2.3. Espaces de Lebesgue

Chapters in this book

1. Frontmatter I
2. TABLE DES MATIÈRES III
3. INTRODUCTION VII
4. CHAPITRE 1 UN PEU D’HISTOIRE ET UN PEU DE PHYSIQUE
5. 1.1. Bernoulli, Euler, Navier, Poisson, Stokes & Cie 1
6. 1.2. Rapide déduction physique des équations de Navier-Stokes 4
7. CHAPITRE 2 LES OUTILS DE BASE
8. 2.1. Généralités 13
9. 2.2. Quelques définitions et identités vectorielles 16
10. 2.3. Espaces de Lebesgue 19
11. 2.4. Espaces de Sobolev 28
12. 2.5. Quelques résultats utiles 41
13. 2.6. Notes et compléments 45
14. 2.7. Exercices 46
15. CHAPITRE 3 SOLUTIONS CLASSIQUES
16. 3.1. Équation de la chaleur et équation de Laplace 51
17. 3.2. Décomposition de Helmholtz 65
18. 3.3. Problème de Stokes et tenseur d’Oseen 68
19. 3.4. Solutions classiques des équations de Navier-Stokes 74
20. 3.5. Formulation différentielle et formulation intégrale 89
21. 3.6. Propriétés de décroissance spatiale des solutions classiques 93
22. 3.7. Notes et compléments 113
23. 3.8. Exercices 114
24. CHAPITRE 4 SOLUTIONS MILD
25. 4.1. Principe de contraction 121
26. 4.2. Solutions faibles 124
27. 4.3. Formulation intégrale et solutions mild 128
28. 4.4. Un théorème d’existence de solutions mild 138
29. 4.5. Démonstration du théorème 4.4.1 143
30. 4.6. Bilan des estimations 149
31. 4.7. Formulation différentielle et formulation intégrale : équivalence 152
32. 4.8. Temps d’existence des solutions et critères d’explosion 160
33. 4.9. Espaces fonctionnels et homogénéité 169
34. 4.10. Notes et compléments 171
35. 4.11. Exercices 172
36. CHAPITRE 5 SOLUTIONS MILD DE TYPE FOURIER-HERZ
37. 5.1. Introduction 181
38. 5.2. Définitions et propriétés des espaces de Fourier-Herz 184
39. 5.3. Solutions mild dans l’espace L² _t F ^0.1_H 188
40. 5.4. Solutions mild dans l’espace L _t^∞F ^2.∞_H 193
41. 5.5. Notes et compléments 195
42. 5.6. Exercices 196
43. CHAPITRE 6 SOLUTIONS FAIBLES DE LERAY
44. 6.1. Motivation 199
45. 6.2. Théorème principal 206
46. 6.3. Inégalité forte d’énergie 232
47. 6.4. Unicité fort-faible 240
48. 6.5. Le cas de la dimension n = 2 251
49. 6.6. Notes et compléments 264
50. 6.7. Exercices 265
51. CHAPITRE 7 LE α-MODÈLE DE H. BEIRÃO DA VEIGA
52. 7.1. Une variante du théorème de point fixe 269
53. 7.2. Le modèle d’hyperviscosité 272
54. 7.3. Étude du problème régularisé 275
55. 7.4. Inégalité d’énergie et solutions régularisées globales 284
56. 7.5. Passage à la limite et solutions faibles 286
57. 7.6. Notes et compléments 289
58. 7.7. Exercices 290
59. CHAPITRE 8 EXPLOSION POUR UNE ÉQUATION SIMPLIFIÉE
60. 8.1. Introduction 295
61. 8.2. Un modèle d’étude 296
62. 8.3. Construction de solutions 298
63. 8.4. Explosion en temps fini pour le modèle simplifié 302
64. 8.5. Notes et compléments 309
65. 8.6. Exercices 310
66. CHAPITRE 9 SOLUTIONS STATIONNAIRES
67. 9.1. Solutions H¹ pour le problème stationnaire 315
68. 9.2. Quelques théorèmes de point fixe 318
69. 9.3. Existence de solutions stationnaires 321
70. 9.4. Problème de type Liouville 328
71. 9.5. Notes et compléments 334
72. 9.6. Exercices 335
73. CHAPITRE 10 RÉGULARITÉ LOCALE
74. 10.1. Résultats de régularité associés à l’équation de la chaleur 339
75. 10.2. Localisation 343
76. 10.3. Critère de régularité locale de Serrin 346
77. 10.4. Le contre-exemple de Serrin 367
78. 10.5. Notes et compléments 368
79. 10.6. Exercices 370
80. CONCLUSION 375
81. BIBLIOGRAPHIE 379
82. INDEX 387