Les formules des traces relatives de Jacquet–Rallis grossières

Lemme A.1.

Soit P∈F⁢(P0) et soit ϖ∈Δ^0∖Δ^P. Alors:

1. Pour tout α∨∈ΔP∨ on a ϖ⁢(α∨)≥0.

2. Pour tout ϖ∨∈(Δ^0P)∨ on a ϖ⁢(ϖ∨)≥0.

3. Soit ϖ∨∈Δ^0∨ un élément correspondant à ϖ et soit ϖ¯∨∈(Δ^0P)∨ sa projection sur 𝔞0P. Alors ϖ⁢(ϖ¯∨)>0.

Proof.

Le lemme 1.7.1 de [14] montre que τ^0≥τ0P⁢τ^P. Il est facile de voir que cela entraîne les points a et b. En ce qui concerne le point c, on a la forme de Killing 〈⋅,⋅〉 sur 𝔞0G qui est bilinéaire, symétrique, non-dégénérée et euclidienne. Elle identifie alors (𝔞0G)* avec 𝔞0G. Par cette identification ϖ correspond à un multiple positif de ϖ∨. En plus, les espaces 𝔞0P et 𝔞PG sont orthogonaux pour la forme 〈⋅,⋅〉 ce qui démontre le dernier point. ∎

Lemme A.2.

Soient P,Q,P′,Q′∈F⁢(P0), M,M′≥0, H,X∈aPG, H′,X′∈aP′G et s,s′∈ΩQ∩Q′ tels que P∪P′⊆Q∩Q′, τPQ⁢(H-X)=1, τP′Q′⁢(H′-X′)=1 et

Alors, il existe une constante C>0 indépendante des H,H′,X,X′,M,M′ telle que

Proof.

Puisque l’énoncé est symétrique il suffit de montrer les inégalités (A.3). Soit γ∈Δ0Q∖Δ0P et soit ϖ∈Δ0Q∖Δ0P le poids lui correspondant. Écrivons ϖ dans la base (Δ^P′∖{ϖ})∪Δ0P′∪{γ} de (𝔞0G)*:

En vertu du lemme A.1 on a cϖ,cα≥0 et cγ>0. Notons ϖ0=∑α∈Δ0P′∪{γ}cα⁢α.

Pour tout ϖ∈Δ^P′∖{ϖ} on multiplie l’équation (A.2) par cϖ et ensuite on ajoute toutes ces équations à l’équation (A.1) avec ϖ=ϖ. On retrouve alors:

où

Soit ϖ∈Δ^P′∖{ϖ}. Puisque Q⊇Q∩Q′ on a ϖs⁢(H)=∑α∈ΔPQaα,ϖs⁢α⁢(H) par la propriété (P2) ci-dessus. On a

pour tout α∈ΔPQ par hypothèse τPQ⁢(H-X)=1. Grâce à la propriété (P1) on a

pour tout α∈ΔPQ. On voit donc qu’il existe une constante cϖ′>0 telle que

Par le même raisonnement, il existe une constante c0>0 telle que -ϖs′⁢(H′)≤c0⁢∥X′∥. On a démontré alors que l’inégalité (A.4) ci-dessus, entraîne

pour une constante C0>0.

La condition P∪P′⊆Q∩Q′ est équivalente à Δ0P∪Δ0P′⊆Δ0Q∩Δ0Q′ ce qui démontre que Δ0P′⊆Δ0Q. En utilisant l’hypothèse τPQ⁢(H-X)=1 de nouveau et le fait que α⁢(H)=0 pour tout α∈Δ0P, on trouve

pour une constante C0′>0. En utilisant ceci, l’inégalité (A.5) et les faits que

et cγ>0 on conclut la preuve. ∎

Corollaire A.3.

Soient P,Q,Q′∈F⁢(P0), P′∈F⁢(M0), M,M′≥0, H,X∈aPG, H′,X′∈aP′G et s,s′∈ΩQ∩Q′ tels que P∪P′⊆Q∩Q′, τPQ⁢(H-X)=1, τP′Q′⁢(H′-X′)=1 et

Alors, il existe une constante C>0 indépendante des H,H′,X,X′,M,M′ telle que si l’on note P1 le plus petit sous-groupe parabolique contenant P et P′ et s0∈ΩP1 tel que

on a

Proof.

Soit s0 comme dans l’énoncé. Notons P′′=s0-1⁢P′. On a alors, que les inégalités (A.6) et (A.7) s’écrivent comme

Remarquons que s0⁢Q′=Q′. On a donc bien P∪P′′⊆Q∩Q′ et s0-1⁢s′,s⁢s0∈ΩQ∩Q′. En plus on a τP′′Q′⁢(s0-1⁢H′-s0-1⁢X′)=1. En appliquant alors le lemme A.2 on trouve le résultat voulu. ∎

Lemme A.4.

Soient P1,P3,P4,P5,P6∈F⁢(P0), P2∈F⁢(M0), M1,M2,M3,M4≥0, H1,X1∈a1G, H2,X2∈a2G, H3,X3∈a3G, s1,s2,s1′,s2′∈ΩP4∩P5∩P6. Soit Q1 le plus petit sous-groupe parabolique contenant P1∪P2∪P3. Supposons qu’on a

et que

Alors, il existe une constante C>0 indépendante des éléments H1, H2, H3, X1, X2, X3, M1, M2, M3, M4 telle que

Proof.

Dans la preuve on ne prendra pas garde de constantes qui apparaissent. Il est clair que pour obtenir une constante C uniforme il suffit de prendre le maximum de toutes les constantes en question.

Remarquons que si l’on démontre

pour tout α∈Δ14 on a aussi l’inégalité (A.14) pour H1. En effet, par définition de σ14 (voir (1.18) dans le paragraphe 1.8) on a α⁢(H1)≥α⁢(X1) pour tout α∈Δ14. Puisque Δ14 est une base de 𝔞14 on a que la projection de H à 𝔞14 vérifie (A.14) et on obtient le résultat pour H1 en invoquant le lemme 1.7 (ii).

Supposons maintenant qu’on a démontré l’inégalité dans la proposition pour H1 seulement. On veut en déduire la même inégalité pour H2. En remarquant qu’on a l’inégalité des fonctions caractéristiques τPQ≥σPQ, on applique le corollaire A.3 avec P=P1, Q=P4, P′=P2 et Q′=P5 avec les inégalités (A.10) et (A.11) ci-dessus et on obtient une constante C′>0 telle que

pour tout α∈Δ25. D’après ce qu’on a dit ci-dessus cela implique l’inégalité (A.14) pour H2 si H1 la vérifie. De même façon, en passant directement par le lemme A.2, on montre que si H1 vérifie (A.14) alors H3 la vérifie aussi.

Fixons un γ∈Δ04∖Δ01. Il suffit donc de montrer que γ⁢(H1) vérifie l’inégalité (A.15). Soit s0∈ΩQ1 tel que s0-1⁢P2∈ℱ⁢(P0). Posons

On a donc

En utilisant le corollaire A.3 avec P=P1, Q=P4, P′=P2 et Q′=P5 avec les inégalités (A.10) et (A.11) ainsi que le lemme A.2 avec P=P1, Q=P4, P′=P3 et Q′=P6 avec les inégalités (A.12) et (A.13) on trouve une constante C′>0 telle que

Soit ϖ∈Δ^1∖Δ^4 le poids correspondant à γ∈Δ04∖Δ01 qu’on a choisi. Alors:

1. Si ϖ∈𝒮1, on a γ∈Δ0∖Δ06 et donc γ⁢(H3)≤γ⁢(X3)≤C′′⁢∥X3∥ par définition de σ36 et le résultat suit de l’inégalité (A.17).

2. Si ϖ∈𝒮2 on a γ∈Δ03 et donc γ⁢(H3)=0 et le résultat suit aussi de (A.17).

3. Si ϖ∈𝒮3 on a γ⁢(s0-1⁢H2)=s0⁢γ⁢(H2) et s0⁢γ∈Δs0⁢P0∖Δs0⁢P0s0⁢P5. Mais s0⁢P5=P5 car s0∈ΩQ1⊆ΩP5. Le résultat suit donc de l’inégalité (A.16) et de la définition de la fonction σ25.

4. Si ϖ∈𝒮4 on a s0⁢γ∈Δs0⁢P0P2 donc γ⁢(s0-1⁢H2)=0 et le résultat suit de (A.16) de nouveau.

5. Supposons que ϖ∈𝒮5. On a alors γ∈(Δ04∩Δ05∩Δ06)∖(Δ01∪Δ0Q1∪Δ03). En plus, ϖ∉Δ^4∪Δ^5∪Δ^6=Δ^Q2 et ϖ∈Δ^Q1. En vertu de la condition (A.8) on a donc que soit ϖ∉Δ^s1′ soit ϖ∉Δ^s2′.

   1. Supposons ϖ∉Δ^s2′. Ajoutons les inégalités (A.12) et (A.13) avec ϖ=ϖ, ce qu’on peut faire car ϖ∈(Δ^1∖Δ^4)∩(Δ^3∖Δ^6)⊆Δ^1∩Δ^3. On obtient donc:

      ϖs2⁢(H1)+ϖs2′⁢(H3)≤M3+M4.

      D’après les propriétés P1) et P2) ci-dessus, on a

      ϖs2⁢(H1)=∑α∈Δ04∖Δ01aα⁢α⁢(H1) et ϖs2′⁢(H3)=∑α∈Δ06∖Δ03aα′⁢α⁢(H3)

      où aα,aα′≥0 et aγ′>0. En utilisant la définition des fonctions σ14 et σ36, pour tout α∈Δ04∖Δ01 on a α⁢(H1)≥α⁢(X1) et pour tout α∈Δ06∖Δ03 on a α⁢(H3)≥α⁢(X3). On trouve donc une constante C′>0 telle que aγ′⁢γ⁢(H3)-ϖs2′⁢(H3)≤C′⁢∥X3∥ et -ϖs2⁢(H1)≤C′⁢∥X1∥. D’où

      γ⁢(H3)≤1aγ′⁢(C′⁢∥X1∥+C′⁢∥X3∥+M3+M4).

      En utilisant alors l’inégalité (A.17) on obtient le résultat voulu.

   2. Supposons ϖ∉Δ^s1′. On a alors ϖ∈𝒮5⊆Δ^Q1 et s0∈ΩQ1 donc s0⁢ϖ=ϖ. Donc ϖ∈Δ^1∩Δ^2. On ajoute alors les inégalités (A.10) et (A.11) avec ϖ=ϖ ce qui donne

      ϖs1′⁢(H1)+ϖs1⁢(H2)≤M1+M2.

      Puisque s1∈ΩQ1⊆ΩP5, on a

      ϖs1⁢(H2)=∑α∈Δ25aα⁢α⁢(H2)

      où aα≥0 en vertu de la propriété P2) ci-dessus. En utilisant donc la définition de la fonction σ25 on trouve une constante C′>0 telle que -ϖs1⁢(H2)≤C′⁢∥X2∥. Donc, puisque ϖs1′≠0, on a

      ϖs1′⁢(H1)=∑α∈Δ04∖Δ01aα⁢α⁢(H1)

      où aα≥0 pour tout α∈Δ04∖Δ01 et aγ>0. Par définition de la fonction σ14 on obtient alors:

      γ⁢(H1)≤c′′⁢(C′′⁢∥X1∥+C′⁢∥X2∥+M1+M2).

      pour certaines constantes c′′,C′′>0.

6. Supposons que ϖ∈𝒮6. On a s0⁢ϖ∈Δ^2. Ajoutons donc l’inégalité (A.10) avec ϖ=ϖ et (A.11) avec ϖ=s0⁢ϖ. On trouve:

   ϖs1′⁢s0⁢(H1)+(s0⁢ϖ)s1⁢s0-1⁢(H2)≤M1+M2.

   On a

   Δ^Q1=Δ^1∩Δ^3∩Δ^s0-1⁢P2∩Δ^s0.

   Puisque ϖ∉Δ^Q1 et ϖ∈Δ^1∩Δ^3∩Δ^s0-1⁢P2, on a bien s0⁢ϖ≠ϖ. Puisque différents éléments de Δ^0 ne sont pas conjugués sous ΩG on obtient s0⁢ϖ∈Δ^2∖Δ^0. En vertu de la condition (A.9) on alors ϖs1′⁢s0≠0 et on conclut en raisonnant de même façon que dans le deuxième sous-point du point précédent.∎

Corollaire A.5.

Soient P1,P2,P3,P4∈F⁢(P0) et M1,M2≥0. Soient H1,X1∈a1G, H2,X2∈a2G et s,s′∈ΩP3∩P4. Soit Q1 le plus petit sous-groupe parabolique contenant P1∪P2. Supposons qu’on a Q1⊆P3∩P4=:Q2 et que

Alors, il existe une constante C>0 indépendante des éléments H1, H2, X1, X2, M1, M2 telle que

Proof.

Il s’agit de se ramener au lemme A.4 ci-dessus. On l’utilise alors avec les données suivantes. Pour les groupes P1, P2, P3, P4, P5 et P6 du lemme on prend P1, P2, P2, P3, P4 et P4 dans cet ordre. Pour les éléments H1, H2 et H3 on prend H1, H2 et H2 respectivement. Pour X1, X2 et X3 on prend X1, X2 et X2 respectivement. Pour les éléments du groupe de Weyl on prend s1=s, s1′=s′, s2=s′ et s2′=s. Il est clair que la condition (A.18) ci-dessus donne la condition (A.8) du lemme. Les inégalités du lemme A.4 correspondent aux inégalités suivantes: (A.10) ↔ (A.19),  (A.11) ↔ (A.20),  (A.12) ↔ (A.19),  (A.13) ↔ (A.20). Les inégalités déterminent les constantes M1, M2, M3 et M4. Finalement, la condition (A.9) est trivialement vérifiée car P2∈ℱ⁢(P0). ∎