Über die algebraische Stabilitätsanalyse parametrischer polynomialer Systeme mittels LaSalles Invarianzprinzip
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Daniel Gerbet
Daniel Gerbet ist wissenschaftlicher Mitarbeiter am Institut für Regelungs- und Steuerungstheorie an der Fakultät Elektrotechnik und Informationstechnik der Technischen Universität Dresden. Er beschäftigt sich mit dem Reglerentwurf durch Methoden aus der algebraischen Geometrie und der Quantorenelimination.
and
Klaus Röbenack
Prof. Klaus Röbenack ist Direktor des Instituts für Regelungs- und Steuerungstheorie an der Fakultät Elektrotechnik und Informationstechnik der Technischen Universität Dresden. Seine Arbeitsgebiete umfassen den Entwurf nichtlinearer Regler und Beobachter sowie das wissenschaftliche Rechnen.
Zusammenfassung
Für lineare Systeme existiert eine Vielzahl von Stabilitätskriterien, mit denen ohne großen Aufwand die Stabilität überprüft werden kann. Der Stabilitätsbeweis gestaltet sich für nichtlineare Systeme dagegen deutlich schwieriger. Ein sehr leistungsfähiger Ansatz steht mit Lyapunovs zweiter Methode zur Verfügung, der von LaSalle verallgemeinert wurde, und nun als das Invarianzprinzip bekannt ist. Durch eine leichte Abschwächung der Aussage des Invarianzprinzips kann das Kriterium für eine geeignete Systemklasse mittels Methoden der algebraischen Geometrie überprüft und somit automatisiert werden. Dies erlaubt auch die Verwendung von Parametern im Ansatz der Lyapunov-Funktion oder des Systems, um beispielsweise einen Regler oder Beobachter zu parametrieren. In diesem Aufsatz werden die Methoden diskutiert und auf einige Beispiele angewandt.
Abstract
There is a variety of criteria for determining the stability of linear systems. For nonlinear systems, however, to prove stability is much more complicated. Stability of such nonlinear systems can be proven using Lyapunov’s second method. This criterion has been generalized by LaSalle now known as the invariance principle. With a small variation this criterion can be applied to polynomial systems using methods from algebraic geometry. This allows the automatisation of the proof. Furthermore, parameters can be introduced in the system or the Lyapunov method in order to parametrize a controller or an observer. This article discusses those methods and applies them on some example systems.
Funding source: Deutsche Forschungsgemeinschaft
Award Identifier / Grant number: RO 2427/5-1
Funding statement: Diese Forschungsarbeit wurde von der Deutschen Forschungsgemeinschaft (DFG) unter dem Geschäftszeichen RO 2427/5-1 unterstützt.
Über die Autoren
Daniel Gerbet ist wissenschaftlicher Mitarbeiter am Institut für Regelungs- und Steuerungstheorie an der Fakultät Elektrotechnik und Informationstechnik der Technischen Universität Dresden. Er beschäftigt sich mit dem Reglerentwurf durch Methoden aus der algebraischen Geometrie und der Quantorenelimination.
Prof. Klaus Röbenack ist Direktor des Instituts für Regelungs- und Steuerungstheorie an der Fakultät Elektrotechnik und Informationstechnik der Technischen Universität Dresden. Seine Arbeitsgebiete umfassen den Entwurf nichtlinearer Regler und Beobachter sowie das wissenschaftliche Rechnen.
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