Rest läßt, so muß der Rest, der bleibt, wenn man a + 10b + 100c + lOOOd + . . . durch 9 dividiert, der-selbe sein, wie wenn man die Quersumme a-(- b -f- c -f- d -f- ... durch 9 dividiert. Mit Benutzung dieser Regel kann man auch bei vielziffrigen Zahlen sehr schnell den Neunerrest bestimmen. Man hat nur nacheinander die Ziffern zu addieren und immer, sobald man dabei auf eine zweiziffrige Zahl stößt, wiederum deren Ziffersumme zu nehmen, wie folgendes Beispiel verdeutlicht: Es sei zu der Zahl 74056892 der Neunerrest zu bestimmen, d. h. der Rest, der bleibt, wenn man diese Zahl durch 9 divi-62
© 2021 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Munich/Boston

Kapitel in diesem Buch

  1. Frontmatter 3
  2. Vorwort zur ersten Auflage 5
  3. Vorwort zur zweiten Auflage 7
  4. Vorwort zur Neubearbeitung 9
  5. Inhaltsverzeichnis 11
  6. I . Abschnitt: Zahlprobleme
  7. § 1. Erraten gedachter Zahlen 15
  8. § 2. Vorauswissen erhaltener Resultate 24
  9. § 3. Merkwürdige Zifferfolgen 26
  10. § 4. Über sehr große Zahlen 35
  11. § 5. Erraten der Augensumme verdeckt liegender Karten 49
  12. § 6. Umfüllungsaufgaben 53
  13. § 7. Neunerprobe und Neunerkunststück 62
  14. § 8. Würfelkunststücke 66
  15. § 9. Dominoketten 69
  16. § 10. Darstellung aller Zahlen als Summen von Potenzen von Zwei 74
  17. § 11. Das Bachetsche Gewichtsproblem 79
  18. § 12. Erraten von Besitzern verschiedener Sachen 82
  19. §13. Spiel von zwei Personen, die abwechselnd addieren 86
  20. § 14. Vollkommene Zahlen 88
  21. § 15. Pythagoreische und heronische Zahlen 93
  22. § 16. Erschwerte Teilung 102
  23. § 17. Trugschlüsse 109
  24. II. Abschnitt: Anordnungsprobleme
  25. § 18. Das Problem der 15 Christen und der 15 Türken 119
  26. § 19. Magische Quadrate 132
  27. § 20. Boß-Puzzle oder Fünfzehnerspiel 161
  28. § 21. Ewiger Kalender für Wochentage und Osterdaten 183
  29. § 22. Ewiger Kalender für Neumond und Vollmond 188
  30. § 23. Eulersche Wanderungen 193
  31. § 24. Hamiltonsche Rundreisen 201
  32. § 25. Rösselsprünge 215
Readers are also interested in:
https://doi.org/10.1515/9783112368282-010

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  1. Frontmatter 3
  2. Vorwort zur ersten Auflage 5
  3. Vorwort zur zweiten Auflage 7
  4. Vorwort zur Neubearbeitung 9
  5. Inhaltsverzeichnis 11
  6. I . Abschnitt: Zahlprobleme
  7. § 1. Erraten gedachter Zahlen 15
  8. § 2. Vorauswissen erhaltener Resultate 24
  9. § 3. Merkwürdige Zifferfolgen 26
  10. § 4. Über sehr große Zahlen 35
  11. § 5. Erraten der Augensumme verdeckt liegender Karten 49
  12. § 6. Umfüllungsaufgaben 53
  13. § 7. Neunerprobe und Neunerkunststück 62
  14. § 8. Würfelkunststücke 66
  15. § 9. Dominoketten 69
  16. § 10. Darstellung aller Zahlen als Summen von Potenzen von Zwei 74
  17. § 11. Das Bachetsche Gewichtsproblem 79
  18. § 12. Erraten von Besitzern verschiedener Sachen 82
  19. §13. Spiel von zwei Personen, die abwechselnd addieren 86
  20. § 14. Vollkommene Zahlen 88
  21. § 15. Pythagoreische und heronische Zahlen 93
  22. § 16. Erschwerte Teilung 102
  23. § 17. Trugschlüsse 109
  24. II. Abschnitt: Anordnungsprobleme
  25. § 18. Das Problem der 15 Christen und der 15 Türken 119
  26. § 19. Magische Quadrate 132
  27. § 20. Boß-Puzzle oder Fünfzehnerspiel 161
  28. § 21. Ewiger Kalender für Wochentage und Osterdaten 183
  29. § 22. Ewiger Kalender für Neumond und Vollmond 188
  30. § 23. Eulersche Wanderungen 193
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Heruntergeladen am 24.9.2025 von https://www.degruyterbrill.com/document/doi/10.1515/9783112368282-010/html?lang=de&srsltid=AfmBOoq_pUo58g7kmvCXsVNEfZqtYw715i7SBUKi-IJbLH3QnsWaF0bJ
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