Volume 2014, Issue 693

Abstract. C'est le premier volet d'une série de deux articles visant à construire et étudier des groupes de Galois motiviques dans le cadre des motifs triangulés. On développe d'abord un formalisme général permettant d'associer à un foncteur monoïdal f , satisfaisant à certaines conditions naturelles, une algèbre de Hopf dans la catégorie monoïdale but de f . Ce formalisme sera ensuite appliqué à la réalisation de Betti des motifs de Morel–Voevodsky sur un corps de base k muni d'un plongement complexe σ:k↪ℂ$\sigma :k\hookrightarrow \mathbb {C}$. On obtient ainsi une algèbre de Hopf ℋmot(k,σ)$\mathcal {H}_{\textup {mot}}(k,\sigma )$ de la catégorie dérivée des ℚ-espaces vectoriels. En utilisant le théorème de comparaison entre cohomologie singulière et cohomologie de De Rham, on obtient une description explicite de l'algèbre unitaire ℋmot(k,σ)⊗ℂ$\mathcal {H}_{\textup {mot}}(k,\sigma )\otimes \mathbb {C}$ montrant en particulier que le complexe ℋmot(k,σ)$\mathcal {H}_{\textup {mot}}(k,\sigma )$ n'a pas d'homologie en degrés strictement négatifs. On en déduit une structure de ℚ-algèbre de Hopf sur le 0-ième groupe d'homologie de ℋmot(k,σ)$\mathcal {H}_{\textup {mot}}(k,\sigma )$ dont le spectre sera baptisé le groupe de Galois motivique.

Ceci est le second volet d'une série de deux articles visant à construire et étudier des groupes de Galois motiviques dans le cadre des motifs triangulés. Ces groupes de Galois motiviques ont été construits dans le premier volet et leurs algèbres de fonctions régulières ont été décrites explicitement en termes de formes différentielles ou de cycles algébriques. Dans le présent article, nous avons regroupé des compléments importants au premier volet. Dans une première partie, nous décrivons le lien entre le groupe de Galois motivique et le groupe de Galois usuel d'un sous-corps de 𝔻. Dans une deuxième partie, nous développons les bases d'une théorie de la ramification pour les groupes de Galois motiviques en construisant des groupes de décomposition et d'inertie motiviques associés à une place géométrique. On introduit également la notion de groupe de Galois motivique relatif pour une extension K/k$K/k$ qui mesure la différence entre les groupes de Galois motiviques de k et K . Ce dernier s'avère plus accessible que son analogue absolu. En effet, on montrera que c'est un quotient du complété pro-algébrique du pro-groupe fondamental topologique de la pro-variété homk(K,ℂ)$\hom _k(K,\mathbb {C})$, du moins lorsque l'extension K/k$K/k$ est de type fini.

Abstract. This is an erratum to http://dx.doi.org/10.1515/crelle-2012-0090.

Abstract. We study equivariant real structures on spherical varieties. We call such a structure canonical if it is equivariant with respect to the involution defining the split real form of the acting reductive group G . We prove the existence and uniqueness of a canonical structure for homogeneous spherical varieties G / H with H self-normalizing and for their wonderful embeddings. For a strict wonderful variety we give an estimate of the number of real form orbits on the set of real points.

Abstract. This is an erratum to http://dx.doi.org/10.1515/crelle-2012-0090.