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8. Chemie der Metalle

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Chemie
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Chemie der Metalle8.1 Theoretische Grundlagen8.1.1 Anwendung der Gruppentheorie auf SymmetriegruppenSymmetriegruppenEineSymmetriegruppeoderPunktgruppe(Abschnitt 2.4.1) mit der Gruppenord-nunghenthälthElementeR1,R2...Rh. Das SymbolR, einOperator, steht allge-mein für die SymmetrieoperationenCnundSn. Ein quadratisches Schema, dasAuskunft gibt über das Ergebnis allerh2-VerknüpfungenRiRjnennt man eineGruppentafel;Verknüpfungbedeutet dabei das Hintereinanderausführen von erstRi, dannRj, symbolisiert durch das Hintereinanderschreiben wie die Faktoren ei-nes Produkts. Als Beispiele seien die Gruppentafeln der PunktgruppenC2vundC3vangegeben, wie sie sich aus den beiden Punkteskizzen ergeben; die HauptachsenC2bzw.C3liegen in derz-Richtung, gedreht werde im Gegenuhrzeigersinn, und derZeilenoperator seiRi, der SpaltenoperatorRj:EEEC2ssxzyzEC2ssxzyzCE2ssyzxzssxzyzEC2ssyzxzCE2C2C2sxzsxzsxzsyzsyzsyzECC332123sssECC332123ssssss123332ECCsss231323CECCCEsss312332CCE332312sssCEC323231sssC3C3C32C32s1s1s1s2s2s2s3s3s3EEAußer dass eine Verknüpfungsvorschrift definiert ist, werden Symmetriegruppenauch dadurch zu Gruppen im Sinne der Theorie, dass einEinheitselementund zujedem Element einInversesdefiniert sind und dass dasassoziative Gesetzgilt. DasEinheitselement ist der OperatorEmit der EigenschaftERiRiRiEfür alle i.Die Gültigkeit des assoziativen Gesetzes bedeutet (in Analogie zur Multiplikationvon Zahlen), dassRiRjRk(RiRj)RkRi(RjRk). Für das InverseR1vonRmuss geltenR1RE. Aus den beiden letzten Sätzen folgt direkt, dassR1EER1(R1R)R1R1(RR1) und damit dassRR1E; wenn alsoR1zuR, dann ist auchRzuR1invers. Dabei gilt daskommutative Gesetz RiRjRjRiim Allgemeinen nicht, wie man sich anhand der Gruppentafel fürC3vbei denKombinationen vonC3mitσüberzeugen kann (z. B.C3σ1σ2, aberσ1C3σ3).Wie aber eben erläutert gilt das kommutative Gesetz immer für die VerknüpfungvonRimitEund mitRi1. Bei den sog.zweizähligen Elementen, d. s. die Elemente

Chemie der Metalle8.1 Theoretische Grundlagen8.1.1 Anwendung der Gruppentheorie auf SymmetriegruppenSymmetriegruppenEineSymmetriegruppeoderPunktgruppe(Abschnitt 2.4.1) mit der Gruppenord-nunghenthälthElementeR1,R2...Rh. Das SymbolR, einOperator, steht allge-mein für die SymmetrieoperationenCnundSn. Ein quadratisches Schema, dasAuskunft gibt über das Ergebnis allerh2-VerknüpfungenRiRjnennt man eineGruppentafel;Verknüpfungbedeutet dabei das Hintereinanderausführen von erstRi, dannRj, symbolisiert durch das Hintereinanderschreiben wie die Faktoren ei-nes Produkts. Als Beispiele seien die Gruppentafeln der PunktgruppenC2vundC3vangegeben, wie sie sich aus den beiden Punkteskizzen ergeben; die HauptachsenC2bzw.C3liegen in derz-Richtung, gedreht werde im Gegenuhrzeigersinn, und derZeilenoperator seiRi, der SpaltenoperatorRj:EEEC2ssxzyzEC2ssxzyzCE2ssyzxzssxzyzEC2ssyzxzCE2C2C2sxzsxzsxzsyzsyzsyzECC332123sssECC332123ssssss123332ECCsss231323CECCCEsss312332CCE332312sssCEC323231sssC3C3C32C32s1s1s1s2s2s2s3s3s3EEAußer dass eine Verknüpfungsvorschrift definiert ist, werden Symmetriegruppenauch dadurch zu Gruppen im Sinne der Theorie, dass einEinheitselementund zujedem Element einInversesdefiniert sind und dass dasassoziative Gesetzgilt. DasEinheitselement ist der OperatorEmit der EigenschaftERiRiRiEfür alle i.Die Gültigkeit des assoziativen Gesetzes bedeutet (in Analogie zur Multiplikationvon Zahlen), dassRiRjRk(RiRj)RkRi(RjRk). Für das InverseR1vonRmuss geltenR1RE. Aus den beiden letzten Sätzen folgt direkt, dassR1EER1(R1R)R1R1(RR1) und damit dassRR1E; wenn alsoR1zuR, dann ist auchRzuR1invers. Dabei gilt daskommutative Gesetz RiRjRjRiim Allgemeinen nicht, wie man sich anhand der Gruppentafel fürC3vbei denKombinationen vonC3mitσüberzeugen kann (z. B.C3σ1σ2, aberσ1C3σ3).Wie aber eben erläutert gilt das kommutative Gesetz immer für die VerknüpfungvonRimitEund mitRi1. Bei den sog.zweizähligen Elementen, d. s. die Elemente

Chapters in this book

  1. Frontmatter I
  2. Inhalt IX
  3. 1. Struktur der Atome 1
  4. 2. Struktur der Moleküle 49
  5. 3. Struktur kristalliner Festkörper 129
  6. 4. Reaktionen: Thermodynamik und Kinetik 243
  7. 5. Säure/Base- und Redoxreaktionen 333
  8. 6. Molekülchemie mit Carbon als Zentralatom: Organische Chemie 433
  9. 7. Chemie der Nicht- und Halbmetalle 625
  10. 8. Chemie der Metalle 775
  11. Anhang I: Übungsaufgaben 915
  12. Anhang II: Lösungen der Übungsaufgaben 927
  13. Backmatter 941
Auch von Interesse für Lesende:
https://doi.org/10.1515/9783110211351.775

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  1. Frontmatter I
  2. Inhalt IX
  3. 1. Struktur der Atome 1
  4. 2. Struktur der Moleküle 49
  5. 3. Struktur kristalliner Festkörper 129
  6. 4. Reaktionen: Thermodynamik und Kinetik 243
  7. 5. Säure/Base- und Redoxreaktionen 333
  8. 6. Molekülchemie mit Carbon als Zentralatom: Organische Chemie 433
  9. 7. Chemie der Nicht- und Halbmetalle 625
  10. 8. Chemie der Metalle 775
  11. Anhang I: Übungsaufgaben 915
  12. Anhang II: Lösungen der Übungsaufgaben 927
  13. Backmatter 941
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© 2025 De Gruyter Brill
Downloaded on 10.10.2025 from https://www.degruyterbrill.com/document/doi/10.1515/9783110211351.775/html?licenseType=restricted&srsltid=AfmBOoqcQDGuZhf4xFmUBCas2g7kna1gP1n84ErQBBPsw8BcZO9HWsGF
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