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3 Eigenschaften der Fourier-Transformation

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Systemtheorie 1
This chapter is in the book Systemtheorie 1
3.1 Elementare Eigenschaften 217 3 Eigenschaften der Fourier-Transformation 3.1 ELEMENTARE EIGENSCHAFTEN Aus den Grundgleichungen (3.19) und (3.20) der Fourier-Transformation läßt sich unmittel-bar eine Reihe von Eigenschaften dieser Transformation ablesea (a) Linearität Aus den Zuordnungen jcj) folgt mit willkürlichen Konstanten αλ und a2 «i/i(0 + 02/2(0°— αϊ ^i(jw) + «2^2(ίω)· (b) Zeitverschiebung Aus der Zuordnung /(i)^F(jcj) folgt /(i-i0)c^F(jcJ)e-i"V Eine Verschiebung des Zeitvorganges um /0 in positiver t -Richtung bewirkt im Frequenz-bereich eine Multiplikation mit e ~1<J<0, d. h. eine reine Phasenänderung um Φ(ω) = - ωί0. Beweis: Man bildet das Fourier-Integral ff{t- 'o)e dt = f /(T)e",u<Tt'0) dT = e F{jd). Beispiel 3 3: Ein System mit einem Eingang und einem Ausgang heißt verzerrungsfrei, wenn sich das Aus-gangssignal y(t) vom Eingangssignal *(/) nur durch einen Maßstabsfaktor A„ und eine zeitliche Ver-schiebung 1,5 0 unterscheidet: y(t)=A0x(t -f„). Im Frequenzbereich lautet diese Relation wegen der Zeitverschiebungseigenschaft Im Sinne von Gl. (3.48) folgt damit für die Übertragungsfunktion eines verzerrungsfreien Systems H(,cS) =A0 β"*"0 . Sie hat konstante Amplitudeund lineare Phase Θ (ω) = ί„ ω. Die Impulsantwort lautet nach Abschnitt 4.2 A(<) =AC 6(t -(„).

3.1 Elementare Eigenschaften 217 3 Eigenschaften der Fourier-Transformation 3.1 ELEMENTARE EIGENSCHAFTEN Aus den Grundgleichungen (3.19) und (3.20) der Fourier-Transformation läßt sich unmittel-bar eine Reihe von Eigenschaften dieser Transformation ablesea (a) Linearität Aus den Zuordnungen jcj) folgt mit willkürlichen Konstanten αλ und a2 «i/i(0 + 02/2(0°— αϊ ^i(jw) + «2^2(ίω)· (b) Zeitverschiebung Aus der Zuordnung /(i)^F(jcj) folgt /(i-i0)c^F(jcJ)e-i"V Eine Verschiebung des Zeitvorganges um /0 in positiver t -Richtung bewirkt im Frequenz-bereich eine Multiplikation mit e ~1<J<0, d. h. eine reine Phasenänderung um Φ(ω) = - ωί0. Beweis: Man bildet das Fourier-Integral ff{t- 'o)e dt = f /(T)e",u<Tt'0) dT = e F{jd). Beispiel 3 3: Ein System mit einem Eingang und einem Ausgang heißt verzerrungsfrei, wenn sich das Aus-gangssignal y(t) vom Eingangssignal *(/) nur durch einen Maßstabsfaktor A„ und eine zeitliche Ver-schiebung 1,5 0 unterscheidet: y(t)=A0x(t -f„). Im Frequenzbereich lautet diese Relation wegen der Zeitverschiebungseigenschaft Im Sinne von Gl. (3.48) folgt damit für die Übertragungsfunktion eines verzerrungsfreien Systems H(,cS) =A0 β"*"0 . Sie hat konstante Amplitudeund lineare Phase Θ (ω) = ί„ ω. Die Impulsantwort lautet nach Abschnitt 4.2 A(<) =AC 6(t -(„).

Chapters in this book

  1. Frontmatter I
  2. INHALT V
  3. VORWORT XIII
  4. I Eingang-Ausgang-Beschreibung von linearen Systemen
  5. 1 Grundlegende Begriffe 1
  6. 2 Charakterisierung kontinuierlicher Systeme durch Sprung- und Impulsantwort 19
  7. 3 Charakterisierung diskontinuierlicher Systeme durch Sprung- und Impulsantwort 37
  8. 4 Stochastische Signale und lineare Systeme 45
  9. II Systemcharakterisierung durch dynamische Gleichungen, Methode des Zustandsraums
  10. 1 Vorbemerkungen 63
  11. 2 Beschreibung elektrischer Netzwerke im Zustandsraum 63
  12. 3 Beschreibung kontinuierlicher Systeme im Zustandsraum 70
  13. 4 Beschreibung diskontinuierlicher Systeme im Zustandsraum 141
  14. 5 Anwendungen 162
  15. III Spektralanalyse kontinuierlicher Signale und Systeme
  16. 1 Die Übertragungsfunktion 199
  17. 2 Die Fourier-Transformation 202
  18. 3 Eigenschaften der Fourier-Transformation 217
  19. 4 Die Fourier-Transformation im Bereich der verallgemeinerten Funktionen 230
  20. 5 Idealisierte Tiefpaß- und Bandpaßsysteme 271
  21. 6 Darstellung stochastischer Prozesse im Frequenzbereich 288
  22. IV Spektralanalyse diskontinuierlicher Signale und Systeme
  23. 1 Die Übertragungsfunktion 301
  24. 2 Spektraldarstellung diskontinuierlicher Signale 303
  25. 3 Die diskrete Fourier-Transformation 335
  26. 4 Diskontinuierliche Systeme zur digitalen Signalverarbeitung 344
  27. 5 Beschreibung diskontinuierlicher stochastischer Prozesse im Frequenzbereich 351
  28. V Beschreibung kontinuierlicher Signale und Systeme in der komplexen Ebene
  29. 1 Die Laplace-Transformation 356
  30. 2 Verfahren zur Umkehrung der Laplace-Transformation 368
  31. 3 Anwendungen der Laplace-Transformation 375
  32. 4 Graphische Stabilitätsmethoden 398
  33. 5 Die Verknüpfung von Realteil und Imaginärteil einer Übertragungsfunktion 417
  34. 6 Die Verknüpfung von Dämpfung und Phase 425
  35. 7 Optimalfilter 441
  36. VI Beschreibung diskontinuierlicher Signale und Systeme in der komplexen Ebene
  37. 1 Die Ζ-Transformation 457
  38. 2 Anwendung der Ζ-Transformation bei der Systembeschreibung im Zustandsraum 469
  39. 3 Beziehung zwischen Realteil und Imaginärteil bei Übertragungsfunktionen diskontinuierlicher Systeme 471
  40. 4 Die Verknüpfung von Dämpfung und Phase 480
  41. 5 Optimalfilter 490
  42. 6 Das Nyquist-Verfahren zur Stabilitätsprüfung 499
  43. 7 Multiratensysteme 502
  44. Korrespondenzen 539
  45. Formelzeichen und Abkürzungen 542
  46. Aufgaben 544
  47. Literatur 570
  48. Sachregister 576
Readers are also interested in:
https://doi.org/10.1515/9783486594843-013

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  1. Frontmatter I
  2. INHALT V
  3. VORWORT XIII
  4. I Eingang-Ausgang-Beschreibung von linearen Systemen
  5. 1 Grundlegende Begriffe 1
  6. 2 Charakterisierung kontinuierlicher Systeme durch Sprung- und Impulsantwort 19
  7. 3 Charakterisierung diskontinuierlicher Systeme durch Sprung- und Impulsantwort 37
  8. 4 Stochastische Signale und lineare Systeme 45
  9. II Systemcharakterisierung durch dynamische Gleichungen, Methode des Zustandsraums
  10. 1 Vorbemerkungen 63
  11. 2 Beschreibung elektrischer Netzwerke im Zustandsraum 63
  12. 3 Beschreibung kontinuierlicher Systeme im Zustandsraum 70
  13. 4 Beschreibung diskontinuierlicher Systeme im Zustandsraum 141
  14. 5 Anwendungen 162
  15. III Spektralanalyse kontinuierlicher Signale und Systeme
  16. 1 Die Übertragungsfunktion 199
  17. 2 Die Fourier-Transformation 202
  18. 3 Eigenschaften der Fourier-Transformation 217
  19. 4 Die Fourier-Transformation im Bereich der verallgemeinerten Funktionen 230
  20. 5 Idealisierte Tiefpaß- und Bandpaßsysteme 271
  21. 6 Darstellung stochastischer Prozesse im Frequenzbereich 288
  22. IV Spektralanalyse diskontinuierlicher Signale und Systeme
  23. 1 Die Übertragungsfunktion 301
  24. 2 Spektraldarstellung diskontinuierlicher Signale 303
  25. 3 Die diskrete Fourier-Transformation 335
  26. 4 Diskontinuierliche Systeme zur digitalen Signalverarbeitung 344
  27. 5 Beschreibung diskontinuierlicher stochastischer Prozesse im Frequenzbereich 351
  28. V Beschreibung kontinuierlicher Signale und Systeme in der komplexen Ebene
  29. 1 Die Laplace-Transformation 356
  30. 2 Verfahren zur Umkehrung der Laplace-Transformation 368
  31. 3 Anwendungen der Laplace-Transformation 375
  32. 4 Graphische Stabilitätsmethoden 398
  33. 5 Die Verknüpfung von Realteil und Imaginärteil einer Übertragungsfunktion 417
  34. 6 Die Verknüpfung von Dämpfung und Phase 425
  35. 7 Optimalfilter 441
  36. VI Beschreibung diskontinuierlicher Signale und Systeme in der komplexen Ebene
  37. 1 Die Ζ-Transformation 457
  38. 2 Anwendung der Ζ-Transformation bei der Systembeschreibung im Zustandsraum 469
  39. 3 Beziehung zwischen Realteil und Imaginärteil bei Übertragungsfunktionen diskontinuierlicher Systeme 471
  40. 4 Die Verknüpfung von Dämpfung und Phase 480
  41. 5 Optimalfilter 490
  42. 6 Das Nyquist-Verfahren zur Stabilitätsprüfung 499
  43. 7 Multiratensysteme 502
  44. Korrespondenzen 539
  45. Formelzeichen und Abkürzungen 542
  46. Aufgaben 544
  47. Literatur 570
  48. Sachregister 576
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Downloaded on 23.9.2025 from https://www.degruyterbrill.com/document/doi/10.1515/9783486594843-013/html?licenseType=restricted&srsltid=AfmBOoq_JpgitPR3-HsavoLhkhwv4Q1YSqR3gmS_BcdaQNVEVD806xCy
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