Vernetzte Abstandsregelung von Fahrzeugkolonnen

1.1 Fahrzeugkolonnen als Multiagentensysteme

Die Abstandsregelung von Fahrzeugkolonnen wird seit vielen Jahren aus zwei Gründen intensiv untersucht. Einerseits bietet sie ein interessantes Anwendungsfeld für die methodische Forschung, wie die frühen Arbeiten [8], [16] zur optimalen Zustandsrückführung oder [1], [9] zur dezentralen Regelung zeigen. In den letzten Jahren sind neue Ergebnisse aus der Theorie der Multiagentensysteme hinzugekommen [14]. Betrachtet man die Abstandsregelung von Fahrzeugen als ein Synchronisationsproblem, so wird offensichtlich, dass die Beschränkung der Theorie auf asymptotische Synchronisation für die Anwendung nicht ausreicht, weil für die Garantie der Kollisionsfreiheit zusätzliche Güteforderungen an das Übergangsverhalten zu erfüllen sind.

Andererseits ist die Abstandsregelung mit oder ohne Kommunikation zu den benachbarten Fahrzeugen ein wichtiges Anwendungsgebiet, mit dem sich die Fahrzeugindustrie und angeschlossene Entwicklungsabteilungen nicht nur theoretisch [15], [20], sondern auch experimentell [17], [19], [22] beschäftigen.

Dieser Übersichtsbeitrag fasst die in den letzten Jahren erarbeiteten methodischen Grundlagen zusammen und zeigt, wie die Struktur der Regelung und die Entwurfskriterien systematisch aus den Forderungen an das Verhalten der Fahrzeugkolonne abgeleitet werden können. Dabei werden Verbindungen zwischen den bisher in Einzelveröffentlichungen beschriebenen Ergebnissen hergestellt, aber für die Beweise der Hauptergebnisse auf die Originalquellen verwiesen.

Die theoretische und die anwendungsorientierte Herangehensweise unterscheiden sich grundlegend, auch wenn sie in ihren wichtigsten Ergebnissen übereinstimmen. Die praktisch orientierten Arbeiten beginnen mit Annahmen über die Fahrzeugmodelle und leiten daraus mögliche Reglerstrukturen und Entwurfsvorgehen ab. Ihre Ergebnisse sind damit unter den Modellannahmen unmittelbar praktisch einsetzbar, aber man darf keine übergreifenden, strukturellen Aussagen darüber erwarten, wie Abstandsregelungen im Allgemeinen aufgebaut werden sollen und welche Eigenschaften der geregelten Fahrzeuge dabei wichtig sind.

Der in den letzten Jahren entwickelte Multiagentenansatz andererseits fasst die Fahrzeugkolonne als ein vernetztes Regelungssystem auf, das bestimmte Güteforderungen erfüllen soll, und leitet daraus die gewünschten Fahrzeugeigenschaften und die für die Einhaltung der Güteforderungen notwendigen Kopplungsstrukturen ab. Dieser in der englischsprachigen Literatur als network thinking [14] bezeichnete Weg wird in dieser Übersichtsarbeit herausgestellt. Im Unterschied zu den anwendungsorientierten Arbeiten führt er auf einen direkten Zusammenhang zwischen den Eigenschaften der Einzelfahrzeuge und der kollektiven Dynamik der Fahrzeuge in der Kolonne und zeigt somit, unter welchen Bedingungen die betrachteten Güteforderungen eingehalten werden können. Wie dies dann unter Berücksichtigung der praktischen Randbedingungen für das jeweilige Fahrzeug realisiert wird, bleibt zunächst offen und zeigt den Gestaltungsspielraum für die Fahrzeugregelung, der in diesem Beitrag mit drei Reglerstrukturen umrissen wird.

Abb. 1

Fahrzeugkolonne mit dezentraler Abstandsregelung.

Die Entwurfsfreiheiten werden maßgebend durch die Kommunikationsstruktur der Regelung bestimmt, wobei die im ersten Teil dieses Beitrags behandelte dezentrale Abstandsregelung dem gegenwärtigen Stand der Technik entspricht, während die im zweiten Teil dargestellte vernetzte Regelung mit der Einführung einer Fahrzeug-zu-Fahrzeug-Kommunikation in den nächsten Jahren möglich wird. Entsprechend Bild 1 müssen sich die Fahrzeugregler Ci, (i=0,1,...,N) gegenwärtig auf Informationen beschränken, die lokal am Fahrzeug Pi gemessen werden können, wobei die im Bild eingetragene Kopplung der Fahrzeuge über die Geschwindigkeiten vi(t) aus physikalischen Gründen auftritt. Die Fahrzeuge zusammen mit ihren lokalen Reglern sind mit V¯i bezeichnet und beim Führungsfahrzeug beginnend durchnummeriert. si(t) stellt die Fahrzeugposition und di(t) den Abstand des i–ten vom (i−1)–ten Fahrzeug dar. Aus Sicht des Gesamtsystems arbeiten die Regler dezentral und sie werden in der Literatur als adaptive cruise controllers (ACC) bezeichnet. Das Attribut „adaptiv“ bezieht sich hier entgegen der üblichen Nomenklatur auf die Anpassung der Abstandssollwerte an die Fahrzeuggeschwindigkeit entsprechend der später eingeführten Güteforderung (R3) und nicht auf eine Veränderung der Reglerparameter.

Da in den nächsten Jahren mit der Einführung funkbasierter Kommunikationsnetze zwischen den Fahrzeugen gerechnet wird, wird in der Literatur seit einiger Zeit intensiv über Erweiterungen der bisherigen dezentralen Regler zu vernetzten Reglern nachgedacht, die als cooperative adaptive cruise controllers (CACC) bezeichnet werden (Bild 2). Die Kooperation wird möglich durch die Übertragung wichtiger Informationen zwischen direkt oder indirekt benachbarten Fahrzeugen, wobei der Informationsübertragung von vorausfahrenden auf nachfolgende Fahrzeuge besondere Bedeutung zukommt. Mit Hilfe der zusätzlichen Informationen soll eine vorausschauende Fahrweise realisiert werden, durch die Kollisionen garantiert vermieden werden.

Abb. 2

Fahrzeugkolonne mit kooperativer Abstandsregelung.

Aus methodischer wie aus anwendungsorientierter Sicht ergeben sich aus diesem Vergleich mehrere wichtige Fragen:

1. Welche Eigenschaften müssen die geregelten Fahrzeuge haben, damit die Fahrzeugkolonne mit der verwendeten Kopplungsstruktur die Güteforderungen einhält?

2. Unter welchen Bedingungen braucht man die Fahrzeug-zu-Fahrzeug-Kommunikation?

3. Wenn ein Kommunikationsnetzwerk zur Verfügung steht, zwischen welchen Fahrzeugen sollen Verbindungen aufgebaut werden und was soll darüber übertragen werden?

1.2 Güteforderungen

Die Regelungsaufgabe ist für ACC und CACC dieselbe: Gesucht sind lokale Regler Ci und gegebenenfalls ein Kommunikationsnetz Aˆ, so dass die Geschwindigkeit vi(t) des eigenen Fahrzeugs der Geschwindigkeit der vorausfahrenden Fahrzeuge angepasst und der Fahrzeugabstand di(t)=si−1(t)−si(t) auf einen vorgegebenen Sollwert diref(t) gebracht wird. Das Führungsfahrzeug P0 gibt die Sollgeschwindigkeit v0(t) vor.

Die Güteforderungen für die hier betrachtete Regelung beziehen sich auf fünf Eigenschaften der Fahrzeuge in der Kolonne:

1. Asymptotische Stabilität: Bei der dezentralen Regelung und bei vernetzten Regelungen mit zyklenfreier Kommunikationsstruktur ist diese Forderung genau dann erfüllt, wenn alle lokalen Regelkreise stabil sind.

2. Asymptotische Sollwertfolge: Sämtliche Fahrzeuge sollen sich stationär mit derselben Geschwindigkeit v0 bewegen:

   (1)limt→∞|vi(t)−v0|=0,i=1,2,...,N.

3. Zeitabstand: Der mit der Geschwindigkeit vi(t) ansteigende Sollabstand

   (2)diref=αi+βivi(t)

   soll bei konstanter Geschwindigkeit v0 asymptotisch erreicht werden:

   (3)limt→∞|di(t)−diref(t)|=0,i=1,2,...,N.

   Dabei beschreibt βi den in Sekunden gemessenen Zeitabstand des i–ten vom (i−1)–ten Fahrzeug und αi den in Metern gemessenen Sicherheitsabstand in der stehenden Kolonne.

4. Einhalten eines Sicherheitsabstands: Bei beliebigem Geschwindigkeitsprofil v0(t)≥0 des Führungsfahrzeugs sollen die Fahrzeuge stets einen Mindestabstand einhalten:

   (4)di(t)≥αi,t≥0,i=1,2,...,N.

5. Kontinuierliche Progression: Die Fahrzeuge sollen sich mit nichtnegativer Geschwindigkeit bewegen:

   (5)vi(t)≥0,t≥0,i=0,1,...,N.

Alle nachfolgenden Untersuchungen gehen davon aus, dass die geregelten Fahrzeuge V¯i, (i=0,1,...,N) entsprechend (R1) asymptotisch stabil sind.

1.3 Vorgehensweise

Die Aufgabe, eine dezentrale oder vernetzte Abstandsregelung zu entwerfen, die die im Abschnitt 1.2 aufgeführten Güteforderungen erfüllt, ist aus zwei Gründen schwierig. Erstens betreffen die genannten Güteforderungen die Fahrzeugkolonne als Ganzes. Eine direkte Überprüfung der angeführten Bedingungen ist unmöglich, weil die Fahrzeugkolonnen in der Praxis beliebige Länge haben können und Fahrzeuge mit unterschiedlichen Eigenschaften in beliebiger Reihenfolge fahren können. Hier erweist sich der Ansatz, Fahrzeugkolonnen als Multiagentensysteme aufzufassen und die an das Gesamtsystem gestellten Güteforderungen schrittweise als Entwurfsforderungen für die Teilsysteme und als Bedingungen an die Kopplungsstruktur umzuformen, als ein effizienter Lösungsweg. Wenn die geregelten Fahrzeuge die im Abschnitt 3.4 angegebenen Eigenschaften besitzen, ist die Kollisionsfreiheit einer ansonsten beliebig zusammengesetzten Fahrzeugkolonne gesichert.

Die zweite Schwierigkeit der hier betrachteten Regelungsaufgabe entsteht aus den Ungleichungsforderungen (4) und (5) an das geregelte Gesamtsystem. Es ist generell problematisch, fest eingestellte Regler zu strukturieren und zu parametrieren, mit denen das Verhalten des Regelkreises Ungleichungen für ausgewählte Signale erfüllt und dies, wie in dem hier betrachteten Fall, für eine beliebige Eingangsgröße vref(t)≥0. Für die Lösung dieses Problems liegt der Schlüssel in der Wahl der Modellstruktur nach Bild 3, bei der nicht die Position der Fahrzeuge, sondern deren Geschwindigkeit als Koppelgröße verwendet wird. Wenn man für die Teilsysteme dieses Blockschaltbilds wie im Abschn. 3.3 fordert, dass sie für eine beliebige nichtnegative Koppeleingangsgröße mit einer nichtnegativen Koppelausgangsgröße reagieren, also extern positives Verhalten aufweisen, kann man die Einhaltung der beiden Ungleichungen beweisen. Die angegebene Kopplungsstruktur der Fahrzeugmodelle hat übrigens keine Konsequenzen auf die Signale, die eine vernetzte Regelung über das Kommunikationsnetz überträgt.

1.4 Literatur

Erste Arbeiten zur Abstandsregelung von Fahrzeugkolonnen in den 1960-iger Jahren führten auf zentrale Regler [8], [16], die zur damaligen Zeit aufgrund der fehlenden Kommunikationsmöglichkeiten nicht realisierbar waren und heute nicht eingesetzt werden, weil sie schwer an eine sich verändernde Zusammensetzung der Kolonne angepasst werden können. Die meisten späteren Untersuchungen bezogen sich deshalb auf dezentrale Regelungen, bei denen die lokalen Regler nur auf die am jeweiligen Fahrzeug messbaren Größen zugreifen [1], [9].

Um die Kollisionsfreiheit der Fahrzeugkolonne zu sichern, wurde in [28] der Begriff der Kolonnenstabilität eingeführt und in zahlreichen Arbeiten, darunter [2], [3], [23], [24], [27], untersucht. Die Kolonnenstabilität fordert, dass sich die Amplitude von sinusförmigen Geschwindigkeits- oder Abstandsänderungen entlang der Fahrzeugkolonne nicht vergrößert. Bereits in [2], [21] wurde aber an Simulationsstudien gezeigt, dass die Kolonnenstabilität nicht ausreicht, um die Kollisionsfreiheit entsprechend der Forderung (R4) zu sichern. Später wurde in [26] bewiesen, dass bei typischen Fahrzeugmodellen mit Doppelintegratordynamik die Forderung nach Kolonnenstabilität durch dezentrale Regler gar nicht eingehalten werden kann, wenn man einen konstanten Fahrzeugabstand vorschreibt. Diese und ähnliche Forderungen sind allerdings erfüllbar, wenn man Informationen von vorausfahrenden Fahrzeugen erhält, beispielsweise die Geschwindigkeit v0(t) des Führungsfahrzeugs [7], [26], oder wenn man die Struktur einer kooperativen Regelung beliebig vorgeben kann [6], [15], [19], [20]. In diesem Zusammenhang wurden auch vernetzte Regelungen betrachtet, bei denen die Kommunikationsrichtung in und entgegen der Fahrtrichtung verläuft [5].

Die insgesamt sehr umfangreiche Literatur zur Dynamik von Fahrzeugkolonnen und zum Entwurf von Abstandsregelungen weist darauf hin, dass Fahrzeugkolonnen trotz ihrer einfachen Aufbaus als Reihenschaltung einzelner Fahrzeuge eine komplexe Dynamik besitzen können. Hinzu kommen die im letzten Abschnitt erläuterten Entwurfsschwierigkeiten durch Ungleichungsbedingungen, die die Abstandsregelung zu einem über mehrere Jahrzehnte betrachteten Entwurfsproblem gemacht haben.

Abb. 3

Detailliertes Blockschaltbild einer Fahrzeugkolonne mit ACC.

3.1 Modell

Der nachfolgende Teil dieses Beitrags beschäftigt sich mit der dezentralen Abstandsregelung (ACC) und untersucht, welche Anforderungen an die geregelten Fahrzeuge aus den Güteforderungen (R1) bis (R5) entstehen.

Eine Fahrzeugkolonne mit dezentraler Regelung wird mit der Modellstruktur aus Bild 3 dargestellt. Das Modell (10) des geregelten Fahrzeugs V¯i legt es nahe, die Geschwindigkeit vi−1(t) des vorausfahrenden Fahrzeugs als Koppelgröße zum i–ten Fahrzeug zu verwenden. Anstelle des Fahrzeugabstands di(t) wird mit dem reduzierten Abstand

gerechnet, bei dem αi die Fahrzeuglänge beinhaltet.

Die Fahrzeuge sind durch Modelle der Form

Im Unterschied zum Modell (10) können die geregelten Fahrzeuge V¯i jetzt eine beliebige Dynamik G¯i(s) besitzen. Das Modell (12) gilt allerdings nur für Fahrzeuge mit dem Anfangszustand

Entsprechend den Güteforderungen (R1) und (R2) müssen die Pole der Übertragungsfunktionen G¯i(s) und F¯i(s) negativen Realteil haben und für die statische Verstärkung muss gelten

Beides wird im Folgenden als erfüllt vorausgesetzt.

3.2 Asymptotische Sollwertfolge

Entsprechend der Güteforderung (R3) sollen die geregelten Fahrzeuge stationär den Abstand (3) einnehmen. Um Bedingungen dafür anzugeben, wird das in [10] eingeführte Verzögerungsmaß

betrachtet, bei dem h¯i(t) die zur Übertragungsfunktion G¯i(s) gehörende Übergangsfunktion bezeichnet. Es kann entsprechend der Beziehung

aus F¯i(s) berechnet werden [14]. Die folgenden Untersuchungen werden zeigen, dass dieses Maß eine wichtige Rolle spielt, wenn man ein Beschleunigungsmanöver betrachtet, bei dem sich die Geschwindigkeit des (i−1)–ten Fahrzeugs und damit die Eingangsgröße des i–ten Fahrzeugs vom Wert v¯0 auf den Wert v¯1 verändert:

Abb. 4

Interpretation des Verzögerungsmaßes Δi.

Entsprechend Bild 4 passt sich die Geschwindigkeit vi(t) dieser Veränderung an, allerdings mit einer Verzögerung, die durch Δi beschrieben wird. Für die im Bild grau hinterlegte Fläche gilt nämlich nach [13]

Diese Fläche bestimmt die Änderung des stationär erreichten Fahrzeugabstands für das Manöver (18), (19), denn aus den Gln. (9) und (20) erhält man

Wenn der Sollabstand zur Zeit t=0 eingehalten wird

ist die Forderung (3) genau dann erfüllt, wenn das geregelte Fahrzeug V¯i das Verzögerungsmaß

besitzt.

Die dezentralen Fahrzeugregler können also getrennt voneinander mit dem Ziel (22) entworfen werden. Kolonnen, die aus beliebigen Fahrzeugen dieser Art zusammengesetzt sind, erfüllen dann die Güteforderung (R3). Darüber hinaus halten sie den Abstandssollwert diref(t) näherungsweise für alle Zeiten t≥0 ein, wenn sie sich ähnlich wie das Modell (10) verhalten.

3.3 Kollisionsfreiheit

Dieser Abschnitt zeigt, dass die geregelten Fahrzeuge auch die Güteforderungen (R4) und (R5) erfüllen, wenn sie eine extern positive Dynamik besitzen. Es wird zunächst der Begriff der positiven Systeme erläutert.

Extern positive Systeme. Ein lineares System mit der Übertragungsfunktion G¯(s) heißt extern positiv, wenn es aus dem Ruhezustand für beliebige nichtnegative Eingangsgrößen u(t)≥0 nichtnegative Ausgangsgrößen y(t)≥0 erzeugt:

Wie in [4] gezeigt ist, ist ein lineares System Y(s)=G¯(s)U(s) genau dann extern positiv, wenn die Gewichtsfunktion g¯(t)∘−∙G¯(s) nichtnegativ ist:

Die zugehörige Übergangsfunktion h¯(t) erreicht ihren statischen Endwert limt→∞h¯(t)=1 ohne Überschwingen.

Da das geregelte Fahrzeug (12) zwei Ausgänge besitzt, ist es für die Überprüfung dieser Eigenschaft wichtig zu wissen, dass wegen Gl. (13) die externe Positivität bezüglich des Ausgangs vi(t) auch die externe Positivität bezüglich des Ausgangs d˜i(t) nach sich zieht [14]:

mit g¯i(t)∘−∙G¯i(s) und f¯i(t)∘−∙F¯i(s).

Kollisionsvermeidung und kontinuierliche Progression. Die Erfüllung der Güteforderungen (R4) und (R5) durch extern positive Fahrzeuge kann schnell bewiesen werden, wenn man die Fahrzeugschlange vom Führungsfahrzeug beginnend betrachtet. Für nichtnegative Funktionen vref(t)≥0 und g¯0(t)≥0 ist die Geschwindigkeit des Führungsfahrzeugs nichtnegativ

wobei der Stern die Faltungsoperation kennzeichnet. Damit erhält das Fahrzeug V¯1 eine nichtnegative Eingangsgröße und antwortet mit nichtnegativen Ausgängen

Dieselbe Überlegung gilt nacheinander für alle folgenden Fahrzeuge.

Die Forderung nach externer Positivität ist strenger als die nach Kolonnenstabilität. Sie ist in verschiedenen Situationen auch notwendig für die Einhaltung der Forderungen (R4) und (R5), beispielsweise, wenn alle Fahrzeuge dieselbe Dynamik aufweisen

denn dann kann man andernfalls leicht eine Sollvorgabe vref(t) finden, für die das Führungsfahrzeug rückwärts fährt oder der Abstand zwischen den ersten beiden Fahrzeugen negativ wird.

3.4 Zusammenfassung der Forderungen an die geregelten Fahrzeuge

In den vorangegangenen Abschnitten wurden Bedingungen an die geregelten Fahrzeuge abgeleitet, unter denen Fahrzeugkolonnen mit ACC die Güteforderungen (R1) bis (R5) erfüllen. Diese Bedingungen können als Entwurfsforderungen für die Regelungen der individuellen Fahrzeuge formuliert werden:

1. Stabilität: Jedes geregelte Fahrzeug V¯i muss E/A-stabil sein.

2. Sollwertfolge: Jedes geregelte Fahrzeug muss bezüglich des E/A-Paares (vi−1(t),vi(t)) die statische Verstärkung G¯i(0)=1 haben.

3. Verzögerungsmaß: Jedes geregelte Fahrzeug muss das Verzögerungsmaß βi haben: Δi=βi.

4. Extern positive Dynamik: Jedes geregelte Fahrzeug muss eine extern positive Dynamik aufweisen: g¯i(t)≥0.

Die abgeleiteten Bedingungen zeigen auch, wann dezentrale Fahrzeugregler (ACC) ausreichen. Der kritische Punkt ist die gemeinsame Erfüllung der Forderungen (D3) und (D4), die besagen, dass das Fahrzeug seine Geschwindigkeit mit einer durch βi beschriebenen Verzögerung der Geschwindigkeit des Vorgängers anpassen muss und dabei nicht überschwingen darf. Es ist einerseits einfach, die externe Positivität dadurch zu erzeugen, dass der Regler sehr langsam eingestellt wird. Andererseits kann man die Forderung Δi=βi dadurch erfüllen, dass sich die Übergangsfunktion h¯i(t) schnell genug ihrem Endwert nähert. Beides gleichzeitig zu erfüllen, ist die eigentliche Herausforderung für den Reglerentwurf.

Ob man diese Herausforderung erfüllen kann entscheidet, ob eine dezentrale Regelung ausreicht oder ob man eine vernetzte Regelung braucht. Wie dann die Kommunikationsstruktur aussehen muss, beschreibt Abschn. 5.

4.1 Fahrzeugmodell

Dieser Abschnitt zeigt an drei Beispielen, mit welchen Reglerstrukturen man die Entwurfsforderungen (D1) bis (D4) erfüllen kann. Während die bisherigen Untersuchungen von einer beliebigen Struktur der geregelten Fahrzeuge V¯i ausgingen und die Fahrzeuge einschließlich ihrer Regelung als Einheit betrachteten, wird nun untersucht, inwieweit man mit typischen Fahrzeugmodellen und typischen Reglerstrukturen den Entwurfsforderungen (D1)–(D4) genügen kann. Da die Untersuchungen für die Fahrzeuge einzeln durchgeführt werden, wird der Index i weggelassen.

Das Fahrzeug (ohne Regler) hat das Modell

mit U(s) als Stellglied für den Antriebsstrang und V(s) als Fahrzeuggeschwindigkeit. Die Übertragungsfunktion G(s) hat typischerweise integrales Verhalten

wobei in der Literatur für G˜(s) oft ein Verzögerungsglied erster Ordnung eingesetzt wird:

Es wird jetzt für drei Regler untersucht, inwieweit die Entwurfsforderungen (D1) bis (D4) durch geeignete Parameterwahl erfüllt werden können.

4.2 Fahrzeuge mit Geschwindigkeitsregler

Im ersten Fall wird ein Geschwindigkeitsregler

eingesetzt, der die Geschwindigkeit V(s) des betrachteten Fahrzeugs der Geschwindigkeit Vi−1(s) des vorausfahrenden Fahrzeugs anpasst. Für den proportionalen Anteil gelte die Beziehung Kv(0)=kv≠0. Das Fahrzeugmodell (12) hat damit die Übertragungsfunktionen

Beispiel 1 (Fahrzeug mit Geschwindigkeitsregler).

Wenn der Antriebsstrang sehr schnell ist (G˜(s)=1), erhält man für einen proportionalen Geschwindigkeitsregler Kv(s)=kv die Übertragungsfunktionen

(33)G¯(s)=kvs+kvundF¯(s)=1s+kv,

die für kv=1/β mit den Übertragungsfunktionen des idealen Fahrzeugs (10) übereinstimmen und damit den Forderungen (D1)–(D4) genügen. Eine Kolonne aus solchen Fahrzeugen erfüllt permanent die Güteforderungen (R1)–(R5).

Wenn der Antriebsstrang eine Dynamik (28) erster Ordnung aufweist, erhält man mit dem proportionalen Regler die Beziehungen

(34)G¯(s)=kvTs2+s+kvundF¯(s)=Ts+1Ts2+s+kv.

Die geregelten Fahrzeuge sind E/A-stabil für alle kv>0 und haben die geforderte Verzögerung D=β für kv=1/β. Um eine extern positive Dynamik zu erhalten, muss die Zeitkonstante T des Antriebsstrangs hinreichend klein sein. Die Schranke T≤β/4 erhält man aus der Forderung, dass sämtliche Pole von G¯(s) reell sind, was für ein positives Verhalten notwendig ist. Diese Ungleichung zeigt, dass für die Erfüllung der Entwurfsforderung (D4) der Antriebsstrang hinreichend schnell sein muss im Vergleich zum Zeitabstandskoeffizienten β.

Abb. 5

Gewichtsfunktion des Fahrzeugs und Fahrzeugabstand bei einem Bremsmanöver.

Der obere Teil von Bild 5 vergleicht die Gewichtsfunktion des geregelten Fahrzeugs mit der Zeitkonstanten T=0.5s und der Reglerverstärkung kv=1/β=0.51/s (durchgezogene Linie) mit der Gewichtsfunktion g¯∗(t) des idealen Fahrzeugs (10) (gestrichelte Linie). In beiden Fällen ist das Fahrzeug extern positiv. Wenn man die Zeitkonstante T erhöht, nimmt die durchgezogene Kurve negative Werte an und die Entwurfsforderung (D4) ist nicht mehr erfüllt.  □

Die Ergebnisse dieses Abschnitts zeigen, dass sämtliche Entwurfsforderungen an die Fahrzeugkolonne durch eine Anpassung der Fahrzeuggeschwindigkeit an die Geschwindigkeit des vorausfahrenden Fahrzeugs erfüllt werden können. Allerdings gilt diese Aussage nur unter der Voraussetzung (14), dass die Fahrzeuge die Forderungen zum Zeitpunkt t=0 einhalten. Mit den beiden nachfolgend betrachteten Reglern können auch anfängliche Abstandsfehler ausgeglichen werden.

4.3 Fahrzeuge mit Abstandsregler

Fahrzeuge mit Abstandsregler

haben die im Bild 6 gezeigte Struktur. Die Regelabweichung E(s)=βV(s)−D˜(s) wird über den Regler Kd(s) zurückgeführt. Bei der Implementierung kann man anstelle der Geschwindigkeit vi−1(t) des vorausfahrenden Fahrzeugs den Fahrzeugabstand di(t) messen, aber das Blockschaltbild ist in der zuvor verwendeten Weise gezeichnet, bei der wie im Bild 3 die Geschwindigkeiten die Koppelgrößen der Fahrzeuge darstellen.

Abb. 6

Fahrzeug mit Abstandsregler.

Mit dem Regler (35) erhält man für das Modell (12) des geregelten Fahrzeugs die Übertragungsfunktionen

die zeigen, dass jeder Regler mit der Proportionalverstärkung Kd(0)=kd≠0 die Entwurfsforderungen (D2) und (D3) erfüllt. Eine extern positive Dynamik kann man wie im folgenden Beispiel erhalten.

Beispiel 2 (Fahrzeug mit Abstandsregler).

Für einen schnellen Antriebsstrang mit G˜(s)=1 und dem häufig in der Literatur eingesetzten PD-Abstandsregler

(36)Kd(s)=kDs+kP

hat das geregelte Fahrzeug das Modell

G¯(s)=−kDs−kP(1−kDβ)s2−(kPβ+kD)s−kPF¯(s)=(1−kDβ)s−kPβ(1−kDβ)s2−(kPβ+kD)s−kP.

Es ist für die Parameterbereiche kD≤0, kP<0 stabil, erfüllt die Forderungen (D2) und (D3) und erzeugt eine extern positive Dynamik für geeignet gewählte Reglerparameter, wobei für kD=−5 und kP=−1.5 wieder fast ideales Verhalten nach Gl. (10) entsteht. Für Antriebsstränge mit nicht vernachlässigbarer Verzögerung (28) muss der Regler die externe Positivität des Fahrzeugs herstellen, was nur bei hinreichend kleinen Zeitkonstanten möglich ist.

Abb. 7

Fahrzeugabstände in einer Kolonne mit Abstandsreglern.

Bild 7 zeigt das Fahrverhalten von identischen Fahrzeugen mit Abstandsregler. Der Geschwindigkeitssollwert des Führungsfahrzeugs steigt von vref(t)=20km/h für t<0 auf vref(t)=30km/h für t≥0. Die Fahrzeugabstände sind anfangs zu groß, werden aber durch die Abstandsregler an die gestrichelt dargestellte Sollgröße d˜i(t)=2vi(t) herangeführt. In dieser Eigenschaft erweist sich der Abstandsregler dem Geschwindigkeitsregler aus dem vorhergehenden Abschnitt als überlegen.  □

4.4 Fahrzeuge mit kombiniertem Geschwindigkeits-Abstandsregler

Die Kombination beider zuvor dargestellter Regler führt auf die Struktur im Bild 8, wobei der Block Gv das Fahrzeug mit dem Geschwindigkeitsregler Kv(s) enthält und das Signal v˜s den Sollwert dieses Reglers vorgibt. Der kombinierte Regler hat das Reglergesetz

Abb. 8

Fahrzeug mit Geschwindigkeits-Abstandsregler.

Der Regelkreis mit den Übertragungsfunktionen

erfüllt wieder die Forderungen (D2) und (D3), sofern für den Geschwindigkeitsregelkreis die Beziehung Gv(0)=1 gilt. Dies ist auch dann der Fall, wenn proportionale Regler Kv(s)=kv>0 und Kd(s)=kP verwendet werden, wobei derartige Regler bei schnellen Antriebssträngen auch ausreichen, um die externe Positivität der geregelten Fahrzeuge zu erzeugen.

Wenn der Geschwindigkeitsregelkreis Gv(s) näherungsweise das ideale Verhalten aus Gl. (10) hat, entstehen nur kleine Signalwerte vd(t) und der Abstandsregelkreis ist wenig wirksam. Andererseits beeinflusst der Regler Kd(s) das Fahrzeugverhalten entscheidend, wenn Gv(s) vom idealen Verhalten erster Ordnung stark abweicht oder wenn sich der Fahrzeugabstand zur Zeit t=0 stark vom Sollwert (2) unterscheidet.

4.5 Zusammenfassung der Ergebnisse zur dezentralen Abstandsregelung

Der erste Teil des Beitrags hat auf systematischem Wege die Entwurfsforderungen für die Fahrzeugregler abgeleitet, mit denen Kollisionsfreiheit in Fahrzeugkolonnen beliebiger Zusammensetzung und bei beliebigem Geschwindigkeitsprofil des Führungsfahrzeugs garantiert ist. Wenn die geregelten Fahrzeuge die Forderungen (D1) bis (D4) erfüllen, können sie in beliebiger Weise zu Fahrzeugkolonnen zusammengesetzt werden und erfüllen gemeinsam die Güteforderungen (R1) bis (R5).

Das Verhalten derartiger Kolonnen wird in den Bildern 9 und 10 für Fahrzeuge veranschaulicht, die zum Zeitpunkt t=0 stehen und deren Führungsfahrzeug die durch die gestrichelte Linie im oberen Teil vom Bild 9 gezeigte Sollgeschwindigkeit vref(t) erhält. Die nachfolgenden Fahrzeuge folgen der Bewegung des ersten ohne Überschwingen und haben deshalb immer einen positiven Abstand.

Abb. 9

Geschwindigkeit und Fahrzeugabstände von 30 Fahrzeugen.

Abb. 10

Position der 30 Fahrzeuge aus Bild 9.

5.1 Ziel der Vernetzung der Regelung

Dieser Abschnitt zeigt, dass man durch eine Vernetzung der bisher betrachteten Fahrzeuge Kolonnen zusammenstellen kann, in denen die Fahrzeuge mit einem Sollabstand fahren, dessen Abstandskoeffizient βi kleiner ist als die Verzögerung Δi der Fahrzeuge. Es geht also darum, aus langsamen Fahrzeugen Kolonnen mit engem Abstand herzustellen, ohne die Sicherheit zu gefährden. Durch die kommunizierten Informationen sollen die Fahrzeuge früher über Geschwindigkeitsänderungen informiert werden und deshalb wie ein vorausschauend fahrender Fahrer früher auf Störungen reagieren können.

Die jetzt erläuterte Vorgehensweise ist immer dann hilfreich, wenn Fahrzeuge aufgrund ihres beschränkten Beschleunigungsvermögens der Geschwindigkeit des vorausfahrenden Fahrzeugs nicht schnell genug folgen können und somit die im Bild 4 grau hinterlegte Fläche größer als βi wird. In dieser Situation überschreitet der Fahrzeugabstand nach einem Beschleunigungsmanöver den Sollwert und unterschreitet ihn bei einem Bremsmanöver. Vor allem die zweite Situation ist sicherheitskritisch und muss durch eine kooperative Fahrweise verhindert werden.

So haben die Experimente in [19] gezeigt, dass die Beschleunigung von Personenfahrzeugen bei etwa 1,8m/s2 begrenzt ist. Bezogen auf die hier verwendeten linearen Modelle führt diese Limitierung auf eine untere Grenze für das Verzögerungsmaß Δi. Durch die Vernetzung der Regler soll erreicht werden, dass Fahrzeuge mit einem kleineren Sicherheitsabstand βi fahren können, als es ihr durch Δi beschriebenes Beschleunigungsvermögen zulässt.

5.2 Kumulative Verzögerung in Fahrzeugkolonnen

Die durch die Wolke im Bild 2 verdeutlichte Vernetzung der Fahrzeuge wird dadurch dargestellt, dass die Koppeleingangsgröße vi−1(t) des i–ten Fahrzeugs in den Bildern 1 und 3 durch die lokale Referenzgröße vsi(t) ersetzt wird, die aus den über das Kommunikationsnetz übermittelten Geschwindigkeiten vj(t) benachbarter Fahrzeuge berechnet wird:

Die in dieser Gleichung stehenden die Koeffizienten aˆij≥0 sind die Elemente der Adjazenzmatrix des Kommunikationsgraphen, die die Beziehungen

erfüllen und von denen i. Allg. wenige von null verschieden sind. Die Summation geht bis i−1, weil nur von vorausfahrenden Fahrzeugen Informationen verwendet werden sollen.

Die in den Abschnitten 4.2 bis 4.4 beschriebenen Regler erhalten demzufolge anstelle des Eingangssignals vi−1(t) jetzt die Referenzgröße vsi(t) aus Gl. (38) und die Regelungsstruktur wird damit für alle beschriebenen Regler wie im Bild 11 gezeigt erweitert.

Abb. 11

Vernetzte Fahrzeugregelung.

Abb. 12

Verkürzte Fahrzeugkolonne.

Die nachfolgenden Erläuterungen dienen der Wahl der normierten Adjazenzmatrix Aˆ, so dass die Fahrzeuge mit vorgegebenen Abstandskoeffizienten βi fahren. Aufgrund der Vernetzung reicht es nicht mehr aus, das i–te Fahrzeug isoliert für sich zu betrachten, sondern es muss die vom ersten bis zum i–ten Fahrzeug verkürzte Fahrzeugkolonne untersucht werden (Bild 12). Dieses System hat ein ähnliches Modell wie das isolierte Fahrzeug (12):

mit

Es beschreibt den Zusammenhang zwischen der Geschwindigkeit v0(t) des Führungsfahrzeugs und der Geschwindigkeit vi(t) des i–ten Fahrzeugs bzw. dem Abstand di0(t) des i–ten Fahrzeugs vom Führungsfahrzeug. Jedes Fahrzeug in der Kolonne folgt jetzt dem Modell

in dem im Unterschied zu Gl. (12) die lokale Referenzgröße vsi(t) als Eingangsgröße steht, aber Vi(s) und D˜i(s) weiterhin die Geschwindigkeit und den Abstand des i–ten Fahrzeugs zum vorausfahrenden Fahrzeug beschreiben. Die Gln. (38) und (42) führen auf die folgenden Beziehungen für die Übertragungsfunktionen der verkürzten Fahrzeugkolonne (40):

Die Übertragungsfunktionen F¯i0(s) ergeben sich daraus entsprechend Gl. (41).

Das Modell (40) wird nun in Analogie zum Abschn. 3.2 verwendet um herauszufinden, unter welchen Bedingungen die Fahrzeuge asymptotisch die geforderten Abstände einhalten. Dafür wird die Definition (16) für das Verzögerungsmaß auf dieses Modell angewendet und als kumulatives Verzögerungsmaß bezeichnet

in dem mit h¯i0(t) die zur Übertragungsfunktion G¯i0(s) gehörende Übergangsfunktion steht. Δi0 beschreibt die Verzögerung, mit der das i–te Fahrzeug dem Führungsfahrzeug folgt. Es kann in Analogie zu Gl. (17) aus

berechnet werden. Verwendet man nun die Gln. (41) und (43) zur Darstellung von F¯i0(s), so erhält man für die kumulativen Verzögerungen die Beziehungen

wobei Δi wieder das Verzögerungsmaß des i–ten Fahrzeugs ist und aˆij die Elemente der normierten Adjazenzmatrix Aˆ sind. Mit der Gl. (45) kann man schrittweise die kumulativen Verzögerungsmaße aller Fahrzeuge entlang der Kolonne ermitteln.

5.3 Strukturentwurf der kooperativen Geschwindigkeitsregelung

Da der mit dem Modell (40) berechnete Abstand d˜i0(t) die Summe der Abstände zwischen allen vorausfahrenden Fahrzeugen darstellt

bewegen sich die Fahrzeuge asymptotisch mit dem geforderten Abstand diref(t) nach Gl. (2), wenn für die kumulativen Verzögerungen die Beziehungen

gelten. Es wird im Folgenden gezeigt, wie die Elemente der Adjazenzmatrix Aˆ so bestimmt werden, dass diese Bedingungen erfüllt sind. Dabei wird die Fahrzeugkolonne schrittweise mit dem ersten Folgefahrzeug beginnend betrachtet und es wird sich herausstellen, dass zu jedem Fahrzeug von höchstens zwei vorausfahrenden Fahrzeugen Informationen übertragen werden müssen.

Aus den Gln. (45) und (47) erhält man die Forderung

die nur erfüllt werden kann, wenn die Verzögerungen Δi der Fahrzeuge den Ungleichungen

gelten. Für β2=Δ2 wählt man aˆ21=1 und aˆ20=0 wie bei einer dezentralen Regelung (ACC), um die Beziehung (47) zu erfüllen, denn dann gilt entsprechend Gl. (45)

und, wie gefordert,

Für Δ2>β2 und Δ2≤β1+β2 kann man die Koeffizienten aˆ21 und aˆ21 folgendermaßen berechnen. Gleichung (51) wird mit Δ20 aus (52) in

umgeformt, was immer eine positive Zahl ergibt, und mit Hilfe von (39) durch

komplettiert.

Abb. 13

Verhalten der Fahrzeugschlange mit CACC (links) und ACC (rechts).

Wenn man in dieser Weise für die nächsten Fahrzeuge fortfährt, kommt man zu dem folgenden Ergebnis:

Dieser Satz ist auch für die Theorie vernetzter Regelungen insgesamt sehr interessant, denn er zeigt, dass man in einem wichtigen Anwendungsfeld die Kommunikationsstruktur des Reglers auf systematische Weise aus den geforderten Eigenschaften des Gesamtsystems und den Eigenschaften der geregelten Teilsysteme ableiten kann. Es muss weder ein ganzzahliges Optimierungsproblem gelöst werden, um die unter allen möglichen Kommunikationsstrukturen zweckmäßigste Lösung herauszusuchen, noch muss man heuristische Kriterien bemühen, um die Komplexität einer derartigen Aufgabe einzuschränken. Gleichzeitig wird die bereits früher beschriebene Notwendigkeit einer Vernetzung der Regelung herausgestellt. Jedes Fahrzeug, das die Beziehung Δi=βi erfüllt, braucht nur von seinem unmittelbaren Vorgänger Informationen, während sich langsamere Fahrzeuge auch mit den davor fahrenden Fahrzeugen verbinden müssen.

Beispiel 3 (Fahrzeugkolonne mit vernetzter Regelung).

Sechs Folgefahrzeuge mit den Verzögerungsmaßen

Δ1=2,Δ2=3,Δ3=4,Δ4=2,Δ5=4.5,Δ6=3

sollen sich stationär mit einem einheitlichen Abstand (2) mit βi=2, (i=1,...,6) bewegen. Die Bedingungen (49) und (50) sind erfüllt. Für die Ermittlung der Kommunikationsstruktur wird die Beziehung (57) zur Bestimmung des Indexes li umgeformt

0≤(i−li)β−Δi≤liβ,i=2,3,...,N,

so dass li die kleinste ganze Zahl ist, die größer als i−Δiβ ist (dritte und vierte Spalte der Tabelle). Dann ergeben sich die Elemente der Adjazenzmatrix aus den Gln. (53)–(56).

Abb. 14

Kommunikationsgraph der kooperativen Fahrzeugregelung.

Bild 14 zeigt die auf diese Weise ermittelte Struktur der vernetzten Regelung.

Im Bild 13 ist links das Verhalten der Fahrzeugschlange mit der hier ermittelten vernetzten Regelung dargestellt, wobei für die Fahrzeugdynamik ein Modell zweiter Ordnung mit den angegebenen Verzögerungsmaßen angesetzt wurde. Die Fahrzeuge stehen zur Zeit t=0 im Abstand α=1m voneinander entfernt und folgen dem Fahrprofil des Führungsfahrzeugs. Der gleichmäßige, durch den Faktor βi=2s beschriebene Abstand entsteht aufgrund der Vernetzung der Fahrzeuge.

Zum Vergleich zeigt der rechte Teil von Bild 13 das Verhalten mit dezentraler Regelung. Die Sollabstände müssen bei dieser Regelung mit den Faktoren βi=Δi gebildet werden und sind deshalb unterschiedlich groß. Dabei folgen insbesondere die Fahrzeuge 3 und 5 ihren Vorgängern mit sehr großem Abstand.  □

Die kooperative Regelung der Kolonne setzt sich aus dezentralen Teilreglern zusammen, die für beliebige Fahrzeugreihenfolgen zu einer vernetzten Regelung verbunden werden können. Das Ausscheiden von Fahrzeugen aus der Kolonne oder das Hinzukommen weiterer Fahrzeuge ist problemlos möglich und erfordert lediglich die Ankopplung der neuen Teilregler entsprechend dem hier vorgestellten Verfahren, womit die Skalierbarkeit der Regelung sichergestellt ist. Das Vorgehen ist anwendbar, ohne das ein Fahrzeug oder Elemente der Infrastruktur koordinierend eingreifen muss.

5.4 Überprüfung der Kollisionsfreiheit

Im vorhergehenden Abschnitt wurde nur das stationäre Verhalten der Fahrzeuge für die Wahl der Kommunikationsstruktur der vernetzten Regelung herangezogen. Es muss noch überprüft werden, ob die Güteforderungen (R4) und (R5) nach Kollisionsfreiheit und korrektem Fahrverhalten bei beliebiger extern positiver Eigendynamik der Fahrzeuge erfüllt sind.

Da der kooperative Regler nach Satz 4 nur von zwei vorausfahrenden Fahrzeugen Informationen erhält, kann die Beziehung (43) folgendermaßen vereinfacht werden

Daraus erkennt man:

Beispiel 4 (Test der Kollisionsfreiheit).

Die sieben Fahrzeuge aus dem Beispiel 3 werden durch die Modelle

(63)G¯i(s)=1TiΔis2+Δis+1=1Ni(s),i=0,1,...,6

mit den bereits angegebenen Verzögerungen beschrieben. Um die Bedingung aus Satz 5 zu überprüfen, werden nach Gln. (58)–(60) die Übertragungsfunktionen

G¯00(s)=1G¯10(s)=1N1(s)G¯20(s)=1N2(s)aˆ21N1(s)+aˆ20G¯30(s)=1N3(s)aˆ31N1(s)usw.

gebildet und daraus die zu testenden Funktionen bestimmt:

Gd1(s)=1s1−1N1(s)=T1Δ1s+Δ1T1Δ1s2+Δ1s+1Gd2(s)=0.5(T1Δ1s+Δ1)(T1Δ1s2+Δ1s+1)(T2Δ2s2+Δ2s+1)usw.

Abb. 15

Gewichtsfunktionen zu den Übertragungsfunktionen (62), (i=2,...,6).

Bild 15 zeigt, dass die Gewichtsfunktionen zu den Übertragungsfunktionen Gdi(s), (i=2,...,6) für die einheitlich gewählte Zeitkonstante Ti=0.4s nichtnegativ sind und damit die Bedingung aus Satz 5 für die Kollisionsfreiheit der vernetzten Fahrzeugkolonne erfüllt ist.  □

Es werden Fahrzeuge betrachtet, die die Ungleichung

erfüllen und folglich eine vernetzte Regelung benötigen. Gleichung (57) mit li=i−1 führt auf die Ungleichung

die unter der Annahme (64) erfüllt ist. Der kooperative Abstandsregler arbeitet folglich mit den Referenzsignalen