4.2. Momente, Streuung und TSCHEBysCHEWsche Ungleichung

Chapters in this book

1. Frontmatter I
2. VORWORT V
3. INHALTSVERZEICHNIS VII
4. I. Einführung in grundlegende Begriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie
5. 1. Der Baum der Elementarereignisse, der Wahrscheinlichkeitsbegriff
6. 1.1. Versuche mit gleich wahrscheinlichen Ausgängen 1
7. 1.2. Der Baum der Elementarereignisse 8
8. 1.3. Grundlegende Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit, die Additivität und die Stetigkeit 12
9. 1.4. Modell und Wirklichkeit 17
10. 2. Unabhängigkeit und bedingte Wahrscheinlichkeiten
11. 2.1. Der Begriff der Unabhängigkeit 19
12. 2.2. Bedingte Wahrscheinlichkeiten 23
13. 3. Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die Unabhängigkeit
14. 3.1. Diskrete und stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen 26
15. 3.2. Die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung zweier Zufallsgrößen 29
16. 3.3. Abbildungen von Zufallsgrößen 34
17. 3.4. Bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilungen 37
18. 3.5. Mehrdimensionale Zufallsgrößen 38
19. 4. Der Erwartungswert einer Zufallsgröße
20. 4.1. Definition und Eigenschaften des Erwartungswertes 40
21. 4.2. Momente, Streuung und TSCHEBysCHEWsche Ungleichung 45
22. 4.3. Bedingte Erwartungswerte 48
23. 4.4. Der Abstand im quadratischen Mittel und der Korrelationskoeffizient 52
24. 4.5. Einige Konvergenzsätze 56
25. 5. Unbegrenzte Versuchsreihen mit unabhängigen Versuchen und Gesetze der großen Zahlen
26. 5.1. Gesetze der großen Zahlen 62
27. 5.2. Wahrscheinlichkeit und Häufigkeit 65
28. II. Einige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
29. 1. Zufällige Auswahl und zufällige Aufteilung
30. 1.1. Kombinatorische Formeln 68
31. 1.2. Einige Wahrscheinlichkeitsverteilungen für unabhängige Teilchen im Phasenraum 73
32. 2. Die Poissonsche Verteilung, homogene Ereignisströme und Verweilzeiten in einem Zustand
33. 2.1. PoissoNsche Verteilung von Teilchen 82
34. 2.2. Die Zeit bis zum Eintreten eines zufälligen Ereignisses 87
35. 3. Das Bernoullische Versuchsschema und die Brownsche Bewegimg, damit zusammenhängende Wahrscheinlichkeitsverteilungen
36. 3.1. Das BERNOumsche Versuchsschema und die Binomialverteilung, Approximation der Binomialverteilung durch die PoissoNsche Verteilung und durch die Normalverteilung 94
37. 3.2. Die Brownsche Bewegung, die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Maximums und des Zeitpunktes seines ersten Erreichens 101
38. 4. Normalverteilungen und mit Normalverteilungen zusammenhängende Wahrscheinlichkeitsverteilungen
39. 4.1. Mehrdimensionale Normalverteilungen 109
40. 4.2. Die Schätzung der Parameter einer Normalverteilung, die -Verteilung und die STUDENT-Verteilung 117
41. 5. Wahrscheinlichkeitsverteilungen und charakteristische Funktionen
42. 5.1. Charakteristische Funktionen und ihre grundlegenden Eigenschaften 123
43. 5.2. Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsverteilungen 130
44. III. Stochastische Prozesse
45. 1. Definitionen und Beispiele
46. 1.1. Allgemeine Definition stochastischer Prozesse 139
47. 1.2. Marbowsche Prozesse 140
48. 2. Markowsche Ketten, Klassifikation der Zustände, stationäre Verteilungen
49. 2.1. Übergangswahrscheinlichkeiten 144
50. 2.2. Rekurrente und transiente Zustände 149
51. 2.3. Mittlere Verweilzeit in einem Zustand, Klassifikation der Zustände 153
52. 2.4. Ein Ergodensatz (Konvergenz gegen die stationäre Wahrscheinlichkeitsverteilung) 157
53. 3. Markowsche Ketten mit stetiger Zeit
54. 3.1. Differentialgleichungen für die Übergangswahrscheinlichkeiten 165
55. 3.2. Ergodizitätskoeffizient und Konvergenz gegen die stationäre Verteilung 171
56. 4. Verzweigungsprozesse
57. 4.1. Eine Differentialgleichung für die erzeugende Funktion 174
58. 4.2. Aussterben und Explosion von Verzweigungsprozessen 181
59. 5. Einige stochastische Prozesse in der Bedienungstheorie und Irrfahrten
60. 5.1. Erneuerungsprozesse 182
61. 5.2. Folgen von Summen unabhängiger Zufallsgrößen, Verteilung des Maximums 188
62. 5.3. Stochastische Prozesse in Systemen mit einem Bedienungsgerät 196
63. 6. Stochastische Prozesse in linearen Systemen
64. 6.1. Einige einführende Bemerkungen 203
65. 6.2. Das stochastische Integral 207
66. 6.3. Konvergenz gegen einen stationären Prozeß 211
67. 6.4. Prozesse mit Brechungseffekt 213
68. 7. Stationäre Prozesse
69. 7.1. Spektraldarstellung stationärer Prozesse und Fourier-Transformation 218
70. 7.2. Lineare Transformationen, Beispiele 227
71. 8. Diffusionsprozesse
72. 8.1. Stochastische Prozesse, die als stochastisches Integral im Sinne von ITO darstellbar sind 235
73. 8.2. Die Kolmogorowschen Differentialgleichungen 247
74. IV. Prognose und Filtration stochastischer Prozesse
75. 1. Die Aufgabe der besten Approximation, Beispiele 254
76. 2. Prognose und Filtration stationärer Prozesse
77. 2.1. Die Aufgabe der linearen Prognose 261
78. 2.2. Lineare Filtration (Schätzen des Mittelwertes) 265
79. 3. Bedingte Erwartungen und einige Aufgaben der Prognose und Filtration
80. 3.1. Ergänzende Bemerkungen zu den bedingten Erwartungen 272
81. 3.2. Die Rolle der a-posteriori-Wahrscheinlichkeiten in einigen Aufgaben der Prognose und Filtration 278
82. SACHVERZEICHNIS 285