Determination of Machining Parameters for a Specific Adjustment of the Residual Stress Profile by Induction Hardening*

1 Introduction

Due to practical relevance in production engineering, it is common to investigate the influence of machining parameters on the resulting material modifications. In the causal sequence given in Figure 1 this is denoted by correlation A. Such correlations are strongly limited to the investigated manufacturing process and its system properties and machining parameters. A little bit nearer to a generalization is a correlation of type B. Here the material modifications are linked with process quantities like heat fluxes or forces. In most processes the process-variables act on the component from outside and generate external loads into the material. In induction hardening, however, the conditions are more complex: the eddy currents and heat flows are generated inside the component. However, their cause does act from the outside, so that this notation will be retained here. Nevertheless, the underlying mechanisms of the material modifications cannot be adequately described by the type B correlations. But this is possible if the internal material loads such as stresses, strains, temperatures and their gradients are taken into account. Correlations between these quantities and the material modifications are referred to as the process signature. In Figure 1, this is the correlation 3. They provide the missing link to solve the inverse problem of manufacturing [1]. It should be noted that this solution of the inverse problem of manufacturing technology is much simpler than the solution of classical inverse problems, such as the inverse determination of the heat transfer coefficient from measured cooling curves. This is possible because so far all necessary correlations can be described by simple fit functions.

Fig. 1

Causal sequence of manufacturing processes [1] – here induction hardening

Bild 1. Kausalkette von Fertigungsprozessen [1] – hier Induktionshärten

When developing a process signature component, the greatest challenge is to determine suitable characteristic descriptions of the internal loads of a manufacturing process. This requires answering the question of what are the causes of material modifications observed in the experiment. By considering the underlying mechanisms in the material and from there the reasons, why these mechanisms are activated in the process, relevant internal material loads can be identified and characterized [2]. The internal material load characteristics thus contain physical knowledge and correspondingly also the process signature. If there are additionally correlations between internal material loads and process quantities as well as between process quantities and machining parameters, the process quantities and ultimately the necessary machining parameters can be determined, too.

2 Induction hardening of cuboidal components at the Leibniz-IWT

The material 42CrMo4 with the chemical composition given in Table 1 was used for the investigations. The cuboid specimens (150 mm × 30 mm × 30 mm) to be hardened were adjusted by a suitable chosen tempering temperature of 400 °C to the initial state quenched and tempered to 47 HRC. Details of heat treatment and material properties of this micro structure are described in [2, 3].

The hardening tests were performed with a universal hardening machine from EFD Induction (VL 1000 SINAC 200/300 S MFC, Figure 2a). The induction coil was used in combination with the Ferrotron 559 magnetic flux controller. This was necessary in order to concentrate the magnetic flux density and thus increase the generated heat flux density within the sample. The arrangement of component, induction coil, and magnetic flux controller is shown in Figure 2b. The component was fixed with screws on a stable austenitic steel bar. The coil moves at a feed rate v_ft with a distance of 2 mm along the surface of the sample, which is afterwards immediately cooled by a polymer-water-solution shower with 23 l/min.

Fig. 2

Equipment overview (a) and arrangement of the component in relation to the inductor (b)

Bild 2. Geräteübersicht (a) und Anordnung des Bauteils in Bezug auf den Induktor (b)

3 Determination of process signature of cuboidal components

The derivation of the internal material load characteristics usually requires a simulation of the induction hardening process. The commercial software SYSWELD® was used for this purpose. Figure 3 shows schematically the mesh of the 2D translation symmetric Finite Element model in direct comparison to the real arrangement. The geometry consists of 8000 volume elements with four Gauss points each. The minimal distance between two Gauss points was 40 μm.

Fig. 3

2D mesh of sample, inductor and magnetic flux concentrator (a) and the real arrangement (b)

Bild 3. 2D-Netz der Probe, des Induktors und des Magnetflusskonzentrators (a) und die reale Anordnung (b)

The modelling takes the Maxwell equations and temperature dependent electrical properties into account. The highly nonlinear temperature dependent magnetization of 42 CrMo4 was measured within a joint project by Petzold et al. [5]. Within the applied FEM code, the inductor current and the resultant heat production are controlled by the electric potential and frequency of the inductor coil. The interactions between electromagnetism and the temperature field were modelled by a weak coupling. The time increments and the element width were chosen so that the increases in maximal temperatures and the differences between maximal temperatures of adjacent Gauss points were limited to a maximum of 20 K. Thermo-physical and mechanical parameters were modelled as temperature and phase dependent [3]. The transformation from initial microstructure to austenite was modelled by a modified Avrami approach [6], from austenite to martensite by a modified Koistinen-Marburger equation [7]. The temperature and phase dependent material parameters of 42CrMo4 were taken from [8] and own investigations [3]. For simplicity, it was assumed that no bainite is formed during cooling and the portions of the initial microstructure that were heated above the original tempering temperature but not austenitized have identical material properties to the initial microstructure.

For calibration of the moving heat source and validation, hardening experiments with different parameters were performed. Surface temperatures were measured using a pyrometer. Temperatures at various depths were measured using thermocouples. Comparison of experiments and simulations shows a good agreement. For details see [9, 10]. Validation was performed by use of metallographic analyses and residual stress measurements by Neutron and X-ray diffraction. Near the surface, the calculated residual stresses are systematically too large in terms of magnitude (approx. 100–150 MPa). In the area around the zero crossings the agreement is quite good. The hardening depth is somewhat overestimated [9].

Figure 4a shows a simulated typical depth profile of the residual stress component parallel to the feed direction and the depth profile of martensite portion. Near the surface, pronounced compressive residual stresses (resp. a fully martensitic microstructure) result, which, from a certain depth, change into the tensile range within a short depth interval. The depth of the 1^st zero crossing of the residual stresses corresponds in a very good approximation to the surface distance with 50 % martensite. This was found for thermally dominated processes such as laser hardening, grinding hardening, and induction hardening in combination with different initial microstructures (ferrite + pearlite, quenched and tempered to 30 HRC and 47 HRC, respectively). Figure 4b shows a comparison of the depth of the first zero-crossing with the depth of 50 % martensite obtained from simulations with different machining parameters, which impressively supports this statement.

Fig. 4

Typical depth profiles of residual stress component parallel to the feed direction and martensite content (a), comparison of the depth of 1^st zero crossing and depth of 50 % martensite for different combinations of process, initial microstructure, and machining parameters (b)

Bild 4. Typische Tiefenprofile der Eigenspannungskomponente parallel zur Vorschubrichtung und des Martensitanteils (a), Vergleich der Tiefe des ersten Nulldurchgangs und der Tiefe von 50 % Martensit für verschiedene Kombinationen von Prozess, Ausgangsgefüge und Bearbeitungsparametern (b)

The surface residual stress and the depth of 1^st zero crossing were selected as two possible components of the process signature. Figures 5a and 5b show the changes in these two quantities as functions of characteristic loading variables for varying feed rate and Control Value of Current (CVC). The characteristic descriptions of the internal loads are essential for these representations. For the residual stresses, it is obvious to use a quantity that describes the extent of the thermal strains. Therefore, the maximum temperature gradient occurring during a hardening cycle was chosen as load descriptive. The result is a straight line that gives a good representation until (gradθ)_max reaches a value of 149 K/ mm. For larger gradients, the residual compressive stresses increase slightly toward tensile direction. The maximum compressive residual stress achievable under the given conditions is 795 MPa (Figure 5a). Regarding the depth of the 1^st zero crossing Z₁ (Figure 5b), different approaches have been analyzed in the past [2, 9]. Thereby, the field of application was extended with regard to the processes and the initial microstructure. Currently, the quantity

Fig. 5

Process signature components for surface residual stress (a) and depth of 1^st zero crossing (b)

Bild 5. Prozesssignaturkomponenten für Oberflächeneigenspannung (a) und Tiefe des 1. Nulldurchgangs (b)

has proven to be suitable as load descriptive for the processes induction hardening, grind hardening, and laser hardening, each of which yields very good process signatures even when the original microstructure is varied by different heat treatments [2]. This load descriptive takes into account the maximum temperature Θ_max that occurs during a hardening cycle. The term with the transformation temperatures A_c1 and A_c3 corresponds to the average transformation temperature. This temperature can be attributed approximately to the formation of 50 % austenite and thus to 50 % martensite after quenching. As mentioned before, this value occurs at depth Z₁, too. The quotient of the temperature difference and Z₁ corresponds to the mean gradient on the distance between the location of the maximum temperature and the location of 50 % martensite and can be regarded as a measure of the heat flow into the inner part of the component. The heating time t_C occurs with its square root. This quantity is typical for diffusion and heat conduction processes. Thus, parameters belonging to the mechanisms of heat conduction and phase transformation are involved in this load descriptive.

Both process signature components can be described by simple linear approaches:

a₀, a₁, a₂, a₃, b₀, b₁ are fit parameters. Both equations can be easily inverted.

4 Solution of the inverse problem

Now that the process signature is available, the question of how it can be applied in practice must be answered. As shown in Figure 1, two further correlations are required for each of the two target parameters in order to be able to establish the mathematical relationships between the machining parameters and the desired material modifications. In detail, the correlations between machining parameters and process variables (correlation 1) as well as between process variables and internal material loads (correlation 2) must first be determined. In the following, the relevant machining parameters and process quantities are presented (4.1). In the further course, the determination of the correlations and the derivation of the relationships between the process parameters and the material modifications for the residual surface stresses (4.2) and the depth of the first zero crossing and the depth of 50 % martensite (4.3) are described.

4.1 Relevant machining parameters and process quantities

The relevant machining parameters for the used induction hardening machine are the “Control Value Current” (CVC) and the time until the inductor has passed over an imaginary cross line on the component over its entire width (heating time t_c). The process quantities are the equivalent heat flux density q ˙ e q and the product of this quantity and the square root of heating time q ˙ e q ⋅ t c . The equivalent heat flux density characterizes the power density distribution (Figure 6) generated by the inductor via eddy currents. It was calculated by integrating the distribution of heat flux density below the inductor and normalizing this integral to the surface below the inductor [9]:

Fig. 6

Simulated power density distribution beneath an infield inductor with concentrator material which has a width W in feeding direction of 18 mm (feed speed in z-direction of 15 mm/s and a maximal inductor current of 650 A, temperature dependent electromagnetic material properties, 2D-translation symmetric model) [4]

Bild 6. Simulierte Leistungsdichteverteilung unter einem Innenfeld-Induktor mit Konzentratormaterial, der eine Breite W in Vorschubrichtung von 18 mm hat (Vorschubgeschwindigkeit in z-Richtung von 15 mm/s und ein maximaler Induktorstrom von 650 A, temperaturabhängige elektromagnetische Materialeigenschaften, 2D-translationssymmetrisches Modell) [4]

(4) q ˙ e q = 1 / ( W ⋅ I W ) ⋅ ∫ x = 0 H ∫ y = 0 W ∫ z = 0 L q ˙ v v l ( x , y , z ) d x d y d z

H, W and L are the dimensions of the sample and IW the width of the inductor (Figure 2b).

4.2 Surface residual stress

The necessary additional correlations 1 and 2 (cf. Figure 1) for the calculation of surface residual stresses on the basis of machining parameters were determined by evaluating simulations of induction hardening for different values of CVC (Figure 7a and 7b). By fitting these data describing equations were received with fitting parameters f₀, f₁ and c:

Fig. 7

Correlations No. 1 between equivalent heat flux density and CVC (a), No. 2 between maximum temperature gradient and equivalent heat flux density (b) and CVC as function of specified surface residual stress (cf Figure 1 and equation (8)) (c)

Bild 7. Korrelationen Nr. 1 zwischen äquivalenter Wärmestromdichte und CVC (a), Nr. 2 zwischen maximalem Temperaturgradienten und äquivalenter Wärmestromdichte (b) und CVC als Funktion der spezifizierten Oberflächeneigenspannung (siehe Bild 1 und Gleichung (8)) (c)

(5) q ˙ e q = f 1 ⋅ C V C + f 0 2 , … C V C ∈ [ 5 ; 80 % ]

(6) ( grad ⁡ θ ) max = c ⋅ q ˙ e q , … q ˙ e q ∈ 8.9 ; 20.4   W / m m 2

By combining these equations equivalent heat flux density can be eliminated:

(7) ( grad ⁡ θ ) max = c ⋅ f 1 ⋅ C V C + f 0

In the last step equation (2) can be used to eliminate the maximum temperature gradient:

(8) C V C = Δ σ I I − a 0 a 1 ⋅ c ⋅ f 1 − f 0 f 1 , … C V C ∈ [ 6.4 % ; 23 % ] C V C = Δ σ I I − a 2 a 3 ⋅ c ⋅ f 1 − f 0 f 1 , … C V C ∈ [ 23 % ; 75 % ]

As a result, equation (8) can be used directly to determine the necessary CVC-value for a specified value of the surface residual stress (Figure 7c). CVC values up to 23 % lead to a steep increase in compressive residual stress at the surface. Higher CVC values practically always result in the maximum possible residual compressive stress. Here, only a slight decrease with further increasing CVC values can be observed.

4.3 Depth of 1^st zero crossing and 50 % martensite

First, it must be guaranteed that a sufficient surface hardening is achieved. For this purpose, it must be ensured that, on the one hand, austenitizing of the surface layer must occur. This is achieved when the maximum temperature is greater than A_c3. Equation (3) can be used to establish an equation for the maximum value of heating time t_cmax, which depends on the transformation temperatures and thus on the input microstructure and the desired depth of residual stress zero crossing:

(9) t c < t c max = z 1 − b 0 b 1 ⋅ 2 A C 3 − A C 1

On the other hand, it must be ensured that, the near-surface cooling takes place so fast that only martensite is formed here. This was ensured by using an aqueous polymer solution that is sprayed onto the component through a shower system.

Correlation No. 2 (Figure 8 b) was determined by evaluating simulations of induction hardening for different values of CVC and t_c. The reduction of the slope results from the change of the electro-magnetic properties above the Curie temperature. The relevant part of this curve begins above A_c3 and can be fitted by a straight line with parameters e₀ and e₁:

Fig. 8

Correlations between equivalent heat flux density and CVC (a) and maximum temperature and product of equivalent heat flux density and square root of heating time (b), heating time as function of specified depth of 1^st zero crossing and CVC (in %) for different specified values of the surface residual stress (in MPa) (c). Red line equals maximal possible heating time t_{c max} as function of Z₁

Bild 8. Korrelationen zwischen äquivalenter Wärmestromdichte und CVC (a) und maximaler Temperatur und Produkt aus äquivalenter Wärmestromdichte und Quadratwurzel der Erwärmdauer (b), Erwärmdauer als Funktion der vorgegebenen Tiefe des ersten Nulldurchgangs und CVC (in %) für verschiedene vorgegebene Werte der Oberflächeneigenspannung (in MPa) (c). Die rote Linie entspricht der maximal möglichen Erwärmdauer t_{c max} in Abhängigkeit von Z₁

(10) θ max = e 1 ⋅ q ˙ eq  ⋅ t c + e 0 ; … θ max ∈ θ Curie  ; 1300 ∘ C

Combining equations (10) and the 2^nd component of the process signature (equation (3)) the following equations for t_c can be achieved:

(11) t c = Y 2 + Y 2 2 − Z 1 − b 0 e 1 ⋅ b 1 ⋅ q ˙ e q 2 , … Y = e 0 − A ¯ c e 1 ⋅ q ˙ e q 2 + 2 ⋅ Z 1 − b 0 e 1 ⋅ b 1 ⋅ q ˙ e q , … A ¯ c = 1 2 ⋅ A C 1 + A C 3

Figure 8c shows the dependency of necessary heating time as function of the set value for depth of 1^st zero crossing Z₁ and the specified surface residual stress and the corresponding CVC. The heating time to be set depends not only on the specified depth of the 1^st zero crossing of the residual stresses, but also on the selected value of the surface residual stress. Furthermore the maximal allowed heating time is given as function of Z₁.

At this point, however, to calculate the equivalent heat flux density in equation (11), an equation is also needed that requires the relationship between this quantity and a machining parameter. This purpose is fulfilled by correlation No. 1 from the calculation of the surface residual stress (equation (5)) according to Figure 7a, which is used again here (Figure 8a).

5 Experimental verification

For the experimental verification a set of three different induction processes is chosen. The set should span the range of both parts of equation (8) and should lead to significant different depth of zero crossings. Table 2 presents the chosen parameters for the induction hardening with a middle frequency of about 11 kHz. For these tests, specimens were manufactured from 42CrMo4 with the initial microstructure quenched and tempered to 47 HRC.

The residual stresses at the surface were determined by X-ray measurement. For the determination of the depth of the first zero crossing of the residual stresses, the equality of this quantity with the depth of 50 % martensite was used. It was further assumed that this latter quantity corresponds in good approximation to the depth of hardness.

The results of these measurements are compared with the target values in Figure 9. In all cases the measured residual stresses are systematically lower than the desired values. The measured depths of the 1^st zero crossing show no systematic deviations from the target values. For the 3^rd test, however, a 0.4 mm smaller value should result.

Fig. 9

Comparison of target and measured residual stresses at surface (a), and target values for depth of 1^st zero crossing and measured depth of hardening (b)

Bild 9. Vergleich von Soll- und gemessenen Eigenspannungen an der Oberfläche (a) sowie Sollwerte für die Tiefe des 1. Nulldurchgangs und gemessene Härtetiefe (b)

6 Discussion

The agreement between requested and measured material modifications is not completely exact. The reasons for the deviations concerning residual stress at the surface and the depth of the 1^st zero crossing from pressure to tensile stress can have different origins. The deviations concerning the surface residual stresses (cf. Figure 9a) point out some model problems. Schwenk discussed these problems, too [11]. He found systematic deviations of approximately 200 MPa between measured and calculated values: the measured residual compressive stresses are systematically lower (Figure 10). The work here confirms this observation. In addition, systematic investigations into other possible causes were carried out [12]. Through this work, factors such as inappropriate material parameters, an incorrect strain hardening model, or a non-negligible initial residual stress state could be ruled out as potential reasons for this result. But another aspect, stress relaxation due to self-temper processes may be an important factor. Initial calculations have shown that significant stress relaxation can occur during a short heating period, resulting in lower residual stress values at the surface than predicted by simplified elastoplastic simulations. Furthermore, Kaiser et al. published in 2017 and 2018 papers that describe the stress decrease during tempering with models similar to models for transformations plasticity [13, 14]. For future work, these models should be included into the simulation software. First own Finite Element simulations concerning tempering models of Kaiser with AISI 4140 (42CrMo4) show encouraging results.

Fig. 10

Comparison of measured and simulated residual stress profiles after induction hardening [11]

Bild 10. Vergleich der gemessenen und simulierten Eigenspannungsprofile nach dem Induktionshärten [11]

Looking at the depth of the 1^st zero crossing of the residual stress profile, only the test with the shortest heating time shows a larger deviation between target value and measurement. First of all, it should be noted that this effect also occurred in Schwenk’s investigations (Figure 10). This could therefore also be a modeling problem. Moreover, the authors see no reason why this result could not also be due to the neglect of self-tempering effects. Nevertheless, the correlation between the power generation and power distribution contains some further problems concerning the depth of 1^st zero crossing. Figure 11a presents some results for the reproducibility of the used induction hardening system with equal samples and equal values of CVC. The measurements yield differences for the measured power of the input coil of about 7 kW, which are approximately +/- 7 % of the mean value. In Figure 11b results of temperature measurements with thermo-couples 1 mm beneath the heated surface are presented. The differences of the maximum temperature carried out with equal parameter sets are about 25 K. According to equation (3) such a deviation results in approximately 0.2 mm deviation for the 1^st zero crossing in case of a CVC of 40 %. Additionally errors are given by the correlations shown in Figure 7a and b and Figure 8a and b because these correlations are simplifications and contain some errors itself.

Fig. 11

(a) Measured maximal currents and power generation of the used induction hardening system for different values of CVC. (b) Measured temperature curves (1 mm beneath surface) for the same experimental set up with the same CVC (40 %, v_ft = 15 mm/s)

Bild 11. (a) Gemessene Maximalströme und Stromerzeugung des verwendeten Induktionshärtesystems für verschiedene CVC-Werte. (b) Gemessene Temperaturkurven (1 mm unter der Oberfläche) für denselben Versuchsaufbau mit identischem CVC-Wert (40 %, v_ft = 15 mm/s)

But overall the prediction quality of the correlations in Figures 7 and 8 is acceptable. The transfer to other induction systems and other workpiece geometries contain very likely much work. Nevertheless the method of process signatures with its internal material loads (here temperature and temperature gradients) provide a useful method to achieve good parameter sets for inductions hardening processes faster than the use of trial and error method.

7 Conclusions

• Process signatures represent correlations between material modifications (e. g. changes of residual stress, micro structure, hardness profile, etc.) and characteristic values of the material loading.

• By the concept of process signatures it is possible to calculate the necessary internal material loads backwards on the basis of concrete specifications for the material modifications.

• This backward consideration can be done quite easily for a simple induction hardening process.

• The material loadings of such a process are purely thermal.

• For the surface residual stresses, the maximum temperature gradient can be used as a suitable characteristic description of the internal loads, since this quantity describes the extent of the thermal strains.

• For the depth of the 1^st zero crossing of the residual stress profile a more complex characteristic description of the internal loads has to be used. It contains parameters that belong to heat conduction and austenite formation.

• By use of additionally correlations between internal material loads and process quantities as well as between process quantities and machining parameters, the necessary machining parameters leading to given material modifications can be determined, too.

• The quality of the prediction of the process parameters is not perfect, but acceptable. It can probably be improved by taking self-tempering effects into account.

1 Einleitung

Aufgrund der praktischen Relevanz in der Fertigungstechnik ist es üblich, den Einfluss von Bearbeitungsparametern auf die resultierenden Werkstoffveränderungen zu untersuchen. In der in Bild 1 dargestellten Kausalfolge wird dies als Korrelation A bezeichnet. Derartige Korrelationen sind stark auf den untersuchten Fertigungsprozess und dessen Systemeigenschaften und Bearbeitungsparameter beschränkt. Etwas näher an einer Verallgemeinerung ist eine Korrelation vom Typ B. Hier werden die Werkstoffmodifikationen mit Prozessgrößen wie Wärmeströmen oder Kräften verknüpft. Bei den meisten Verfahren wirken die Prozessgrößen von außen auf das Bauteil ein und erzeugen äußere Belastungen im Werkstoff. Beim Induktionshärten sind die Bedingungen jedoch komplexer: Die Wirbelströme und Wärmeströme werden im Inneren des Bauteils erzeugt. Ihre Ursache wirkt jedoch von außen, sodass diese Schreibweise hier beibehalten wird. Dennoch lassen sich die zugrundeliegenden Mechanismen der Werkstoffmodifikationen mit den Korrelationen vom Typ B nicht hinreichend beschreiben. Dies ist aber möglich, wenn die inneren Werkstoffbeanspruchungen wie Spannungen, Dehnungen, Temperaturen und deren Gradienten berücksichtigt werden. Korrelationen zwischen diesen Größen und den Werkstoffmodifikationen werden als Prozesssignatur bezeichnet. In Bild 1 ist dies die Korrelation 3. Sie stellen das fehlende Glied zur Lösung des inversen Problems der Fertigung dar [1]. Es ist zu beachten, dass diese Lösung des inversen Problems der Fertigungstechnik wesentlich einfacher ist als die Lösung klassischer inverser Probleme, wie z. B. die inverse Bestimmung des Wärmeübergangskoeffizienten aus gemessenen Abkühlkurven. Dies ist möglich, weil bislang alle notwendigen Zusammenhänge durch einfache Fit-Funktionen beschrieben werden können.

Bei der Entwicklung einer Prozesssignaturkomponente besteht die größte Herausforderung darin, geeignete charakteristische Beschreibungen der inneren Lasten eines Fertigungsprozesses zu ermitteln. Dazu muss die Frage beantwortet werden, was die Ursachen für die im Experiment beobachteten Werkstoffmodifikationen sind. Durch die Betrachtung der zugrundeliegenden Mechanismen im Material und daraus abgeleitet die Gründe, warum diese Mechanismen im Prozess aktiviert werden, können relevante interne Werkstoffbeanspruchungen identifiziert und charakterisiert werden [2]. Die werkstoffinternen Belastungsmerkmale enthalten somit physikalisches Wissen und entsprechend auch die Prozesssignatur. Bestehen darüber hinaus Zusammenhänge zwischen inneren Werkstoffbeanspruchungen und Prozessgrößen sowie zwischen Prozessgrößen und Bearbeitungsparametern, können auch die Prozessgrößen und letztlich die notwendigen Bearbeitungsparameter ermittelt werden.

2 Induktionshärten von quaderförmigen Bauteilen am Leibniz-IWT

Für die Untersuchungen wurde der Werkstoff 42CrMo4 mit der in Tabelle 1 angegebenen chemischen Zusammensetzung verwendet. Die zu härtenden quaderförmigen Probekörper (150 mm × 30 mm × 30 mm) wurden durch eine geeignet gewählte Anlasstemperatur von 400 °C auf den Ausgangszustand „vergütet auf 47 HRC“ eingestellt. Details zur Wärmebehandlung und zu den Werkstoffeigenschaften dieses Gefüges sind in [2, 3] beschrieben.

Die Härteversuche wurden mit einer Universalhärtemaschine von EFD Induction (VL 1000 SINAC 200/300 S MFC, Bild 2a) durchgeführt. Die Induktionsspule wurde in Kombination mit dem magneto-dielektrischen Material Ferrotron 559 verwendet. Dies war notwendig, um die magnetische Flussdichte zu konzentrieren und damit die erzeugte Wärmestromdichte innerhalb der Probe zu erhöhen. Die Anordnung von Bauteil, Induktionsspule und Magnetflusskonzentrator ist in Bild 2b dargestellt. Das Bauteil wurde mit Schrauben auf einem stabilen Stab aus austenitischem Stahl befestigt. Die Spule bewegt sich mit einer Vorschubgeschwindigkeit v_ft mit einem Abstand von 2 mm entlang der Oberfläche der Probe, die anschließend sofort durch eine Brause mit wässriger Polymerlösung (23 l/min) gekühlt wird.

3 Bestimmung der Prozesssignatur von quaderförmigen Bauteilen

Die Ableitung der inneren Werkstoffbeanspruchung erfordert in der Regel eine Simulation des Induktionshärtungsprozesses. Zu diesem Zweck wurde die kommerzielle Software SYSWELD® verwendet. Bild 3 zeigt schematisch das Netz des 2D-translationssymmetrischen Finite-Elemente-Modells im direkten Vergleich zur realen Anordnung. Die Geometrie besteht aus 8000 Volumenelementen mit je vier Gaußpunkten. Der minimale Abstand zwischen zwei Gaußpunkten betrug 40 μm.

Die Modellierung berücksichtigt die Maxwell-Gleichungen und temperaturabhängige elektrische Eigenschaften. Die hochgradig nichtlineare temperaturabhängige Magnetisierung von 42CrMo4 wurde im Rahmen eines Gemeinschaftsprojekts von Petzold et al. gemessen [5]. Innerhalb des verwendeten FEM-Codes werden der Induktorstrom und die daraus resultierende Wärmeproduktion durch das elektrische Potential und die Frequenz der Induktorspule gesteuert. Die Wechselwirkungen zwischen dem Elektromagnetismus und dem Temperaturfeld wurden durch eine schwache Kopplung modelliert. Die Zeitschritte und die Elementbreite wurden so gewählt, dass die Erhöhungen der Maximaltemperaturen und die Differenzen zwischen den Maximaltemperaturen benachbarter Gaußpunkte auf maximal 20 K begrenzt wurden. Die thermophysikalischen und mechanischen Parameter wurden als temperatur- und phasenabhängig modelliert [3]. Die Umwandlung vom Ausgangsgefüge in Austenit wurde mit einem modifizierten Avrami-Ansatz [6] modelliert, die von Austenit in Martensit mit einer modifizierten Koistinen-Marburger-Gleichung [7]. Die temperatur- und phasenabhängigen Materialparameter von 42CrMo4 wurden aus [8] und eigenen Untersuchungen [3] entnommen. Der Einfachheit halber wurde angenommen, dass sich während der Abkühlung kein Bainit bildet und die über die ursprüngliche Anlasstemperatur erwärmten, aber nicht austenitisierten Teile des Ausgangsgefüges identische Materialeigenschaften wie das Ausgangsgefüge aufweisen.

Zur Kalibrierung der beweglichen Wärmequelle und zur Validierung wurden Härtungsversuche mit verschiedenen Parametern durchgeführt. Die Oberflächentemperaturen wurden mit einem Pyrometer gemessen. Die Temperaturen in verschiedenen Tiefen wurden mit Thermoelementen gemessen. Der Vergleich von Experimenten und Simulationen zeigt eine gute Übereinstimmung. Für Einzelheiten siehe [9, 10]. Die Validierung erfolgte durch metallographische Analysen und Eigenspannungsmessungen mittels Neutronen- und Röntgenbeugung. In der Nähe der Oberfläche sind die berechneten Eigenspannungen systematisch zu groß (ca. 100–150 MPa). Im Bereich der Nulldurchgänge ist die Übereinstimmung recht gut. Die Randhärtetiefe wird etwas überschätzt [9].

Bild 4a zeigt ein simuliertes typisches Tiefenprofil der Eigenspannungskomponente parallel zur Vorschubrichtung und das Tiefenprofil des Martensitanteils. In Oberflächennähe ergeben sich ausgeprägte Druckeigenspannungen (bzw. ein vollmartensitisches Gefüge), die ab einer bestimmten Tiefe innerhalb eines kurzen Tiefenintervalls in den Zugbereich übergehen. Die Tiefe des 1. Nulldurchgangs der Eigenspannungen entspricht in sehr guter Näherung dem Oberflächenabstand bei 50 % Martensit. Dies wurde für thermisch dominierte Prozesse wie Laserhärten, Schleifhärten und Induktionshärten in Kombination mit unterschiedlichen Ausgangsgefügen (Ferrit + Perlit, vergütet auf 30 HRC bzw. 47 HRC) festgestellt. Bild 4b zeigt einen Vergleich der Tiefe des ersten Nulldurchgangs mit der Tiefe von 50 % Martensit aus Simulationen mit unterschiedlichen Bearbeitungsparametern, was diese Aussage eindrucksvoll unterstützt.

Die Oberflächeneigenspannung und die Tiefe des ersten Nulldurchgangs wurden als zwei mögliche Komponenten der Prozesssignatur ausgewählt. Die Bilder 5a und 5b zeigen die Veränderungen dieser beiden Größen in Abhängigkeit von charakteristischen Beanspruchungsgrößen bei variierendem Vorschub und „Control Value of Current“ (CVC). Wesentlich für diese Darstellungen sind die charakteristischen Beschreibungen der inneren Beanspruchungen. Für die Eigenspannungen ist es naheliegend, eine Größe zu verwenden, die das Ausmaß der thermischen Dehnungen beschreibt. Daher wurde der maximale Temperaturgradient, der während eines Härtezyklus auftritt, als beschreibende Belastung gewählt. Das Ergebnis ist eine Gerade, die eine gute Beschreibung liefert, bis (gradθ)_max einen Wert von 149 K/ mm erreicht. Bei größeren Gradienten steigen die Druckeigenspannungen leicht in Zugrichtung an. Die maximale Druckeigenspannung, die unter den gegebenen Bedingungen erreicht werden kann, beträgt 795 MPa (Bild 5a). Hinsichtlich der Tiefe des ersten Nulldurchgangs Z₁ (Bild 5b) wurden in der Vergangenheit verschiedene Ansätze analysiert [2, 9]. Dabei wurde der Anwendungsbereich im Hinblick auf die Prozesse und das Ausgangsgefüge erweitert. Die Größe hat sich zur Beanspruchungsbeschreibung für die Verfahren Induktionshärten, Schleifhärten und Laserhärten bewährt, die jeweils sehr gute Prozesssignaturen liefern, auch wenn das ursprüngliche Gefüge durch unterschiedliche Wärmebehandlungen variiert wird [2]. Diese Belastungsbeschreibung berücksichtigt die maximale Temperatur Θ_max, die während eines Härtezyklus auftritt. Der Term mit den Umwandlungstemperaturen A_c1 und A_c3 entspricht der mittleren Umwandlungstemperatur. Diese Temperatur kann ungefähr der Bildung von 50 % Austenit und damit 50 % Martensit nach dem Abschrecken zugeschrieben werden. Wie bereits erwähnt, tritt dieser Wert auch in der Tiefe Z₁ auf. Der Quotient aus der Temperaturdifferenz und Z₁ entspricht dem mittleren Gradienten auf der Strecke zwischen dem Ort des Temperaturmaximums und dem Ort mit 50 % Martensit und kann als Maß für den Wärmefluss in das Innere des Bauteils angesehen werden. Ferner taucht die Quadratwurzel der Erwärmdauer t_C in diesem Ausdruck auf. Diese Größe ist typisch für Diffusions- und Wärmeleitungsprozesse. Somit sind Parameter, die zu den Mechanismen der Wärmeleitung und der Phasenumwandlung gehören, an dieser Beanspruchungsbeschreibung beteiligt.

Beide Prozesssignaturkomponenten können durch einfache lineare Ansätze beschrieben werden:

a₀, a₁, a₂, a₃, b₀, b₁ sind Fit-Parameter. Beide Gleichungen können leicht invertiert werden.

4 Lösung des inversen Problems

Nachdem die Prozesssignatur nun vorliegt, muss die Frage beantwortet werden, wie sie in der Praxis angewendet werden kann. Wie in Bild 1 dargestellt, sind für jeden der beiden Zielparameter zwei weitere Korrelationen erforderlich, um die mathematischen Zusammenhänge zwischen den Bearbeitungsparametern und den gewünschten Werkstoffmodifikationen herstellen zu können. Im Einzelnen müssen zunächst die Korrelationen zwischen Bearbeitungsparametern und Prozessgrößen (Korrelation 1) sowie zwischen Prozessgrößen und inneren Werkstoffbeanspruchungen (Korrelation 2) ermittelt werden. Im Folgenden werden die relevanten Bearbeitungsparameter und Prozessgrößen vorgestellt (4.1). Im weiteren Verlauf werden die Ermittlung der Korrelationen und die Ableitung der Zusammenhänge zwischen den Prozessparametern und den Werkstoffveränderungen für die Oberflächeneigenspannungen (4.2) und die Tiefe des ersten Nulldurchgangs und die Tiefe von 50 % Martensit (4.3) beschrieben.

5 Experimentelle Verifizierung

Für die experimentelle Überprüfung wird ein Satz von drei verschiedenen Induktionsprozessen ausgewählt. Die zugehörigen Prozesse sollten den Bereich beider Teile von Gleichung (8) abdecken und zu signifikant unterschiedlichen Tiefen von Nulldurchgängen führen. Tabelle 2 zeigt die gewählten Parameter für das Induktionshärten mit einer mittleren Frequenz von etwa 11 kHz. Für diese Versuche wurden Proben aus 42CrMo4 hergestellt, die vorab auf 47 HRC vergütet wurden.

Die Eigenspannungen an der Oberfläche wurden röntgenographisch bestimmt. Für die Bestimmung der Tiefe des ersten Nulldurchgangs der Eigenspannungen wurde die Gleichheit dieser Größe mit der Tiefe von 50 % Martensit verwendet. Es wurde ferner angenommen, dass letztere Größe in guter Näherung der Härtetiefe entspricht.

Die Ergebnisse dieser Messungen werden in Bild 9 mit den Zielwerten verglichen. In allen Fällen sind die gemessenen Eigenspannungen systematisch niedriger als die gewünschten Werte. Die gemessenen Tiefen des 1. Nulldurchgangs zeigen keine systematischen Abweichungen von den Sollwerten. Für den 3. Versuch sollte sich jedoch ein um 0,4 mm kleinerer Wert ergeben.

6 Diskussion

Die Übereinstimmung zwischen geforderten und gemessenen Werkstoffmodifikationen ist nicht ganz exakt. Die Gründe für die Abweichungen bezüglich der Eigenspannungen an der Oberfläche und der Tiefe des 1. Nulldurchgangs von Druck- zu Zugspannung können unterschiedliche Ursachen haben. Die Abweichungen bei den Oberflächeneigenspannungen (vgl. Bild 9a) deuten auf einige Modellprobleme hin. Schwenk diskutierte diese Probleme ebenfalls [11]. Er fand systematische Abweichungen von etwa 200 MPa zwischen gemessenen und berechneten Werten: Die gemessenen Druckeigenspannungen sind systematisch niedriger (Bild 10). Die vorliegende Arbeit bestätigt diese Beobachtung. Darüber hinaus wurden systematische Untersuchungen zu anderen möglichen Ursachen durchgeführt [12]. Dabei konnten Faktoren wie ungeeignete Materialparameter, ein falsches Verfestigungsmodell oder ein nicht vernachlässigbarer Anfangseigenspannungszustand als mögliche Gründe für dieses Ergebnis ausgeschlossen werden. Ein anderer Aspekt, die Spannungsrelaxation aufgrund von Selbstanlassprozessen, könnte jedoch ein wichtiger Faktor sein. Erste Berechnungen haben gezeigt, dass während einer kurzen Erwärmungszeit eine erhebliche Spannungsrelaxation auftreten kann, was zu niedrigeren Eigenspannungswerten an der Oberfläche führt, als durch vereinfachte elastoplastische Simulationen vorhergesagt wird. Darüber hinaus haben Kaiser et al. 2017 und 2018 Arbeiten veröffentlicht, die den Spannungsabbau während des Anlassens mit Ansätzen beschreiben, die den Modellen für Umwandlungsplastizität ähneln [13, 14]. Für zukünftige Arbeiten sollten diese Modelle in die Simulations-software aufgenommen werden. Erste eigene Finite-Elemente-Simulationen mit den Anlassmodellen von Kaiser mit AISI 4140 (42CrMo4) zeigen ermutigende Ergebnisse.

Betrachtet man die Tiefe des 1. Nulldurchgangs des Eigenspannungsprofils, so zeigt nur der Versuch mit der kürzesten Erwärmungszeit eine größere Abweichung zwischen Sollwert und Messung. Zunächst ist anzumerken, dass dieser Effekt auch bei den Untersuchungen von Schwenk auftrat (Bild 10). Es könnte sich also auch um ein Modellierungsproblem handeln. Zudem sehen die Autoren keinen Grund, warum dieses Ergebnis nicht auch auf die Vernachlässigung von Selbstanlasseffekten zurückzuführen sein könnte. Die Korrelation zwischen der Energieerzeugung und der Energieverteilung birgt jedoch noch einige weitere Probleme hinsichtlich der Tiefe des 1. Nulldurchgangs. Bild 11a zeigt einige Ergebnisse für die Reproduzierbarkeit des verwendeten Induktionshärtesystems mit gleichen Proben und gleichen Werten von CVC. Die Messungen ergeben Abweichungen für die gemessene Leistung der Eingangsspule von etwa 7 kW, die etwa +/- 7 % des Mittelwerts betragen. In Bild 11b sind die Ergebnisse von Temperaturmessungen mit Thermoelementen 1 mm unterhalb der beheizten Oberfläche dargestellt. Die Differenzen der Maximaltemperatur bei gleichen Parametersätzen betragen etwa 25 K. Nach Gleichung (3) ergibt eine solche Abweichung etwa 0,2 mm Abweichung für den ersten Nulldurchgang bei einem CVC von 40 %. Weitere Fehler ergeben sich aus den in Bild 7a und b sowie in Bild 8a und b dargestellten Korrelationen, da diese Vereinfachungen darstellen und selbst einige Fehler enthalten.

Aber insgesamt ist die Vorhersagequalität der Korrelationen in den Bildern 7 und 8 akzeptabel. Die Übertragung auf andere Induktionssysteme und andere Werkstückgeometrien beinhaltet sehr wahrscheinlich noch viel Arbeit. Nichtsdestotrotz bietet die Methode der Prozesssignaturen mit ihren internen Werkstoffbeanspruchungen (hier Temperatur und Temperaturgradienten) eine nützliche Methode, um schneller zu guten Parametersätzen für Induktionshärteprozesse zu gelangen als mit der Trial-and-Error-Methode.

7 Schlussfolgerungen

• Prozesssignaturen stellen Zusammenhänge zwischen Werkstoffmodifikationen (z. B. Änderungen der Eigenspannung, des Gefüges, des Härteverlaufs, etc.) und charakteristischen Werten der Werkstoffbeanspruchungen dar.

• Durch das Konzept der Prozesssignaturen ist es möglich, auf der Grundlage konkreter Vorgaben für die Werkstoffmodifikationen die erforderlichen inneren Werkstoffbeanspruchungen rückwärts zu berechnen.

• Diese Rückwärtsbetrachtung kann für einen einfachen Induktionshärtungsprozess recht einfach durchgeführt werden.

• Die Werkstoffbeanspruchungen eines solchen Prozesses sind rein thermisch.

• Für die Oberflächeneigenspannungen kann der maximale Temperaturgradient als geeignete charakteristische Beschreibung der inneren Beanspruchungen herangezogen werden, da diese Größe das Ausmaß der thermischen Beanspruchungen beschreibt.

• Für die Tiefe des 1. Nulldurchgangs des Eigenspannungsprofils muss eine komplexere charakteristische Beschreibung der inneren Lasten verwendet werden. Sie enthält Parameter, die zur Wärmeleitung und Austenitbildung gehören.

• Durch zusätzliche Korrelationen zwischen Werkstoffbeanspruchungen und Prozessgrößen sowie zwischen Prozessgrößen und Bearbeitungsparametern können auch die notwendigen Bearbeitungsparameter, die zu gegebenen Werkstoffmodifikationen führen, ermittelt werden.

• Die Qualität der Vorhersage der Prozessparameter ist nicht perfekt, aber akzeptabel. Sie kann wahrscheinlich durch die Berücksichtigung von Selbstanlasseffekten noch verbessert werden.