Startseite Mathematik 2. VORTRAG Der Fall symmetrischer und Hermitescher Matrizen und Determinanten. Anwendung auf die Differentialgleichungen eines elektrischen Netzes. Schreibweise eines Gleichungssystems in Matrizen und Vektoren. Formale Rechengesetze über Matrizen und Vektoren. Das Produkt zweier Determinanten. Anwendung auf zyklische und p-fach zyklische Gleichungssysteme in der Statik
Kapitel
Lizenziert
Nicht lizenziert Erfordert eine Authentifizierung

2. VORTRAG Der Fall symmetrischer und Hermitescher Matrizen und Determinanten. Anwendung auf die Differentialgleichungen eines elektrischen Netzes. Schreibweise eines Gleichungssystems in Matrizen und Vektoren. Formale Rechengesetze über Matrizen und Vektoren. Das Produkt zweier Determinanten. Anwendung auf zyklische und p-fach zyklische Gleichungssysteme in der Statik

Veröffentlichen auch Sie bei De Gruyter Brill
Erkunden Sie dieses Fachgebiet So veröffentlichen Sie bei uns
Vorträge über Determinanten und Matrizen mit Anwendungen in Physik und Technik
Ein Kapitel aus dem Buch Vorträge über Determinanten und Matrizen mit Anwendungen in Physik und Technik
2. VORTRAG Der Fall symmetrischer und Hermitescher Matrizen und Determinanten. An-wendung auf die Differentialgleichungen eines elektrischen Netzes. Schreib-weise eines Gleichungssystems in Matrizen und Vektoren. Formale Rechen-gesetze über Matrizen und Vektoren. Das Produkt zweier Determinanten. Anwendung auf zyklische und p-fach zyklische Gleichungssysteme in der Statik Ein wichtiger Sonderfall, dem wir uns jetzt zuwenden wollen, ist der einer •symmetrischen Matrix; hierbei genügen die Koeffizienten den Bedingungen aaß=aß<x {<x.,ß, = l,2, . . .,n). Besonders bei reellen Koeffizienten ist dieser Sonderfall häufig und daher wichtig. Sind die Koeffizienten komplex, so tritt an die Stelle der Symmetrie häufig die Bedingung aaß=äßa (<x,/3 = l, 2,...,n). Man bezeichnet eine solche Matrix, in der also zwei symmetrisch zur Haupt-diagonale gelegene Elemente konjugiert komplex sind, als eine Hermitesche Matrix. Setzt man ^ß^Kß + i^ß' so ist dann also b«ß = bß«> c«ß = — cß« (<x, 0 = 1, 2, ...,»), d. h. der Realteil einer Hermiteschen Matrix ist symifietrisch, der Imaginärteil, wie man sagt, schief symmetrisch. — Die zugehörigen Determinanten bezeichnet man entsprechend als Hermitesche, symmetrische und schiefsymmetrische Deter-minanten. Jede Hermitesche Determinante ist reell. Vertauscht man nämlich Zeilen und Spalten, so geht die Determinante wegen cißa = ör/ß in ihren konjugiert komplexen Wert über; andererseits bleibt sie wegen III. ungeändert. Also ist der Imaginärteil ihres Wertes gleich Null. Aus der Definition der algebraischen Komplemente im ersten Vortrag erkennt man unschwer, daß, falls die gegebene Matrix (aa ß) eine Hermitesche Matrix ist; auch A«ß = Äß« (<x, 0 = 1, 3, ...,») gilt. In der Tat ist «11 i «1.. + 1 ' '«in äß_ i,i* "äß-i, a — 1 aß-l, a + 1 ' aß+ i,i" ' aß+i, oc — 1 aß+l, a + 1 ' aß + l,n ä„i 1 an. a + 1 •änn
© 2022 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Munich/Boston

2. VORTRAG Der Fall symmetrischer und Hermitescher Matrizen und Determinanten. An-wendung auf die Differentialgleichungen eines elektrischen Netzes. Schreib-weise eines Gleichungssystems in Matrizen und Vektoren. Formale Rechen-gesetze über Matrizen und Vektoren. Das Produkt zweier Determinanten. Anwendung auf zyklische und p-fach zyklische Gleichungssysteme in der Statik Ein wichtiger Sonderfall, dem wir uns jetzt zuwenden wollen, ist der einer •symmetrischen Matrix; hierbei genügen die Koeffizienten den Bedingungen aaß=aß<x {<x.,ß, = l,2, . . .,n). Besonders bei reellen Koeffizienten ist dieser Sonderfall häufig und daher wichtig. Sind die Koeffizienten komplex, so tritt an die Stelle der Symmetrie häufig die Bedingung aaß=äßa (<x,/3 = l, 2,...,n). Man bezeichnet eine solche Matrix, in der also zwei symmetrisch zur Haupt-diagonale gelegene Elemente konjugiert komplex sind, als eine Hermitesche Matrix. Setzt man ^ß^Kß + i^ß' so ist dann also b«ß = bß«> c«ß = — cß« (<x, 0 = 1, 2, ...,»), d. h. der Realteil einer Hermiteschen Matrix ist symifietrisch, der Imaginärteil, wie man sagt, schief symmetrisch. — Die zugehörigen Determinanten bezeichnet man entsprechend als Hermitesche, symmetrische und schiefsymmetrische Deter-minanten. Jede Hermitesche Determinante ist reell. Vertauscht man nämlich Zeilen und Spalten, so geht die Determinante wegen cißa = ör/ß in ihren konjugiert komplexen Wert über; andererseits bleibt sie wegen III. ungeändert. Also ist der Imaginärteil ihres Wertes gleich Null. Aus der Definition der algebraischen Komplemente im ersten Vortrag erkennt man unschwer, daß, falls die gegebene Matrix (aa ß) eine Hermitesche Matrix ist; auch A«ß = Äß« (<x, 0 = 1, 3, ...,») gilt. In der Tat ist «11 i «1.. + 1 ' '«in äß_ i,i* "äß-i, a — 1 aß-l, a + 1 ' aß+ i,i" ' aß+i, oc — 1 aß+l, a + 1 ' aß + l,n ä„i 1 an. a + 1 •änn
© 2022 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Munich/Boston

Kapitel in diesem Buch

  1. Frontmatter I
  2. INHALTSVERZEICHNIS VII
  3. VORWORT IX
  4. ZUR EINFÜHRUNG 1
  5. 1. VORTRAG Begriff und Haupteigenschaften der Determinanten, n lineare Gleichungen mit n Unbekannten. Die Cramersche Regel. Systeme linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten. Die charakteristische Determinante. Übungen 3
  6. 2. VORTRAG Der Fall symmetrischer und Hermitescher Matrizen und Determinanten. Anwendung auf die Differentialgleichungen eines elektrischen Netzes. Schreibweise eines Gleichungssystems in Matrizen und Vektoren. Formale Rechengesetze über Matrizen und Vektoren. Das Produkt zweier Determinanten. Anwendung auf zyklische und p-fach zyklische Gleichungssysteme in der Statik 16
  7. 3. VORTRAG Linear unabhängige Vektoren und ihre Orthogonalisierung. Homogene lineare Gleichungen in beliebiger Anzahl bei n Unbekannten. Unhomogene lineare Gleichungen in beliebiger Anzahl bei n Unbekannten. Rang und Defekt einer Matrix. Übungen 32
  8. 4 . VORTRAG Lineare Transformationen, insbesondere orthogonale und unitäre Transformationen. Bilineare und quadratische sowie Hermitesche Formen. Hauptachsentransformation von Hermiteschen und quadratischen Formen. Definite und indefinite Hermitesche und quadratische Formen. Anwendung auf die freien Schwingungen eines elektrischen Netzes bei verschwindenden Ohmschen Widerständen. Kriterium für eigentlich definite Hermitesche Formen mit Hilfe der Abschnittsdeterminanten. Ausdehnung auf normale und normalisierbare Matrizen. Übungen 44
  9. 5. VORTRAG Notwendige und hinreichende Bedingungen für die. Koeffizienten einer algebraischen Gleichung, damit die Wurzeln sämtlich positive Imaginärteile, oder sämtlich negative Realteile, oder sämtlich absolute Beträge kleiner als Eins besitzen. Das Cayley-Hamiltonsche Theorem. Ahnliche Matrizen und ihre Normalform. Übungen 62
  10. 6. VORTRAG Praktische Behandlung von linearen Gleichungssystemen. Iterationsverfahren. Bedingungen für die Konvergenz des Iterationsverfahrens. Obere Grenze einer Bilinearform und ihrer Potenzen. Iteration in Einzelschritten. Fall einer eigentlich definiten Hermiteschen Matrix. Zurückführung des allgemeinen auf diesen Sonderfall. Fehlerabschätzung beim ,Iterationsverfahren in Einzelschritten. Übungen 85
  11. 7. VORTRAG Praktische Bestimmung der Eigenwerte und Eigenvektoren einer Hermiteschen Matrix. Eingrenzung des größten Eigenwertes. Der Fall einer symmetrisierbaren Matrix. Ausdehnung auf den Fall einer normalen Matrix. Die praktische Bestimmung der Eigenwerte für eine beliebige Matrix. Übungen 99
  12. 8. VORTRAG Unendliche Reihen von Matrizen. Differentiation und Integration bei Matrizen und Vektoren. Die Exponentialfunktion einer Matrix. Anwendung auf ein System von linearen Differentialgleichungen erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten ohne und mit Störungsgliedern. Ausdehnung auf solche Differentialgleichungssysteme beliebiger Ordnung. Die sinus- und cosinus-Funktion von Matrizen. Lineare Differentialgleichungssysteme zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Die freien Schwingungen eines elektrischen Netzes bei nichtverschwindenden, aber kleinen Ohmschen Widerständen. Erzwungene Schwingungen. Übungen 119
  13. 9. VORTRAG Lineare Differentialgleichungssysteme mit variablen Koeffizienten. Die Q-Matrix und ihre Determinante. Existenz der Reziproken und numerische Berechnung der Q-Matrix. Anwendung auf Differentialgleichungssysteme mit periodischen Koeffizienten. Übungen und Anwendungen (Elektrische Schwingungen bei periodisch veränderlichen Koeffizienten; Schwingungen eines Pendels mit oszillierendem Aufhängepunkt; Drehschwingungen an Kurbelwellen von Verbrennungskraftmotoren) 137
  14. SCHRIFTTUMSVERZEICHNIS 153
  15. NAMEN- UND SACHREGISTER 154
Readers are also interested in:
https://doi.org/10.1515/9783112588666-004

Kapitel in diesem Buch

  1. Frontmatter I
  2. INHALTSVERZEICHNIS VII
  3. VORWORT IX
  4. ZUR EINFÜHRUNG 1
  5. 1. VORTRAG Begriff und Haupteigenschaften der Determinanten, n lineare Gleichungen mit n Unbekannten. Die Cramersche Regel. Systeme linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten. Die charakteristische Determinante. Übungen 3
  6. 2. VORTRAG Der Fall symmetrischer und Hermitescher Matrizen und Determinanten. Anwendung auf die Differentialgleichungen eines elektrischen Netzes. Schreibweise eines Gleichungssystems in Matrizen und Vektoren. Formale Rechengesetze über Matrizen und Vektoren. Das Produkt zweier Determinanten. Anwendung auf zyklische und p-fach zyklische Gleichungssysteme in der Statik 16
  7. 3. VORTRAG Linear unabhängige Vektoren und ihre Orthogonalisierung. Homogene lineare Gleichungen in beliebiger Anzahl bei n Unbekannten. Unhomogene lineare Gleichungen in beliebiger Anzahl bei n Unbekannten. Rang und Defekt einer Matrix. Übungen 32
  8. 4 . VORTRAG Lineare Transformationen, insbesondere orthogonale und unitäre Transformationen. Bilineare und quadratische sowie Hermitesche Formen. Hauptachsentransformation von Hermiteschen und quadratischen Formen. Definite und indefinite Hermitesche und quadratische Formen. Anwendung auf die freien Schwingungen eines elektrischen Netzes bei verschwindenden Ohmschen Widerständen. Kriterium für eigentlich definite Hermitesche Formen mit Hilfe der Abschnittsdeterminanten. Ausdehnung auf normale und normalisierbare Matrizen. Übungen 44
  9. 5. VORTRAG Notwendige und hinreichende Bedingungen für die. Koeffizienten einer algebraischen Gleichung, damit die Wurzeln sämtlich positive Imaginärteile, oder sämtlich negative Realteile, oder sämtlich absolute Beträge kleiner als Eins besitzen. Das Cayley-Hamiltonsche Theorem. Ahnliche Matrizen und ihre Normalform. Übungen 62
  10. 6. VORTRAG Praktische Behandlung von linearen Gleichungssystemen. Iterationsverfahren. Bedingungen für die Konvergenz des Iterationsverfahrens. Obere Grenze einer Bilinearform und ihrer Potenzen. Iteration in Einzelschritten. Fall einer eigentlich definiten Hermiteschen Matrix. Zurückführung des allgemeinen auf diesen Sonderfall. Fehlerabschätzung beim ,Iterationsverfahren in Einzelschritten. Übungen 85
  11. 7. VORTRAG Praktische Bestimmung der Eigenwerte und Eigenvektoren einer Hermiteschen Matrix. Eingrenzung des größten Eigenwertes. Der Fall einer symmetrisierbaren Matrix. Ausdehnung auf den Fall einer normalen Matrix. Die praktische Bestimmung der Eigenwerte für eine beliebige Matrix. Übungen 99
  12. 8. VORTRAG Unendliche Reihen von Matrizen. Differentiation und Integration bei Matrizen und Vektoren. Die Exponentialfunktion einer Matrix. Anwendung auf ein System von linearen Differentialgleichungen erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten ohne und mit Störungsgliedern. Ausdehnung auf solche Differentialgleichungssysteme beliebiger Ordnung. Die sinus- und cosinus-Funktion von Matrizen. Lineare Differentialgleichungssysteme zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Die freien Schwingungen eines elektrischen Netzes bei nichtverschwindenden, aber kleinen Ohmschen Widerständen. Erzwungene Schwingungen. Übungen 119
  13. 9. VORTRAG Lineare Differentialgleichungssysteme mit variablen Koeffizienten. Die Q-Matrix und ihre Determinante. Existenz der Reziproken und numerische Berechnung der Q-Matrix. Anwendung auf Differentialgleichungssysteme mit periodischen Koeffizienten. Übungen und Anwendungen (Elektrische Schwingungen bei periodisch veränderlichen Koeffizienten; Schwingungen eines Pendels mit oszillierendem Aufhängepunkt; Drehschwingungen an Kurbelwellen von Verbrennungskraftmotoren) 137
  14. SCHRIFTTUMSVERZEICHNIS 153
  15. NAMEN- UND SACHREGISTER 154
Jetzt anmelden und 20% sparen
Institutioneller Zugang
Wie funktioniert Authentifizierung?
Haben Sie eine Idee, wie wir unsere Website verbessern können?
Bitte schreiben Sie uns.
© 2025 De Gruyter Brill
Heruntergeladen am 24.9.2025 von https://www.degruyterbrill.com/document/doi/10.1515/9783112588666-004/html?lang=de&srsltid=AfmBOoqn5jhu6DxF8kVdBSZSJd-4WLyXQIs_Lt2MIaB-JBk1wNJ-ulKH
Button zum nach oben scrollen