Simulation of Gas Jet Impingement Cooling in Continuous Heat Treatment Lines with the ANSYS GEKO Turbulence Model*
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J. E. Menzler
,
M. Klusmann
Abstract
Gas impingement jets are widely applied in industrial cooling processes. In continuous heat treatment lines of steel, aluminium and copper strips, impingement jet nozzle systems are utilised to achieve rapid cooling or heating. The heat transfer depends on the flow but also on the geometric parameters such as nozzle to strip distance and the nozzle shape. The key challenge while designing cooling sections is to determine the performance of those nozzle systems or their Nusselt number respectively.
Jet cooling sections are challenging to model with computational fluid dynamics or in an experimental set up. Yet, RANS-turbulence models are a cost-effective way to predict Nusselt numbers. In this work the capability of the ANSYS generalized k-omega (GEKO) two-equation turbulence model to determine the local and integral Nusselt number of an impinging air jet is evaluated. The results are contrasted to experimental investigations.
Kurzfassung
Prallstrahlen werden häufig in industriellen Kühlprozessen eingesetzt. In kontinuierlichen Wärmebehandlungsanlagen für Stahl-, Aluminium- und Kupferbänder werden Prallstrahldüsensysteme eingesetzt, um eine schnelle Abkühlung oder Aufheizung zu erreichen. Die Wärmeübertragung hängt dabei von der Strömung, aber auch von geometrischen Parametern wie dem Abstand zwischen Düse und Band und der Düsenform ab. Die größte Herausforderung beim Entwurf von Kühlstrecken ist die Bestimmung der Leistung des Düsensystems bzw. der Nußelt-Zahl der Prallströmung.
Die Modellierung von Prallstrahlkühlstrecken mithilfe von numerischen Strömungssimulationen oder von Versuchsaufbauten ist komplex. RANS-Turbulenzmodelle sind jedoch eine kostengünstige Methode zur Vorhersage der Nußelt-Zahl. In dieser Arbeit wird die Fähigkeit des ANSYS Generalised k-omega (GEKO) Zweigleichungsturbulenzmodells zur Bestimmung der lokalen und integralen Nußelt-Zahl eines auftreffenden Luftstrahls bewertet. Die Ergebnisse werden den experimentellen Untersuchungen gegenübergestellt.
1 Introduction
In continuous heat treatment lines and chamber furnaces for the heat treatment of steel, aluminium and copper strip, nozzle systems are used to heat and cool the strip. The nozzles create an impingement flow that ensures the highest possible and homogeneous heat transfer. The flow field of an impinging jet and relevant geometric sizes are shown in Figure 1.
![Fig. 1 Flow field of an impinging jet [1]
Bild 1. Strömungsfeld eines auftreffenden Strahls [1]](/document/doi/10.1515/htm-2022-1042/asset/graphic/j_htm-2022-1042_fig_001.jpg)
The heat transfer between the strip and the gas of the nozzle flow takes place mainly convectively. To assess the heat transfer of the impingement jet, a heat transfer coefficient h is defined and represented by the dimensionless Nusselt number Nu. The hydraulic diameter DH of the nozzle flow corresponds to twice the nozzle slot width W and defines the characteristic length.
The Nusselt number depends on several factors such as the nozzle exit velocity, the material values of the fluid and the geometry of the nozzle or nozzle system (distance nozzle/ strip, nozzle cross-section, distance between multiple nozzles, ...). The local Nusselt number on the surface is relevant for the heat treatment of metal strips, as a uniform heat transfer must be ensured, and local overheating must be prevented during heating.
A more precise knowledge of the distribution of the local Nusselt number helps to increase the efficiency of nozzle systems. An increase in efficiency lowers the specific energy requirement to produce metallic strip. This is achieved either by directly reducing the required fluid or motor power of the fan providing the flow or by maximising the heat transfer, which results in faster heating or cooling of the strips and thus in an increased productivity.
In addition, a more targeted setting of the cooling parameters expands the application range of gas cooling in thermal processing plants, so that a more complex mist- or water-cooling system can be dispensed. This facilitates, for example, the production of new, ultrahigh-strength steel for automotive applications [2, 3]. This makes it possible to produce cars with lighter components, which on the one hand reduces the amount of raw material needed and on the other hand results in fuel savings. The resulting CO2 savings can make a significant contribution to the energy transition in Europe [4].
Simulations have fundamental advantages over measurements. They are geometrically flexible, accessible at all locations in the flow field and independent of sensors. Although it is unlikely that time-consuming and expensive experimental measurements will be substituted completely by simulations, new numerical models may characterise the heat transfer more reliably and efficiently to reduce the use of resources during the initial stages of the design process of novel nozzle systems. However, current numerical models sometimes show large errors when calculating local distributions of the Nusselt number and are only suitable for calculating the characteristic secondary peak to a limited extent [5, 6, 7, 8, 9].
For this paper, the suitability of the new generalized k-ω (GEKO) turbulence model for the prediction of the secondary peak will be tested using the example of a simple nozzle geometry.
2 Problem Description
For the investigations, a single slot nozzle with a width of 10 mm and a height of 100 mm is used. The strip has a distance of 50 mm from the nozzle exit. The heat transfer properties of this nozzle have been investigated experimentally beforehand, so that measurement data are available for validation. The experiment is described in section 3.
2.1 Physical Modelling
The flow domain is shown in Figure 2. Unlike the example in Figure 1, the jet impinges the surface from the bottom side instead of the top, this reflects the experimental setup.
Sketch of the geometry; black/ grey: wall, blue: velocity inlet, red: pressure outlet
Bild 2. Skizze der Geometrie; schwarz/grau: Wand, blau: Geschwindigkeitseintritt, rot: Druckaustritt
2.1.1 Geometry and Physical Boundary Conditions
Due to the nozzle’s symmetry, the impinging jet is simulated in a two-dimensional computational domain. The flow enters at the blue line with a velocity u = 50 m/s (ReDH ≈ 66000) at a temperature ϑE = 23,5 °C. It is ducted through the 10 mm wide and 100 mm high slot nozzle. The red lines represent a pressure outlet boundary condition with a gauge pressure p = 0 Pa. The metal strip (grey line) at a vertical distance of 50 mm to the nozzle exit is modelled as a solid body with a thickness t = 0.1 mm. It provides a constant heat generation of Φ = 163.2 MW/m3 according to the experimental setup (see section 2.3.2). Its hydraulically smooth bottom is coupled to the fluid domain so that a heat exchange between both zones can appear. At the top of the strip, both a convectional heat transfer with a heat transfer coefficient of h = 15 W/m2K and radiation with the Constantan’s emissivity of ε = 0.88 is modelled. The ambient temperature is set to ϑ∞ = 21 °C. All other walls (black) are assumed to be adiabatic and also hydraulically smooth. The width of the metal strip resp. the computational domain equals 60 times the nozzle’s slot width to minimize effects of the backflow.
2.1.2 Material Data
For the simulations, the material data of the fluid (dry air) and the solid (Constantan) are required. The density of the air (molar mass M = 28.9568 g/mol) is modelled according to the ideal gas law. All other material values are defined by polynomials according to Equation (2) as a function of temperature. The polynomial coefficients are listed in Table 1.
Polynomial coefficients for the calculation of material data
Tabelle 1. Polynomkoeffizienten für die Berechnung von Materialdaten
| Material value | Unit | a | a0 | a1 | a2 | a3 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Dry air | ||||||
| Specific heat | [J/kgK] | cp | 1.03408 × 103 | -2.66227 × 10-1 | 6.63508 × 10-4 | -2.88671 × 10-7 |
| Thermal conductivity | [W/mK] | κ | 4.63867 × 10-3 | 7.71961 × 10-5 | -1.40067 × 10-8 | – |
| Dynamic viscosity | [Pa s] | μ | 4.52058 × 10-6 | 5.07024 × 10-8 | -1.18189 × 10-11 | – |
| Constantan | ||||||
| Density | [kg/m3] | ρ | 8900 | – | – | – |
| Specific heat | [J/kgK] | c | 410 | – | – | – |
| Thermal conductivity | [W/mK] | κ | 23 | – | – | – |
2.2 Numerical Modelling
2.2.1 Turbulence Modelling
Abdon and Sundén [5] ascertained that especially linear turbulence models (e. g. k-ε or k-ω models) are only suitable for calculating a secondary peak of the local Nusselt number to a limited extend. However, Zuckerman and Lior [6], and Alimohammadi et al. [7] remarked that the SST model supplemented by the intermittency transport equation performed better than other linear models. In the investigations for this paper, the generalized k-ω (GEKO) turbulence model will be utilised. The GEKO model is based on the k-ω model formulation and was introduced by Menter et al. [10] in 2019. The model can be tuned by the user to adjust target figures without affecting the basic calibration of the model. For that reason, six free parameters are offered. Their names and effects on the flow are as follows [10]:
Separation Parameter CSEP:
Adjustment of the separation point of boundary layers
Near Wall Parameter CNW:
Adjustment of the wall shear stress and heat transfer coefficient in boundary layers
Mixing Parameter CMIX:
Adjustment of the spreading rate of free shear flows/ mixing layers
Jet Parameter CJET:
Adjustment of the spreading rate of jets
Corner Parameter CCORNER:
Adjustment of the stress in secondary flows in corners
Curvature Parameter CCURV:
Adjustment of the production of turbulent kinetic energy on curved streamlines or in rotating flows
According to previous research’s results and the recommendations of ANSYS [11], the following options will be activated in the turbulence model: Curvature Correction, Production Kato-Launder, Production Limiter, Intermittency Transition Model, Include Crossflow Transition.
2.2.2 Computational Grid
Chitsazan et al. [12] remarked that a proper local Nusselt number can only be computed, if the computational grid is designed according to the Near Wall Model Approach. This means that the boundary layer of the impinging jet must be resolved by the mesh which requires a dimensionless wall distance of y + ≈ 1 for the wall adjacent cell in the boundary layer region. In further investigations Chitsazan et al. [9] found that the mesh requires even a dimensionless wall distance of y + ≈ 0.1 to calculate a proper Nusselt number distribution with the SST turbulence model. However, a simulation with ANSYS Fluent showed no significant differences between the results with different grids of resolutions with a dimensionless wall distance of 0.1≤ y+≤ 1.
2.2.3 Simulation Settings and Turbulence Model Boundary Conditions
The simulation of the impingement jet is based on a steady formulation of the Navier-Stokes equations since no transient effects are expected. However, the pseudo-transient approach for the pressure-based coupled solver algorithm is applied because of its efficiency and good convergence characteristics. For the approximation of the spatial derivatives, a second-order upwind discretisation is utilized.
At the inlets and backflow areas of the outlets of the flow domain, additional boundary conditions must be defined for the turbulence model. At the nozzle inlet, the combination of a turbulence intensity I = 4 % and a hydraulic diameter DH = 20 mm determine the boundary conditions for the turbulence model transport equations. The values for the turbulence boundary conditions of the backflow have no influence on the numeric result itself but affect the convergence speed of the simulation. The backflow is considered to have a turbulence kinetic energy (TKE) of k = 0 J/kg and a specific dissipation rate of the TKE of ω = 0 1/s. According to the guideline, the intermittency is set to γ = 1 at all boundaries.
3 Measurement of the Validation Data
The determination of measurement data for the validation of the numerical simulations is carried out on a test rig designed for this purpose. With the test rig, a precise and repeatable experimental investigation of local Nusselt number distributions is possible [13]. Figure 3 shows the functional principle of the test set-up.
Schematic test set-up for the determination of the Nusselt number
Bild 3. Schematischer Versuchsaufbau für die Bestimmung der Nußelt-Zahl
Ambient air is drawn in by a radial fan and fed into a distribution box. Different nozzle systems can be mounted modularly on the top of the distribution box. The nozzle flow impinges a 0.1 mm thin Constantan strip, which is resistance-heated with a defined electrical power. The impingement flow cools the strip so that a certain temperature distribution is established on the strip surface. The temperature distribution is recorded by an infrared camera. With an energy balance for each pixel of the infrared image, the Nusselt number distribution can be obtained from the temperature distribution. Thereby, the electrically supplied heat, the heat dissipated by the impingement flow, the heat conducted to the neighbouring pixels and the heat loss due to free convection and radiation at the top of the strip are considered. For the evaluation of the experiments, the same assumptions for material data and boundary conditions apply to as to the simulations (see section 2.1).
The resulting temperature distribution of the investigated single slot nozzle can be found in Figure 4. According to the geometric specifications (see section 2.1.1), the nozzle has a width of W = 10 mm and a strip distance of H = 50 mm. The lowest temperatures occur directly above the nozzle. This is where the heat transfer or the Nusselt number is highest. The temperature increases with increasing distance from the stagnation point before a local minimum is reached. With even greater distance from the nozzle, the temperature increases again. The visible cold spots in the picture are caused by spacers in the nozzle that influence the flow. During the processing of the infrared picture, to determine the Nusselt number, the image is adjusted to fit the symmetric conditions. Afterwards, the two-dimensional local Nusselt number distribution is averaged over the nozzle length. The resulting measured Nusselt number distribution is indicated in Figure 5.
Temperature distribution on the Constantan strip (infrared image)
Bild 4. Temperaturverteilung auf dem Konstantanstreifen (Infrarotbild)
Local Nusselt number for different turbulence models
Bild 5. Lokale Nußelt-Zahl für verschiedene Turbulenzmodelle
4 Results
The investigations focus on the ability to predict a suitable Nusselt number distribution with ANSYS Fluent for the benchmark case described above. The study is divided into three steps: A fundamental comparison of different turbulence models, the identification of general effects of the GEKO parameters, and an automatised optimal adjustment of the GEKO parameters.
4.1 Comparison of different turbulence models
In the first step of the study, the benchmark case is simulated with different k-ω turbulence models and validated based on the measurement. Both the measured and the calculated Nusselt number distributions are shown in the diagram in Figure 5.
The measured local Nusselt number has a maximum of 191.9 exactly at the stagnation point. It decreases to a local minimum of 120.9 at a relative position of 1.6 before it increases to 136.7 at a relative position of 3.25. At greater distances from the stagnation point, the local Nusselt number decreases again.
In contrast to the experiment, the maximum Nusselt number of all simulations is located at a relative position of 0.15 instead of the stagnation point. The simulations with the SST model without enabling the function for damping the turbulent viscosity at low Reynolds numbers (low-Re correction) and the GEKO model with default parameters overpredict the Nusselt number at the stagnation point by 4 % to 6 % compared to the measurement. Whereas the SST model with low-Re correction underpredicts the local Nusselt number very little by 1.3 %. However, all these deviations are roughly within the range of the measurement inaccuracy of ≈ 5 %.
At a relative position x/DH ≳ 1, all simulated distributions begin to deviate wider from the measured distribution. The numerical models predict the secondary minimum at the same position as the measurement, yet they all underpredict the value of the local Nusselt number by 13 % to 21 %. The shapes of the secondary peaks differ depending on the turbulence model. The Nusselt number distribution calculated with the SST model without low-Re correction grows slightly to a local maximum of 127.2 at a relative position of 5. The distribution of the simulation with the SST model with low-Re correction has a sharp local maximum of 158.8 at a relative position of 2.2. The GEKO model predicts a distribution between the other cases with a local maximum of 140.6 at a relative position of 3.8. Therefore, it is the best of the three models to calculate the secondary peak. However, it still differs from the measured distribution. None of the models predict the secondary peak correctly. Also, in the regions beyond the secondary maximum all models predict a higher local Nusselt number than the experiment has shown and differ by 11 % to 21 % from the measured results at a relative position of 10.
To compare the overall deviation between the simulated Nusselt number distributions and the measurement quantitatively, the mean squared error (MSE) is defined according to Equation 3. The number n of discrete points, where the local error is evaluated, corresponds to the measuring points in the experiment.
Table 2 contains the Nusselt number at the stagnation point NuSP, the area-averaged Nusselt number Nu̅, and the evaluated MSE. The SST model without low-Re correction simulates both the most accurate averaged Nusselt number and the lowest MSE although the low-Re correction effects a better prediction of the Nusselt number at the stagnation point. However, only the GEKO model has a variety of set up parameters to adjust the solution. Therefore, it will be used in the further investigations.
4.2 GEKO Parameter Study
To characterise the effects of each of the six main parameters of the GEKO turbulence model, every parameter is varied within its recommended limits, while all other parameters are set default. The default values and recommended limits of the parameters are shown in Table 3.
Figure 6 shows the results of the parameter study and indicates the effect on the Nusselt number distribution when the regarded parameter increases. An increase of the CSEP parameter (Figure 6a) affects the shape of the secondary maximum. The location of the secondary maximum shifts away from the stagnation point, while the secondary maximum decreases significantly. The location of the local minimum is hardly affected by CSEP. The CNW parameter (Figure 6b) mainly affects the area beyond the secondary peak. An increase of this parameter leads to a smaller negative gradient of the Nusselt number distribution and to higher local Nusselt numbers at relative positions ≳ 4. Both the secondary minimum and the maximum can be controlled by varying CMIX (Figure 6c). Increasing it shifts the peaks to larger values and moves them slightly closer to the stagnation point. The parameter CCURV (Figure 6f) has only a small effect. Its increase leads to a slight reduction of the secondary maximum. Varying the parameters CJET (Figure 6d) and CCORNER (Figure 6e) has no effect on the local Nusselt number. The Nusselt number at the stagnation point is not influenced by any of the parameters, except for the CSEP parameter. By varying this parameter, the Nus selt number at the stagnation point can be set between 196.5 and 203.5. However, both values are higher than the measured Nusselt number. Also, no parameter combination of the study leads to a mean Nusselt number that corresponds with the measurement. The best MSE in the parameter study (90.42) was achieved by reducing the CNW parameter to -2.0 (instead of 0.5).
Local Nusselt number for different GEKO parameters
Bild 6. Lokale Nußelt-Zahl für verschiedene GEKO-Parameter
Deviation between simulations with different turbulence models and measurement
Tabelle 2. Abweichung zwischen Simulationen mit verschiedenen Turbulenzmodellen und Messungen
| Measurement | SST | SST (Low-Re) | GEKO | |
|---|---|---|---|---|
| NuSP | 191.88 | (199.86 +4.2 %) | (189.38 -1.3 %) | (203.56 +6.1 %) |
| Nu̅ | 122.94 | 121.04 (-1.5 %) | 133.60 (+8.7 %) | 132.63 (+7.9 %) |
| MSE | (0.00) | 173.53 | 250.15 | 200.32 |
4.3 Optimisation
In the last step of the investigations, the GEKO parameters are adjusted optimally to fit the measured distribution of the Nusselt number as well as possible. For this process, the MSE as function of the parameters is defined as an optimisation variable that must be minimised. During the optimisation, only the parameters CSEP, CNW, CMIX, and CCURV are considered since the others have no significant influence.
To find the minimum of the function in Equation 4, the Nelder-Mead method [14] is utilised. Figure 7 illustrates the optimisation process. The algorithm checks a so-called simplex, which in this case consists of five different parameter combinations. It identifies the parameter combination with the highest MSE and successively replaces it with better parameter combinations. In this way, local minima of the optimisation function are found. The entire optimisation process should be repeated with different initial simplexes to increase the probability that the optimum found is a global one.
Minimisation algorithm
Bild 7. Minimierungsalgorithmus
In this study, the optimisation process was carried out four times with different initial simplexes. First, the recommended limits for the parameters were not exceeded during the process. Due to this limitation, no parameter combination could be found that leads to an MSE significantly lower than 90.4, which was already achieved in the previous parameter study. In the further course, the limits for the parameters were ignored. The best result was achieved by the following parameter combination. With this, an MSE of 60.9 was achieved. However, the limits for CNW and CCURV were violated. Yet, the macroscopic flow is not affected significantly by the changes of the GEKO parameters, even when violating the recommended boundaries. The effect of the parameters occurs on a microscopic level within the boundary layer.
| CSEP | CNW | CMIX | CJET | CCORNER | CCURV | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Minimum | 0.7 | -2.0 | 0.0 | 0.0 | 0.0 | 0.0 |
| Maximum | 2.5 | 2.0 | 1.0 | 1.0 | 1.5 | 1.5 |
| Default | 1.75 | 0.5 | 0.3 | 0.9 | 1.0 | 1.0 |
Deviation between simulation and measurement
Tabelle 4. Abweichung zwischen der Simulation und der Messung
| Meas. | Default | S* | |
|---|---|---|---|
| NuSP | 191.88 | 203.56 (+6.1 %) | 203.70 (+6,16 %) |
| 122.94 | 132.63 (+7.9 %) | 127.25 (+3,50 %) | |
| MSE | (0.00) | 200.32 | 64.85 |
The simulated Nusselt number distribution is shown in Figure 8. The resulting Nusselt number at the stagnation point, the area-averaged Nusselt number and the MSE are listed in Table 4. The position and shape of the secondary maximum and the area beyond the secondary peak agree well with the measurement result. The position of the secondary minimum is also well predicted. However, as in the previous investigations, the value of the minimum is lower than in the measurement. Likewise, the Nusselt number at the stagnation point is overpredicted as in the previous simulations. Yet, the simulated distribution deviates mostly less than 10 % from the measured result.
Local Nusselt number simulation with optimised GEKO parameters
Bild 8. Simulation der lokalen Nußelt-Zahl mit optimierten GEKO-Parametern
5 Conclusion
k-ω turbulence models have a limited suitability for calculating the characteristic secondary peak of the local Nusselt number. The SST model provides good values for the maximum and the mean value of the Nusselt number, but deviates from measured values in its calculation of the secondary maximum. The GEKO turbulence model offers the possibility to freely adjust some parameters without changing the basic calibration of the model. By adjusting the parameters, the GEKO model can predict the local Nusselt number with an accuracy of about 10 %. However, the recommended limits for the GEKO parameters were exceeded.
The error could possibly be reduced further by also considering the adjustable sub-parameters, e. g. CREAL, in the optimisation process. This could minimise the deviation at the stagnation point.
The investigations were only conducted on a simple nozzle geometry, on only one nozzle height, and one exit velocity. For this reason, it should be investigated whether the model also provides good results for other nozzle heights, other Reynolds numbers and other nozzle geometries with the set parameters.
1 Einleitung
In kontinuierlichen Wärmebehandlungslinien und Kammeröfen für die Wärmebehandlung von Stahl-, Aluminium- und Kupferbändern werden Düsensysteme zum Erwärmen und Kühlen der Bänder eingesetzt. Die Düsen erzeugen eine Prallströmung, die einen möglichst hohen und homogenen Wärmeübergang gewährleistet. Das Strömungsfeld eines auftreffenden Strahls und die entsprechenden geometrischen Größen sind in Bild 1 dargestellt.
Der Wärmeübergang zwischen dem Band und dem Gas der Düsenströmung findet hauptsächlich konvektiv statt. Um den Wärmeübergang des Prallstrahls zu beurteilen, wird ein Wärmeübergangskoeffizient h definiert und durch die dimensionslose Nußelt-Zahl Nu dargestellt. Der hydraulische Durchmesser DH der Düsenströmung entspricht dem Doppelten der Düsenschlitzbreite W und dient als charakteristische Länge.
Die Nußelt-Zahl hängt von mehreren Faktoren wie der Düsenaustrittsgeschwindigkeit, den Stoffwerten des Fluids und der Geometrie der Düse bzw. des Düsensystems (Abstand Düse/Band, Düsenquerschnitt, Abstand zwischen mehreren Düsen, ...) ab. Die lokale Nußelt-Zahl an der Oberfläche ist für die Wärmebehandlung von Metallbändern relevant, da ein gleichmäßiger Wärmeübergang gewährleistet sein muss und eine lokale Überhitzung während der Aufheizung verhindert werden muss.
Eine genauere Kenntnis der Verteilung der lokalen Nußelt-Zahl hilft, die Effizienz von Düsensystemen zu erhöhen. Eine Steigerung des Wirkungsgrads senkt den spezifischen Energiebedarf zur Herstellung von Metallbändern. Dies wird entweder durch eine direkte Verringerung der erforderlichen Fluid- oder Motorleistung des Ventilators, der die Strömung antreibt, oder durch eine Maximierung des Wärmeübergangs erreicht, was zu einer schnelleren Erwärmung oder Abkühlung der Bänder und damit zu einer erhöhten Produktivität führt.
Darüber hinaus erweitert eine gezieltere Einstellung der Kühlparameter den Einsatzbereich der Gaskühlung in Thermoprozessanlagen, sodass auf eine komplexere Nebel- oder Wasserkühlung verzichtet werden kann. Dies ermöglicht z. B. die Herstellung von neuen, höchstfesten Stählen für den Automobilbau [2, 3]. Dadurch können Autos mit leichteren Bauteilen hergestellt werden, was zum einen den Rohstoffbedarf reduziert und zum anderen zu Kraftstoffeinsparungen führt. Die daraus resultierenden CO2-Einsparungen können einen wesentlichen Beitrag zur Energiewende in Europa leisten [4].
Simulationen haben gegenüber Messungen grundlegende Vorteile. Sie sind geometrisch flexibel, an allen Stellen des Strömungsfeldes zugänglich und unabhängig von Sensoren. Obwohl es unwahrscheinlich ist, dass zeitaufwändige und teure experimentelle Messungen vollständig durch Simulationen ersetzt werden können, könnten neue numerische Modelle den Wärmeübergang zuverlässiger und effizienter charakterisieren, um den Einsatz von Ressourcen in den ersten Phasen des Entwurfsprozesses neuartiger Düsensysteme zu reduzieren. Aktuelle numerische Modelle weisen jedoch teilweise große Fehler bei der Berechnung lokaler Nußelt-Zahl-Verteilungen auf und eignen sich nur bedingt zur Berechnung der charakteristischen Sekundärmaxima [5, 6, 7, 8, 9].
In dieser Arbeit wird die Eignung des neuen Generalised k-ω (GEKO) Turbulenzmodells für die Vorhersage des Sekundärpeaks am Beispiel einer einfachen Düsengeometrie getestet.
2 Problembeschreibung
Für die Untersuchungen wird eine Einzelschlitzdüse mit einer Breite von 10 mm und einer Höhe von 100 mm verwendet. Das Band hat einen Abstand von 50 mm zum Düsenaustritt. Die Wärmeübertragungseigenschaften dieser Düse wurden im Vorfeld experimentell untersucht, sodass Messdaten zur Validierung vorliegen. Das Experiment wird im Abschnitt 3 näher beschrieben.
2.1 Physikalische Modellierung
Das Strömungsgebiet ist in Bild 2 dargestellt. Im Gegensatz zu dem Beispiel in Bild 1 trifft dieser Strahl von unten statt von oben auf die Oberfläche, was den Versuchsaufbau widerspiegelt.
2.1.1 Geometrie und physikalische Randbedingungen
Aufgrund der Symmetrie der Düse wird der auftreffende Strahl in einem zweidimensionalen Rechengebiet simuliert. Die Strömung tritt an der blauen Linie mit einer Geschwindigkeit u = 50 m/s (ReDH ≈ 66000) bei einer Temperatur ϑE = 23,5 °C ein. Sie wird durch die 10 mm breite und 100 mm hohe Schlitzdüse geleitet. Die roten Linien stellen eine Druckauslass-Randbedingung mit einem Relativdruck p = 0 Pa dar. Das Metallband (graue Linie) in einem vertikalen Abstand von 50 mm zum Düsenaustritt wird als Festkörper mit einer Dicke t = 0,1 mm modelliert. Er liefert eine konstante Wärme von Φ = 163,2 MW/m3 gemäß dem Versuchsaufbau (siehe Abschnitt 2.3.2). Seine hydraulisch glatte Unterseite ist mit dem Fluidbereich gekoppelt, sodass ein Wärmeaustausch zwischen beiden Zonen stattfinden kann. An der Oberseite des Bandes wird sowohl ein konvektiver Wärmeübergang mit einem Wärmeübergangskoeffizienten von h = 15 W/m2K als auch Strahlung bei einem Emissionsgrad von ε = 0,88 des Konstantans modelliert. Die Umgebungstemperatur wird auf ϑ∞ = 21 °C festgelegt. Alle anderen Wände (schwarz) werden als adiabat und ebenfalls hydraulisch glatt angenommen. Die Breite des Metallbandes bzw. des Rechengebiets entspricht der 60-fachen Düsenschlitzbreite, um die Auswirkungen der Rückströmung zu minimieren.
2.1.2 Werkstoffdaten
Für die Simulationen werden die Materialdaten des Fluids (trockene Luft) und des Festkörpers (Konstantan) benötigt. Die Dichte der Luft (molare Masse M = 28,9568 g/mol) wird nach dem idealen Gasgesetz modelliert. Alle anderen Stoffwerte werden durch Polynome gemäß Gleichung (2) in Abhängigkeit der Temperatur definiert. Die Polynomkoeffizienten sind in Tabelle 1 aufgeführt.
2.2 Numerische Modellierung
2.2.1 Turbulenzmodellierung
Abdon und Sundén [5] stellten fest, dass insbesondere lineare Turbulenzmodelle (z. B. k-ε oder k-ω-Modelle) nur bedingt dazu geeignet sind, einen sekundären Peak der lokalen Nußelt-Zahl zu berechnen. Zuckerman und Lior [6] sowie Alimohammadi et al. [7] stellten jedoch fest, dass das SST-Modell, ergänzt um die Intermittenz-Transportgleichung, besser funktioniert als andere lineare Modelle. In den Untersuchungen für diese Arbeit wird das Generalised k-ω (GEKO) Turbulenzmodell verwendet. Das GEKO-Modell basiert auf der k-ω-Modellformulierung und wurde von Menter et al. [10] im Jahr 2019 eingeführt. Das Modell kann vom Nutzer eingestellt werden, um Zielgrößen anzupassen, ohne die Grundkalibrierung des Modells zu beeinträchtigen. Zu diesem Zweck stehen sechs freie Parameter zur Verfügung. Ihre Namen und Auswirkungen auf die Strömung sind wie folgt [10]:
Separation Parameter CSEP:
Einstellung des Ablösepunktes von Grenzschichtströmungen
Near Wall Parameter CNW:
Einstellung der Wandschubspannung und des Wärmeübergangskoeffizienten in Grenzschichten
Mixing Parameter CMIX:
Einstellung der Ausbreitung von freien Scherströmungen/ Mischschichten
Strahl-Parameter CJET:
Einstellung der Aufweitung von Strahlen
Corner Parameter CCORNER:
Einstellung der Reibung in Sekundärströmungen in Ecken
Curvature CCURV:
Einstellung der Erzeugung von turbulenter kinetischer Energie auf gekrümmten Stromlinien oder in rotierenden Strömungen
Gemäß den Ergebnissen früherer Untersuchungen und den Empfehlungen von ANSYS [11] werden die folgenden Optionen im Turbulenzmodell aktiviert: Curvature Correction, Production Kato-Launder, Production Limiter, Intermittency Transition Model, Include Crossflow Transition.
2.2.2 Rechengitter
Chitsazan et al. [12] stellten fest, dass eine korrekte lokale Nußelt-Zahl nur dann berechnet werden kann, wenn das Rechengitter nach dem Near Wall Model-Ansatz erstellt wird. Dies bedeutet, dass die Grenzschicht des auftreffenden Strahls durch das Gitter aufgelöst werden muss, was einen dimensionslosen Wandabstand von y+ ≈ 1 für die wandnächste Zelle im Grenzschichtbereich erfordert. In weiteren Untersuchungen fanden Chitsazan et al. [9] heraus, dass das Netz sogar einen dimensionslosen Wandabstand von y+ ≈ 0,1 benötigt, um eine korrekte Nußelt-Zahl-Verteilung mit dem SST-Turbulenzmodell zu berechnen. Eine Simulation mit ANSYS Fluent zeigte jedoch keine signifikanten Unterschiede zwischen den Ergebnissen mit verschiedenen Gitterauflösungen bei einem dimensionslosen Wandabstand von 0,1≤ y+≤ 1.
2.2.3 Simulationseinstellungen und Turbulenzmodell-Randbedingungen
Die Simulation des Prallstrahls basiert auf einer Formulierung der Navier-Stokes-Gleichungen für stationäre Strömungen, da keine transienten Effekte zu erwarten sind. Aufgrund seiner Effizienz und guten Konvergenzeigenschaften wird der pseudotransiente, druckbasierte, gekoppelte Lösungsalgorithmus angewendet. Für die Approximation der räumlichen Ableitungen wird ein aufstromgewichtetes Schema zweiter Ordnung verwendet.
An den Einlässen und Rückströmbereichen der Auslässe des Strömungsgebietes müssen zusätzliche Randbedingungen für das Turbulenzmodell definiert werden. Am Düseneintritt bestimmt die Kombination aus einem Turbulenzgrad I = 4 % und einem hydraulischen Durchmesser DH = 20 mm die Randbedingungen für die Transportgleichungen des Turbulenzmodells. Die Werte für die Turbulenz-Randbedingungen der Rückströmung haben keinen Einfluss auf das numerische Ergebnis selbst, beeinflussen aber die Konvergenzgeschwindigkeit der Simulation. Die Rückströmung wird mit einer turbulenten kinetischen Energie (TKE) von k = 0 J/kg und einer spezifischen Dissipationsrate der TKE von ω = 0 1/s angenommen. Gemäß dem Leitfaden wird die Intermittenz an allen Grenzen auf γ = 1 gesetzt.
3 Messung der Validierungsdaten
Die Ermittlung von Messdaten zur Validierung der numerischen Simulationen erfolgt auf einem eigens dafür konzipierten Prüfstand. Mit dem Prüfstand ist eine präzise und wiederholbare experimentelle Untersuchung von lokalen Nußelt-Zahl-Verteilungen möglich [13]. Bild 3 zeigt das Funktionsprinzip des Versuchsaufbaus.
Umgebungsluft wird von einem Radialventilator angesaugt und in einen Verteilerkasten geleitet. Auf der Oberseite des Verteilerkastens können modular verschiedene Düsensysteme montiert werden. Die Düsenströmung trifft auf ein 0,1 mm dünnes Konstantanband, das mit einer definierten elektrischen Leistung widerstandsbeheizt wird. Die Prallströmung kühlt das Band ab, sodass sich eine bestimmte Temperaturverteilung auf der Bandoberfläche einstellt. Die Temperaturverteilung wird mit einer Infrarotkamera aufgezeichnet. Mit einer Energiebilanz für jedes Pixel des Infrarotbildes kann die Nußelt-Zahl-Verteilung aus der Temperaturverteilung abgeleitet werden. Dabei werden die elektrisch zugeführte Leistung, die durch die Prallströmung abgeführte Wärme, die zu den benachbarten Pixeln geleitete Wärme sowie die Wärmeverluste durch freie Konvektion und Strahlung an der Oberseite des Bandes berücksichtigt. Für die Auswertung der Experimente gelten die gleichen Annahmen für Materialdaten und Randbedingungen wie für die Simulationen (siehe Abschnitt 2.1).
Die resultierende Temperaturverteilung der untersuchten Einzelschlitzdüse ist in Bild 4 zu sehen. Nach den geometrischen Vorgaben (siehe Abschnitt 2.1.1) hat die Düse eine Breite von W = 10 mm und einen Streifenabstand von H = 50 mm. Die niedrigsten Temperaturen treten direkt über der Düse auf. Hier ist der Wärmeübergang bzw. die Nußelt-Zahl am höchsten. Die Temperatur nimmt mit zunehmendem Abstand vom Stagnationspunkt zu, bevor ein lokales Minimum erreicht wird. Mit noch größerem Abstand von der Düse steigt die Temperatur wieder an. Die sichtbaren kalten Stellen im Bild werden durch Abstandshalter in der Düse verursacht, die die Strömung beeinflussen. Bei der Verarbeitung des Infrarotbildes zur Bestimmung der Nußelt-Zahl wird das Bild an die symmetrischen Bedingungen angepasst. Anschließend wird die zweidimensionale lokale Nußelt-Zahl-Verteilung über die Düsenlänge gemittelt. Die daraus resultierende gemessene Nußelt-Zahl-Verteilung ist in Bild 5 dargestellt.
4 Ergebnisse
Die Untersuchungen konzentrieren sich auf die Fähigkeit, mit ANSYS Fluent eine geeignete Nußelt-Zahl-Verteilung für den oben beschriebenen Benchmark-Fall vorherzusagen. Die Untersuchung gliedert sich in drei Schritte: Ein grundlegender Vergleich verschiedener Turbulenzmodelle, die Identifikation allgemeiner Einflüsse der GEKO-Parameter und eine automatisierte optimale Anpassung der GEKO-Parameter.
4.1 Vergleich der verschiedenen Turbulenzmodelle
Im ersten Schritt der Studie wird der Benchmark-Fall mit verschiedenen k-ω-Turbulenzmodellen simuliert und anhand der Messung validiert. Sowohl die gemessenen als auch die berechneten Nußelt-Zahl-Verteilungen sind in dem Diagramm in Bild 5 dargestellt.
Die gemessene Nußelt-Zahl hat ein Maximum von 191,9 genau am Stagnationspunkt. Sie sinkt auf ein lokales Minimum von 120,9 bei einer relativen Position von 1,6, bevor sie bei einer relativen Position von 3,25 auf 136,7 ansteigt. Mit größeren Abständen vom Staupunkt nimmt die lokale Nußelt-Zahl wieder ab.
Im Gegensatz zum Experiment liegt das Maximum der Nußelt-Zahl bei allen Simulationen bei einer relativen Position von 0,15 anstelle des Stagnationspunktes. In Simulationen mit dem SST-Modell ohne Aktivierung der Funktion zur Dämpfung der turbulenten Viskosität bei niedrigen Reynoldszahlen (low-Re correction) und dem GEKO-Modell mit Standardparametern wird die Nußelt-Zahl am Staupunkt um 4 % bis 6 % gegenüber der Messung überschätzt. Das SST-Modell mit low-Re correction hingegen unterschätzt die lokale Nußelt-Zahl nur geringfügig um 1,3 %. Alle diese Abweichungen liegen jedoch in etwa im Bereich der Messungenauigkeit von ≈ 5 %.
Bei einer relativen Position x/DH ≳ 1 beginnen alle simulierten Verteilungen stärker von der gemessenen Verteilung abzuweichen. Die numerischen Modelle sagen das sekundäre Minimum an der gleichen Stelle wie die Messung voraus, doch unterschätzen sie alle den Wert der lokalen Nußelt-Zahl um 13 % bis 21 %. Die Form des sekundären Maximums ist je nach Turbulenzmodell unterschiedlich. Die mit dem SST-Modell ohne low-Re correction berechnete Nußelt-Zahl-Verteilung wächst leicht bis zu einem lokalen Maximum von 127,2 bei einer relativen Position von 5 an. Die mit dem SST-Modell mit low-Re correction simulierte Verteilung hat ein scharfes lokales Maximum von 158,8 bei einer relativen Position von 2,2. Das GEKO-Modell sagt eine Verteilung zwischen den anderen Fällen mit einem lokalen Maximum von 140,6 bei einer relativen Position von 3,8 voraus. Damit ist es das beste der drei Modelle zur Berechnung des sekundären Peaks. Allerdings weicht es dennoch von der gemessenen Verteilung ab. Keines der Modelle sagt den sekundären Peak korrekt voraus. Auch in den Regionen jenseits des sekundären Maximums berechnen alle Modelle eine höhere lokale Nußelt-Zahl als das Experiment gezeigt hat und weichen bei einer relativen Position von 10 um 11 % bis 21 % von den gemessenen Ergebnissen ab.
Um die Gesamtabweichung zwischen den simulierten Nußelt-Zahl-Verteilungen und der Messung quantitativ zu verglei chen, wird die mittlere quadratische Abweichung (MQA) gemäß Gleichung 3 definiert. Die Anzahl n der diskreten Punkte, an denen der lokale Fehler bewertet wird, entspricht den Messpunkten im Experiment.
Tabelle 2 enthält die Nußelt-Zahl am Stagnationspunkt NuSP, die flächengemittelte Nußelt-Zahl Nu̅ und die ausgewertete MQA. Mit dem SST-Modell ohne low-Re correction lassen sich sowohl die genaueste gemittelte Nußelt-Zahl simulieren als auch die niedrigste MQA erreichen, obwohl die low-Re correction eine bessere Vorhersage der Nußelt-Zahl am Staupunkt bewirkt. Allerdings verfügt nur das GEKO-Modell über eine Vielzahl von Einstellparametern zur Anpassung der Lösung. Daher wird es für die weiteren Untersuchungen verwendet.
4.2 GEKO Parameterstudie
Um die Auswirkungen eines jeden der sechs Hauptparameter des GEKO-Turbulenzmodells zu charakterisieren, wird jeder Parameter innerhalb seiner empfohlenen Grenzen variiert, während für alle anderen Parameter Standardwerte eingestellt werden. Die Standardwerte und empfohlenen Grenzwerte der Parameter sind in Tabelle 3 aufgeführt.
Bild 6 zeigt die Ergebnisse der Parameterstudie und verdeutlicht die Auswirkungen auf die Nußelt-Zahl-Verteilung bei Erhöhung des betrachteten Parameters. Eine Erhöhung des CSEP-Parameters (Bild 6a) wirkt sich auf die Form des sekundären Maximums aus. Der Ort des sekundären Maximums verschiebt sich vom Stagnationspunkt weg, während es deutlich abnimmt. Die Lage des lokalen Minimums wird durch den CSEP-Parameter kaum beeinflusst. Der CNW-Parameter (Bild 6b) wirkt sich hauptsächlich auf den Bereich jenseits des sekundären Maximum aus. Eine Erhöhung dieses Parameters führt zu einem kleineren negativen Gradienten der lokalen Nußelt-Zahl und zu höheren Nußelt-Zahlen an relativen Positionen ≳ 4. Sowohl das sekundäre Minimum als auch das Maximum können durch Variation von CMIX gesteuert werden (Bild 6c). Eine Erhöhung des Parameters verschiebt das Maximum zu größeren Werten und rückt es etwas näher an den Stagnationspunkt heran. Der Parameter CCURV (Bild 6f) hat nur eine geringe Auswirkung. Seine Erhöhung führt zu einer leichten Verringerung des sekundären Maximums. Die Variation der Parameter CJET (Bild 6d) und CCORNER (Bild 6e) hat keinen Einfluss auf die Nußelt-Zahl-Verteilung. Die Nußelt-Zahl am Stagnationspunkt wird von keinem der Parameter beeinflusst, mit Ausnahme des Parameters CSEP. Durch Variation dieses Parameters kann die Nußelt-Zahl am Stagnationspunkt zwischen 196,5 und 203,5 eingestellt werden. Beide Werte sind jedoch höher als die gemessene Nußelt-Zahl. Auch führt keine Parameterkombination der Studie zu einer mittleren Nußelt-Zahl, die mit der Messung übereinstimmt. Die beste MQA in der Parameterstudie (90,42) wurde durch die Reduzierung des CNW-Parameters auf -2,0 (statt 0,5) erreicht.
4.3 Optimierung
Im letzten Schritt der Untersuchungen werden die GEKO-Parameter optimal angepasst, um die gemessene Verteilung der Nußelt-Zahl so gut wie möglich zu berechnen. Dabei wird die MQA als Funktion der Parameter als Optimierungsgröße definiert, die es zu minimieren gilt. Bei der Optimierung werden nur die Parameter CSEP, CNW, CMIX und CCURV berücksichtigt, da die anderen keinen signifikanten Einfluss haben.
Um das Minimum der Funktion in Gleichung 4 zu finden, wird das Nelder-Mead-Verfahren [14] verwendet. Bild 7 veranschaulicht den Optimierungsprozess. Der Algorithmus prüft ein sogenanntes Simplex, das in diesem Fall aus fünf verschiedenen Parameterkombinationen besteht. Er identifiziert die Parameterkombination mit dem höchsten MQA und ersetzt sie sukzessive durch bessere Parameterkombinationen. Auf diese Weise werden lokale Minima der Optimierungsfunktion gefunden. Der gesamte Optimierungsprozess sollte mit verschiedenen Anfangssimplexen wiederholt werden, um die Wahrscheinlichkeit zu erhöhen, dass das gefundene Optimum ein globales ist.
In dieser Studie wurde der Optimierungsprozess viermal mit verschiedenen Anfangssimplexen durchgeführt. Zunächst wurden die empfohlenen Grenzwerte für die Parameter während des Prozesses nicht überschritten. Aufgrund dieser Einschränkung konnte keine Parameterkombination gefunden werden, die zu einer MQA deutlich unter 90,4 führt, die bereits in der vorangegangenen Parameterstudie erreicht wurde. Im weiteren Verlauf wurden die Grenzwerte für die Parameter ignoriert. Das beste Ergebnis wurde mit der folgenden Parameterkombination erzielt. Mit dieser wurde eine MQA von 60,9 erreicht. Allerdings wurden die Grenzwerte für CNW und CCURV verletzt. Die makroskopische Strömung wird jedoch durch die Änderungen der GEKO-Parameter nicht wesentlich beeinflusst, selbst wenn die empfohlenen Grenzen verletzt werden. Die Wirkung der Parameter findet auf mikroskopischer Ebene innerhalb der Grenzschicht statt.
Die simulierte Nußelt-Zahl-Verteilung ist in Bild 8 dargestellt. In Tabelle 4 sind dazugehörig die Nußelt-Zahl im Staupunkt, die flächengemittelte Nußelt-Zahl und die MQA aufgelistet. Die Position und Form des sekundären Maximums und der Bereich jenseits des sekundären Peaks stimmen gut mit dem Messergebnis überein. Auch die Lage des sekundären Minimums wird gut vorhergesagt. Allerdings ist der Wert des Minimums, wie in den vorangegangenen Untersuchungen, niedriger als bei der Messung. Auch die Nußelt-Zahl am Stagnationspunkt wird wie in den vorherigen Simulationen überschätzt. Die simulierte Verteilung weicht jedoch meist weniger als 10 % vom gemessenen Ergebnis ab.
5 Schlussfolgerung
k-ω-Turbulenzmodelle sind für die Berechnung der charakteristischen Sekundärspitze der lokalen Nußelt-Zahl nur bedingt geeignet. Das SST-Modell liefert gute Werte für das Maximum und den Mittelwert der Nußelt-Zahl, weicht aber bei der Berechnung des sekundären Maximums von den Messwerten ab. Das GEKO-Turbulenzmodell bietet die Möglichkeit, einige Parameter frei einzustellen, ohne die Grundkalibrierung des Modells zu verändern. Durch Anpassung der Parameter kann das GEKO-Modell die lokale Nußelt-Zahl mit einer Genauigkeit von etwa 10 % vorhersagen. Allerdings wurden die empfohlenen Grenzwerte für die GEKO-Parameter überschritten.
Der Fehler könnte möglicherweise weiter reduziert werden, wenn auch die einstellbaren Unterparameter, z. B. CREAL, im Optimierungsprozess berücksichtigt würden. Dadurch könnte die Abweichung am Stagnationspunkt minimiert werden.
Die Untersuchungen wurden nur an einer einfachen Düsengeometrie, mit nur einer Bandhöhe und einer Austrittsgeschwindigkeit durchgeführt. Aus diesem Grund sollte überprüft werden, ob das Modell auch für andere Bandabstände, andere Reynoldszahlen und andere Düsengeometrien mit den eingestellten Parametern gute Ergebnisse liefert.
Nomenclature
Latin Symbols
| a | Material data | [div.] |
| c | Specific heat | [J/kgK] |
| DH | Hydraulic Diameter | [m] θ |
| H | Nozzle height | [m] |
| h | Heat transfer coefficient | [W/m2K] |
| I | Turbulence intensity | [] |
| k | Turbulence kinetic energy (TKE) | [J/kg] |
| M | Molar mass | [kg/mol] |
| MSE | Mean squared error | [] |
| Nu | Nusselt number | [] |
| p | Pressure | [Pa] |
| Pr | Prandtl number | [] |
| q | Heat flux | [W/m2] |
| Re | Reynolds number | [] |
| S | GEKO parameter vector | [] |
| T | Absolute temperature | [K] |
| t | Thickness | [m] |
| u | Velocity (vector) | [m/s] |
| W | Nozzle width | [m] |
| x, y | Position | [m] |
| y + | Dimensionless wall distance | [m] |
Greek Symbols
| γ | Intermittency | [] |
| ε | Emissivity | [] |
| ϑ | Celsius temperature | [°C] |
| κ | Thermal conductivity | [W/mK] |
| μ | Dynamic viscosity | [Pa s] |
| ρ | Density | [kg/m3] |
| Φ | Heat source | [W/m3] |
| ω | Specific dissipation rate of TKE | [1/s] |
Subscripts
| e | Entry |
| F | Fluid |
| i, j | Running index |
| meas | Measurement |
| n | Running index |
| p | Isobaric |
| s | Surface |
| sim | Simulation |
| SP | Stagnation point |
| ∞ | Ambient |
* Lecture held by Jan Erik Menzler at the IFHTSE/ECHT 2022, 5.–8. September 2022 in Salzburg, Austria
References
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© 2023 J. E. Menzler, M. Klusmann, M. Wulfmeier, D. Büschgens, H. Pfeifer, publiziert von De Gruyter
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