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6 Das Riemann-Stieltjes-Integral

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Analysis
Ein Kapitel aus dem Buch Analysis
6 DasRiemann-Stieltjes-IntegralDiesesKapitelbasiertaufeinerDefinitiondesRiemann-Integrals,diesehrexplizitvonder Ordnungsstruktur der reellen Zahlengeraden abhängt. Wir befassen uns daherzunächstmitderIntegrationreellwertigerFunktionenaufIntervallen.Erweiterungenaufkomplex-undvektorwertigeFunktionenwerdeninspäterenAbschnittenbehan-delt.DieIntegrationüberMengen,diekeineIntervallesind,wirdindenKapiteln10und11besprochen.DefinitionundExistenzdesIntegrals6.1Definition.Sei[a,b]einvorgegebenesIntervall.UntereinerPartitionPvon[a,b]verstehenwireineendlicheMengevonPunktenx0,x1,...,xnmita=x0≤x1≤⋅⋅⋅≤xn=b.WirschreibenΔxi=xi−xi−1(i=1,...,n).SeifeinebeschränktereelleFunktion,definiertauf[a,b].EntsprechendjederPartiti-onPvon[a,b]setzenwirMi=supf(x)(xi−1≤x≤xi),mi=inff(x)(xi−1≤x≤xi),S(P,f)=n∑i=1MiΔxi,s(P,f)=n∑i=1miΔxi,undschließlich∫bafdx=infS(P,f),(6.1)∫bafdx=sups(P,f),(6.2)wobeidasInfimumunddasSupremumüberallePartitionenPvon[a,b]genommenwird.DielinkenSeitenvon(6.1)und(6.2)heißendasoberebzw.dasunterRiemann-Integralvonfüber[a,b].Sind das obere und das untere Integral gleich, dann nennt manf Riemann-integrierbarauf[a,b]undschreibtf∈ℛ(d.h.,ℛbezeichnetdieMengeallerRiemann-integrierbaren Funktionen). Den gemeinsamen Wert von (6.1) und (6.2) bezeichnethttps://doi.org/10.1515/9783110750430-006
© 2021 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Boston

6 DasRiemann-Stieltjes-IntegralDiesesKapitelbasiertaufeinerDefinitiondesRiemann-Integrals,diesehrexplizitvonder Ordnungsstruktur der reellen Zahlengeraden abhängt. Wir befassen uns daherzunächstmitderIntegrationreellwertigerFunktionenaufIntervallen.Erweiterungenaufkomplex-undvektorwertigeFunktionenwerdeninspäterenAbschnittenbehan-delt.DieIntegrationüberMengen,diekeineIntervallesind,wirdindenKapiteln10und11besprochen.DefinitionundExistenzdesIntegrals6.1Definition.Sei[a,b]einvorgegebenesIntervall.UntereinerPartitionPvon[a,b]verstehenwireineendlicheMengevonPunktenx0,x1,...,xnmita=x0≤x1≤⋅⋅⋅≤xn=b.WirschreibenΔxi=xi−xi−1(i=1,...,n).SeifeinebeschränktereelleFunktion,definiertauf[a,b].EntsprechendjederPartiti-onPvon[a,b]setzenwirMi=supf(x)(xi−1≤x≤xi),mi=inff(x)(xi−1≤x≤xi),S(P,f)=n∑i=1MiΔxi,s(P,f)=n∑i=1miΔxi,undschließlich∫bafdx=infS(P,f),(6.1)∫bafdx=sups(P,f),(6.2)wobeidasInfimumunddasSupremumüberallePartitionenPvon[a,b]genommenwird.DielinkenSeitenvon(6.1)und(6.2)heißendasoberebzw.dasunterRiemann-Integralvonfüber[a,b].Sind das obere und das untere Integral gleich, dann nennt manf Riemann-integrierbarauf[a,b]undschreibtf∈ℛ(d.h.,ℛbezeichnetdieMengeallerRiemann-integrierbaren Funktionen). Den gemeinsamen Wert von (6.1) und (6.2) bezeichnethttps://doi.org/10.1515/9783110750430-006
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Kapitel in diesem Buch

  1. Frontmatter I
  2. Vorwort V
  3. Aus dem Vorwort zur 1. amerikanischen Auflage VII
  4. Inhaltsverzeichnis IX
  5. 1 Die Systeme der reellen und komplexen Zahlen 1
  6. 2 Einführung in die Topologie 25
  7. 3 Zahlenfolgen und Reihen 48
  8. 4 Stetigkeit 84
  9. 5 Differentiation 104
  10. 6 Das Riemann-Stieltjes-Integral 122
  11. 7 Folgen und Reihen von Funktionen 146
  12. 8 Einige spezielle Funktionen 176
  13. 9 Funktionen mehrerer Variablen 209
  14. 10 Integration von Differentialformen 252
  15. 11 Die Lebesguesche Theorie 310
  16. Weiterführende Literatur 345
  17. Liste spezieller Symbole 347
  18. Sachverzeichnis 349
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https://doi.org/10.1515/9783110750430-006

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  2. Vorwort V
  3. Aus dem Vorwort zur 1. amerikanischen Auflage VII
  4. Inhaltsverzeichnis IX
  5. 1 Die Systeme der reellen und komplexen Zahlen 1
  6. 2 Einführung in die Topologie 25
  7. 3 Zahlenfolgen und Reihen 48
  8. 4 Stetigkeit 84
  9. 5 Differentiation 104
  10. 6 Das Riemann-Stieltjes-Integral 122
  11. 7 Folgen und Reihen von Funktionen 146
  12. 8 Einige spezielle Funktionen 176
  13. 9 Funktionen mehrerer Variablen 209
  14. 10 Integration von Differentialformen 252
  15. 11 Die Lebesguesche Theorie 310
  16. Weiterführende Literatur 345
  17. Liste spezieller Symbole 347
  18. Sachverzeichnis 349
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