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Dynamique analytique sur 𝐙. II : Écart uniforme entre Lattùs et conjecture de Bogomolov-Fu-Tschinkel

  • JĂ©rĂŽme Poineau ORCID logo EMAIL logo
Veröffentlicht/Copyright: 23. Mai 2025

Résumé

Nous montrons que l’énergie mutuelle (ou le produit d’intersection au sens de la thĂ©orie d’Arakelov) de deux systĂšmes dynamiques associĂ©s Ă  des morphismes de LattĂšs sur Q ̄ est uniformĂ©ment minorĂ©e et en dĂ©duisons une preuve d’une conjecture de Bogomolov-Fu-Tschinkel : le nombre d’images communes de points de torsion de deux courbes elliptiques sur 𝐂 non isomorphes par un morphisme standard vers la droite projective est uniformĂ©ment bornĂ©. La dĂ©monstration repose de façon essentielle sur la thĂ©orie des espaces de Berkovich sur 𝐙 et sur un argument original permettant d’obtenir une estimation globale Ă  partir d’une estimation centrale (au-dessus d’un corps trivialement valuĂ©).

Abstract

We prove that the mutual energy (or the intersection product in the sense of Arakelov theory) of two dynamical systems associated to LattĂšs morphisms over Q ̄ is uniformly bounded below and deduce a proof of a conjecture of Bogomolov–Fu–Tschinkel: the number of common images of torsion points of two non-isomorphic elliptic curves over 𝐂 by a standard morphism to the projective line is uniformly bounded. The proof crucially relies on the theory of Berkovich spaces over 𝐙 and on an original argument allowing to obtain a global estimate from a central estimate (over a trivially valued field).

Remerciements

L’auteur remercie chaleureusement Velibor Bojković pour de nombreux Ă©changes fructueux, qui ont notamment permis de dĂ©tecter une erreur majeure dans une version prĂ©liminaire de ce texte. Il remercie Ă©galement Marco Maculan pour sa relecture minutieuse et ses remarques avisĂ©es, ainsi que Thomas Gauthier pour lui avoir transmis une version prĂ©liminaire de [13]. Merci Ă©galement au rapporteur ou Ă  la rapporteuse pour ses commentaires pertinents.

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Received: 2024-04-09
Revised: 2025-02-08
Published Online: 2025-05-23
Published in Print: 2025-07-01

© 2025 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Boston

Heruntergeladen am 21.10.2025 von https://www.degruyterbrill.com/document/doi/10.1515/crelle-2025-0019/html
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