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4.3. Formulation intégrale et solutions mild

© 2025 EDP Sciences, Les Ulis

© 2025 EDP Sciences, Les Ulis

Chapters in this book

  1. Frontmatter I
  2. TABLE DES MATIÈRES III
  3. INTRODUCTION VII
  4. CHAPITRE 1 UN PEU D’HISTOIRE ET UN PEU DE PHYSIQUE
  5. 1.1. Bernoulli, Euler, Navier, Poisson, Stokes & Cie 1
  6. 1.2. Rapide déduction physique des équations de Navier-Stokes 4
  7. CHAPITRE 2 LES OUTILS DE BASE
  8. 2.1. Généralités 13
  9. 2.2. Quelques définitions et identités vectorielles 16
  10. 2.3. Espaces de Lebesgue 19
  11. 2.4. Espaces de Sobolev 28
  12. 2.5. Quelques résultats utiles 41
  13. 2.6. Notes et compléments 45
  14. 2.7. Exercices 46
  15. CHAPITRE 3 SOLUTIONS CLASSIQUES
  16. 3.1. Équation de la chaleur et équation de Laplace 51
  17. 3.2. Décomposition de Helmholtz 65
  18. 3.3. Problème de Stokes et tenseur d’Oseen 68
  19. 3.4. Solutions classiques des équations de Navier-Stokes 74
  20. 3.5. Formulation différentielle et formulation intégrale 89
  21. 3.6. Propriétés de décroissance spatiale des solutions classiques 93
  22. 3.7. Notes et compléments 113
  23. 3.8. Exercices 114
  24. CHAPITRE 4 SOLUTIONS MILD
  25. 4.1. Principe de contraction 121
  26. 4.2. Solutions faibles 124
  27. 4.3. Formulation intégrale et solutions mild 128
  28. 4.4. Un théorème d’existence de solutions mild 138
  29. 4.5. Démonstration du théorème 4.4.1 143
  30. 4.6. Bilan des estimations 149
  31. 4.7. Formulation différentielle et formulation intégrale : équivalence 152
  32. 4.8. Temps d’existence des solutions et critères d’explosion 160
  33. 4.9. Espaces fonctionnels et homogénéité 169
  34. 4.10. Notes et compléments 171
  35. 4.11. Exercices 172
  36. CHAPITRE 5 SOLUTIONS MILD DE TYPE FOURIER-HERZ
  37. 5.1. Introduction 181
  38. 5.2. Définitions et propriétés des espaces de Fourier-Herz 184
  39. 5.3. Solutions mild dans l’espace L2 t F 0.1H 188
  40. 5.4. Solutions mild dans l’espace L t∞F 2.∞H 193
  41. 5.5. Notes et compléments 195
  42. 5.6. Exercices 196
  43. CHAPITRE 6 SOLUTIONS FAIBLES DE LERAY
  44. 6.1. Motivation 199
  45. 6.2. Théorème principal 206
  46. 6.3. Inégalité forte d’énergie 232
  47. 6.4. Unicité fort-faible 240
  48. 6.5. Le cas de la dimension n = 2 251
  49. 6.6. Notes et compléments 264
  50. 6.7. Exercices 265
  51. CHAPITRE 7 LE α-MODÈLE DE H. BEIRÃO DA VEIGA
  52. 7.1. Une variante du théorème de point fixe 269
  53. 7.2. Le modèle d’hyperviscosité 272
  54. 7.3. Étude du problème régularisé 275
  55. 7.4. Inégalité d’énergie et solutions régularisées globales 284
  56. 7.5. Passage à la limite et solutions faibles 286
  57. 7.6. Notes et compléments 289
  58. 7.7. Exercices 290
  59. CHAPITRE 8 EXPLOSION POUR UNE ÉQUATION SIMPLIFIÉE
  60. 8.1. Introduction 295
  61. 8.2. Un modèle d’étude 296
  62. 8.3. Construction de solutions 298
  63. 8.4. Explosion en temps fini pour le modèle simplifié 302
  64. 8.5. Notes et compléments 309
  65. 8.6. Exercices 310
  66. CHAPITRE 9 SOLUTIONS STATIONNAIRES
  67. 9.1. Solutions H1 pour le problème stationnaire 315
  68. 9.2. Quelques théorèmes de point fixe 318
  69. 9.3. Existence de solutions stationnaires 321
  70. 9.4. Problème de type Liouville 328
  71. 9.5. Notes et compléments 334
  72. 9.6. Exercices 335
  73. CHAPITRE 10 RÉGULARITÉ LOCALE
  74. 10.1. Résultats de régularité associés à l’équation de la chaleur 339
  75. 10.2. Localisation 343
  76. 10.3. Critère de régularité locale de Serrin 346
  77. 10.4. Le contre-exemple de Serrin 367
  78. 10.5. Notes et compléments 368
  79. 10.6. Exercices 370
  80. CONCLUSION 375
  81. BIBLIOGRAPHIE 379
  82. INDEX 387
Introduction aux équations de Navier-Stokes incompressibles
This chapter is in the book Introduction aux équations de Navier-Stokes incompressibles
https://doi.org/10.1051/978-2-7598-3635-2.c021

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  1. Frontmatter I
  2. TABLE DES MATIÈRES III
  3. INTRODUCTION VII
  4. CHAPITRE 1 UN PEU D’HISTOIRE ET UN PEU DE PHYSIQUE
  5. 1.1. Bernoulli, Euler, Navier, Poisson, Stokes & Cie 1
  6. 1.2. Rapide déduction physique des équations de Navier-Stokes 4
  7. CHAPITRE 2 LES OUTILS DE BASE
  8. 2.1. Généralités 13
  9. 2.2. Quelques définitions et identités vectorielles 16
  10. 2.3. Espaces de Lebesgue 19
  11. 2.4. Espaces de Sobolev 28
  12. 2.5. Quelques résultats utiles 41
  13. 2.6. Notes et compléments 45
  14. 2.7. Exercices 46
  15. CHAPITRE 3 SOLUTIONS CLASSIQUES
  16. 3.1. Équation de la chaleur et équation de Laplace 51
  17. 3.2. Décomposition de Helmholtz 65
  18. 3.3. Problème de Stokes et tenseur d’Oseen 68
  19. 3.4. Solutions classiques des équations de Navier-Stokes 74
  20. 3.5. Formulation différentielle et formulation intégrale 89
  21. 3.6. Propriétés de décroissance spatiale des solutions classiques 93
  22. 3.7. Notes et compléments 113
  23. 3.8. Exercices 114
  24. CHAPITRE 4 SOLUTIONS MILD
  25. 4.1. Principe de contraction 121
  26. 4.2. Solutions faibles 124
  27. 4.3. Formulation intégrale et solutions mild 128
  28. 4.4. Un théorème d’existence de solutions mild 138
  29. 4.5. Démonstration du théorème 4.4.1 143
  30. 4.6. Bilan des estimations 149
  31. 4.7. Formulation différentielle et formulation intégrale : équivalence 152
  32. 4.8. Temps d’existence des solutions et critères d’explosion 160
  33. 4.9. Espaces fonctionnels et homogénéité 169
  34. 4.10. Notes et compléments 171
  35. 4.11. Exercices 172
  36. CHAPITRE 5 SOLUTIONS MILD DE TYPE FOURIER-HERZ
  37. 5.1. Introduction 181
  38. 5.2. Définitions et propriétés des espaces de Fourier-Herz 184
  39. 5.3. Solutions mild dans l’espace L2 t F 0.1H 188
  40. 5.4. Solutions mild dans l’espace L t∞F 2.∞H 193
  41. 5.5. Notes et compléments 195
  42. 5.6. Exercices 196
  43. CHAPITRE 6 SOLUTIONS FAIBLES DE LERAY
  44. 6.1. Motivation 199
  45. 6.2. Théorème principal 206
  46. 6.3. Inégalité forte d’énergie 232
  47. 6.4. Unicité fort-faible 240
  48. 6.5. Le cas de la dimension n = 2 251
  49. 6.6. Notes et compléments 264
  50. 6.7. Exercices 265
  51. CHAPITRE 7 LE α-MODÈLE DE H. BEIRÃO DA VEIGA
  52. 7.1. Une variante du théorème de point fixe 269
  53. 7.2. Le modèle d’hyperviscosité 272
  54. 7.3. Étude du problème régularisé 275
  55. 7.4. Inégalité d’énergie et solutions régularisées globales 284
  56. 7.5. Passage à la limite et solutions faibles 286
  57. 7.6. Notes et compléments 289
  58. 7.7. Exercices 290
  59. CHAPITRE 8 EXPLOSION POUR UNE ÉQUATION SIMPLIFIÉE
  60. 8.1. Introduction 295
  61. 8.2. Un modèle d’étude 296
  62. 8.3. Construction de solutions 298
  63. 8.4. Explosion en temps fini pour le modèle simplifié 302
  64. 8.5. Notes et compléments 309
  65. 8.6. Exercices 310
  66. CHAPITRE 9 SOLUTIONS STATIONNAIRES
  67. 9.1. Solutions H1 pour le problème stationnaire 315
  68. 9.2. Quelques théorèmes de point fixe 318
  69. 9.3. Existence de solutions stationnaires 321
  70. 9.4. Problème de type Liouville 328
  71. 9.5. Notes et compléments 334
  72. 9.6. Exercices 335
  73. CHAPITRE 10 RÉGULARITÉ LOCALE
  74. 10.1. Résultats de régularité associés à l’équation de la chaleur 339
  75. 10.2. Localisation 343
  76. 10.3. Critère de régularité locale de Serrin 346
  77. 10.4. Le contre-exemple de Serrin 367
  78. 10.5. Notes et compléments 368
  79. 10.6. Exercices 370
  80. CONCLUSION 375
  81. BIBLIOGRAPHIE 379
  82. INDEX 387
Downloaded on 29.4.2026 from https://www.degruyterbrill.com/document/doi/10.1051/978-2-7598-3635-2.c021/html?lang=en
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