Messunsicherheitsbetrachtungen an einem fünfachsigen Nano-Koordinatenmessgerät NMM-5D nach einem vektoriellen Ansatz

2.1 NMM-1

Die NMM-1 ist ein 3D-Abbe-Komparator [7]. Die Probe wird relativ zu einem ortsfesten, punktförmig antastenden optischen Sensor bewegt. In einem Bewegungsbereich von 25mm×25mm×5mm wird die Position der Probe durch je ein Michelson-Interferometer [8] in ex→-, ey→-, und ez→-Richtung erfasst. Dazu befindet sich die Probe auf einer sogenannten Raumspiegelecke deren Außenseiten verspiegelt sind und als Reflektor für die Interferometer dienen. Die Messachsen der Interferometer schneiden sich im Antastpunkt des Sensors und das Abbe-Komparator Prinzip ist in allen Messrichtungen eingehalten [9].

2.2 Vektorielles Messunsicherheitsmodell der NMM-1

Um den komplexen Zusammenhängen und deren Auswirkungen auf die Messunsicherheit bei Messaufgaben der NMM-1 gerecht zu werden, wird die Messung des Einzelpunktes als geschlossener Vektorzug aus verschiedenen Untervektoren betrachtet. Man spricht dabei von einem vektoriellen Messunsicherheitsmodell. Im GUM wird in erster Linie die Messunsicherheitsbetrachtung an skalaren Größen beschrieben. Bei der Beschreibung von Messungen im dreidimensionalen Raum stößt dieses Vorgehen hinsichtlich der Übersichtlichkeit an seine Grenzen. Um die Modellbildung zu vereinfachen, wird jeder Einfluss auf den Messpunkt durch einen dreidimensionalen Vektor beschrieben. Jeder dieser Vektoren ist das Ergebnis einzelner Untermodelle. Diese Vektoren bilden in Summe einen geschlossenen Vektorzug. Somit kann die Messunsicherheit für den Abstand zwischen zwei Messpunkten, wie beispielsweise bei der Vermessung eines Stufenhöhennormals, als Differenz zwischen zwei dieser Vektorzüge beschrieben werden [10]. Es ist dabei darauf zu achten, dass die einzelnen Vektoren der Untermodelle keine Korrelationen zwischen den Eingangsgrößen aufweisen. Mit Hilfe dieser vektoriellen Zerlegung in Untermodelle, kann deren Einfluss auf das Messergebnis leichter und systematischer modelliert werden und die vollständige Modellgleichung kann als Summe der Vektoren der Untermodelle dargestellt werden.

3.1 Kinematisches Konzept

Das Rotationssystem besteht aus zwei unabhängigen, motorisierten Rotationspositionierern deren Drehachsen sich ebenfalls im Abbe-Punkt schneiden. Diese beiden Rotationspositionierer sind seriell angeordnet und an dem Letzten ist der Sensor befestigt (siehe Abbildung 1; Teil 6 und 7). Bei dem ersten Rotationspositionierer handelt es sich um einen wälzgelagerten Drehtisch mit Schrittmotor und Rotationsencoder [11]. Die zweite Positionierer ist ein wälzgelagertes Goniometer mit Schrittmotor und Rotationsencoder [12]. Ein Goniometer hat keine geschlossene Führungsbahn und erlaubt daher nur eine diskontinuierliche Bewegung in einem Bereich von −45° bis +45°. Der Sensor wird so an dem Goniometer befestigt, dass der Antastpunkt des Sensors im Schnittpunkt der beiden Rotationsachsen liegt. So wird das Abbe-Komparatorprinzip weiterhin strikt eingehalten.

Der Antastpunkt erfährt ausschließlich eine Änderung seiner Ausrichtung, jedoch keine Verschiebung. Somit wird das Messvolumen der NMM-1 nicht eingeschränkt. Die Ausrichtung des Sensors wird in Kugelkoordinaten mit dem Azimutwinkel (φ) und dem Polarwinkel (Θ) beschrieben. Da die beiden Drehachsen immer senkrecht aufeinander stehen, können sowohl der Polarwinkel als auch der Azimutwinkel unabhängig voneinander vorgegeben werden. Grundsätzlich kann mit diesem kinematischen Aufbau eine Ausrichtung von φ=0°–90° für den Azimutwinkel und Θ=0°–360° für den Polarwinkel erreicht werden. Auf Grund von Begebenheiten im Bauraum der bestehenden NMM-1 wird der Bewegungsbereich auf φ=0°–60° eingeschränkt [13], [14].

3.2 In-Situ-Messsystem

Auf Grund der unvermeidbar auftretenden Führungsabweichungen und der nicht perfekten Justierung in den verwendeten Positionierern erfährt der Antastpunkt des Sensors eine systematische und eine zufällige Verlagerung [15]. Die systematische Verlagerung entsteht durch systematische Bahnabweichungen im Rahmen der Wiederholbarkeit der Dreheinheiten, sowie eine unzulängliche Ausrichtung zwischen den beiden Rotationsachsen und dem Antastpunkt des Sensors. Zufällige Abweichungen entstehen zum einen im Wälzlager, aber auch durch eine Variation verschiedener Störgrößen, wie der Temperatur, die nicht in einem Modell abgebildet werden können. Diese unbekannte Verlagerung des Antastpunktes geht direkt in die erreichbare Messunsicherheit des Einzelpunktes ein. Messungen haben gezeigt, dass diese Abweichung in der Größenordnung einiger 10 µm liegen können [15]. Grundsätzlich kann diese Abweichung im Messprozess durch ein zusammensetzen benachbarter Segmente der Messung durch Stitching vermindert werden. Die Resultate dieser Techniken sind jedoch stark von der zu untersuchenden Oberfläche, wie auch von der Geometrie und der Messaufgabe abhängig. Nicht kontinuierliche Flächen, die keine kontinuierliche Messung erlauben, können nicht durch Stitching gemessen werden.

Abb. 2

Vereinfachtes 3D Modell der NMM-5D. Beschriftung analog zu Abbildung 1. 1 – Spiegelecke mit Messobjekt; 2 – Z-Interferometer; 6 – Drehtisch (Θ); 7 – Goniometer (φ); 8 – Fabry-Pérot-Interferometer; 9 – Referenzhemisphäre.

3.2.2 Lage des bewegten Koordinatensystems

Die Ausgangslage des Koordinatensystems ⟨F1→,F2→,F3→⟩ des Referenzmesssystems kann durch Rotation um die Koordinatenachsen des Maschinenkoordinatensystems ⟨ex→,ey→,ez→⟩ gewonnen werden. Dabei ist Rx(α) die Rotationsmatrix um die x-Achse, Ry(β) die Rotationsmatrix um die y-Achse und Rz(γ) die Rotationsmatrix um die z-Achse. Es ergibt sich somit für die Ausgangslage der Basisvektoren ⟨F1→,F2→,F3→⟩:

(1)F1→=Rxα·Ryβ·Rzγex→F2→=Rxα·Ryβ·Rzγey→F3→=Rxα·Ryβ·Rzγez→

Das von den Fabry-Pérot-Interferometern aufgespannte Koordinatensystem ist ein bewegliches Koordinatensystem, dessen Lage durch die Aktorstellung des Drehtisches und des Goniometers bestimmt wird. Dabei erzeugt der Drehtisch eine Rotation Rz(Θ) um die ez-Achse und das Goniometer eine Rotation Rz(φ) um die ey-Achse. Es ergibt sich für die Basisvektoren des ⟨F1→,F2→,F3→⟩ Koordinatensystem in Abhängigkeit von Θ und φ:

(2)F1→=RzΘRyφRxα0Rzγ0ex→F2→=RzΘRyφRxα0Rzγ0ey→F3→=RzΘRyφRxα0Rzγ0ez→

Abb. 3

Von den Fabry-Pérot-Interferometern bei vollständiger Ausnutzung des Bewegungsbereichs überstrichene Fläche der Referenzhemisphäre.

Um die wirtschaftlichen und technologischen Herausforderungen bei der Beschaffung und Herstellung der Referenzhemisphäre minimal zu halten, kann die Ausgangslage des Koordinatensystems so gewählt werden, dass der benötigte Ausschnitt der Referenzsphäre für den Bewegungsbereich von γ=0°–60° optimiert wird. Das Koordinatensystem des in-situ-Referenzmesssystems ist im Vergleich zum Maschinenkoordinatensystem um γ0=45° um die ez-Achse und um α0=50° um die ex-Achse rotiert. Mit Gleichung (2) können die von den Fabry-Pérot-Interferometern überstrichenen Flächen bestimmt werden. Mit dieser Ausgangslage wird bei vollständiger Ausnutzung des Bewegungsbereichs die in Abbildung 3 grau dargestellte Fläche sowohl vom F1→- als auch vom F2→ Interferometer überstrichen. Das F3→ Interferometer überstreicht dabei die rot dargestellte Fläche. Diese Flächen stellen gleichzeitig die minimal notwendige Fläche der Referenzhemisphäre dar.

3.3 Versuchsaufbau

Passend zu dem vorgestellten Konzept wurde ein praktischer Versuchsaufbau realisiert. Abbildung 4 zeigt den mechanischen Aufbau des Gesamtsystems. Aus ökonomischen Gründen wird die Referenzhemisphäre aus tiefgezogenem Edelstahl gefertigt. Die Reflektionseigenschaften werden auf der Innenseite mit einem manuellen Polierverfahren erreicht. Da die Formabweichungen der Referenzhemisphäre zum Erreichen von Unsicherheiten im Nanometerbereich kalibriert werden müssen, ist die Amplitude dieser Formabweichung vernachlässigbar, solang die Messung durch die Fabry-Pérot-Interferometer nicht negativ beeinflusst wird.

Abb. 4

Laboraufbau der NMM-5D mit Referenzehmisphäre aus tiefgezogenem Edelstahl. 1 – Referenzhemisphäre; 2 – Justage Einheit; 3 – NMM-1; 4 – Granitfundament.

4.1 Koordinatentransformationsmodell

Wie im Abschnitt 3.2.2 beschrieben, müssen die mittels des in-situ-Referenzmesssystems gemessenen Bahnabweichungen in das Maschinenkoordinatensystem transformiert werden. Auf Grund der unsicheren Ursprungslage (α0 und γ0) des Gesamtsystems und den Abweichungsbehafteten Drehwinkeln (Θ und φ) ergibt sich eine Unsicherheit bei der Rücktransformation der im bewegten Koordinatensystem ⟨F1→,F2→,F3→⟩ gemessenen Verschiebungen in das Maschinenkoordinatensystem ⟨ee→,ey→,ez→⟩.

Da zum aktuellen Zeitpunkt der Veröffentlichung noch keine Verschiebungen vorliegen wird eine virtuelle Verschiebung des Antastpunktes in Maschinenkoordinaten xi, yi und zi von

in eine Verschiebung entlang der Messachsen der Fabry-Pérot-Interferometer (fF1i, fF2i und fF3i) umgerechnet. Dazu werden die unsicherheitsfreien Transformationsmatrizen aus Gleichung (2) verwendet.

Anschließend erfolgt die Rücktransformation mit den unsicherheitsbehafteten Drehwinkeln der Transformationsmatrizen. Die Unsicherheiten für die Winkellage des bewegten Koordinatensystems können für die Rotationssysteme (Θ, φ) aus Voruntersuchungen und für die Ausgangslage (α0, γ0) durch eine Analyse von Form und Lagetoleranzen gewonnen werden. Es ergibt sich eine Messunsicherheit der Verschiebung des Antastpunktes xF von 3 nm (k=1). In Tabelle 1 ist das Messunsicherheitsbudget mit allen Eingangsgrößen und Unsicherheiten dargestellt.

4.2 Orthogonalitätsmodell des Koordinatenesystems

Das von den Basisvektoren ⟨F1→,F2→,F3→⟩ des Referenzmesssystem aufgespannte Koordinatensystem weist Abweichungen vom idealen kartesischen Koordinatensystem auf. Sind die Winkel zwischen den Basisvektoren ungleich 90°,

ergibt sich das schiefwinkelige Koordinatensystem ⟨F1S→,F2S→,F3S→⟩. Dabei ist φ12 der Winkel zwischen F1→ und F2→, φ23 der Winkel zwischen F2→ und F3→ und φ13 der Winkel zwischen F1→ und F3→. Diese Abweichungen können analog zu den Betrachtungen am nicht orthogonalen Messspiegel der NMM-1 bzw. NPMM-200 aus übernommen werden [20]. Die Transformationsmatrix für die Umrechnung von Basisvektoren des orthogonalen Koordinatensystems in die Vektoren des schiefwinkeligen Koordinatensystems können Gleichung (4) entnommen werden.

mit:

Um das schiefwinkelige Koordinatensystem zu berechnen wird das Mit Hilfe der Gleichung 4 ein schiefwinkeliges Koordinatensystem ⟨exu→,eyu→,ezu→⟩ aus dem Basiskoordinatensystem ⟨ex→,ey→,ez→⟩ berechnet. Es ergibt sich der folgende Zusammenhang für die Transformation:

Die Transformationsmatrix (4) gilt für den Fall, dass die Vektoren des orthogonalen Koordinatensystems und des schiefwinkeligen Koordinatensystem in ez→ Richtung aufeinander liegen. Es gilt: ez→=ezs→.

Die tatsächliche Schiefwinkeligkeit zwischen den Basisvektoren muss abgeschätzt werden. Ein direktes Messen ist nicht möglich, da die Basisvektoren physisch durch die Strahlausbreitungsrichtung der Fabry-Pérot-Interferometer definiert werden. Ohne weitere Kenntnisse wird eine Abweichung von

mit einer Unsicherheit von u=1.2mrad angenommen. Da für eine zu erwartende Winkelabweichung von 0° die Transformationsmatrix (4) mit der Einheitsmatrix übereinstimmt, werden die partiellen Ableitungen zu null. Zusammen mit der stark nichtlinearen Abhängigkeit der Basisvektoren von den Winkelabweichungen wird die Anwendung der Monte Carlo Simulation zur Bestimmung der Unsicherheit entsprechend dem GUM Supplement 1 [21] notwendig.

4.2.1 Monte Carlo Simulation

Die Bestimmung der Unsicherheiten erfolgt mit Hilfe einer Monte Carlo Simulation auf Basis der oben genannten Eingangsgrößen. Die Betrachtungen erfolgen für alle drei Basisvektoren ⟨ex→,ey→,ez→⟩. Dabei gilt.

(7)exu→=ex1uex2uex3u

Die Simulation erfolgt mit n=1×108 samples. In Abbildung 5 ist die Verteilung der ersten Komponente ex1u des Basisvektors ex→ dargestellt. Zur besseren Skalierung ist der Wert des Einheitsvektors abgezogen und mit dem Faktor 1×10^-6 skaliert. Es ergibt sich eine einseitige Verteilung mit einem Erwartungswert und Standardunsicherheit von ex1u=1+1.59±0.97·10−6 für eine Überdeckungswahrscheinlichkeit von p=68%. Analog dazu können die verbleibenden Komponenten der unsicheren Basisvektoren ebenfalls mit Hilfe der Monte Carlo Methode bestimmt werden. Es ergeben sich die folgenden Basisvektoren mit ihren Unsicherheiten:

(8)exu→=100+[1.59±0.97]·10−60±0.00±0.0eyu→=010+[−9±1457]·10−6[0.8±0.8]·10−60±0.0ezu→=001+[−0.3±1475.0]·10−6[−1±1472]·10−60±0.0

Auf Grund der Lage ez→=ezs→ ist die Komponente ez3u nicht unsicherheitsbehaftet.

Abb. 5

Histogramm der Komponente ex1u des Basisvektors ex→ in Folge eines schiefwinkligen Koordinatensystems, ermittelt mit einer Monte Carlo Simulation mit n=1×108 Wiederholungen.

4.3 Gesamt Unsicherheitsmodell

Unter kontrollierten Umweltbedingungen wird die Messunsicherheit der Fabry-Pérot-Interferometern im Wesentlichen von deren Nichtlinearität dominiert. Diese resultieren hauptsächlich aus Doppelreflektionen innerhalb der Fabry-Pérot-Kavität. Auf Grund der geringen Totstrecke, dem Arbeitsabstand zwischen Interferometer und Referenzhemisphäre, wird das Messergebnis durch die Schwankungen der Luftbrechzahl in Folge von nicht stabilen Umweltbedingungen, nicht signifikant beeinflusst. Des Weiteren liefert die Frequenzstabilität fL des verwendeten Lasers ebenfalls einen Beitrag [22], [18]. Die Nichtlinearität liegt in einem Bereich von ±13nm, das entspricht unter Annahme einer Rechteckverteilung einer Standardunsicherheit von 7.5 nm [16]. Weiterhin wurde das thermische Verhalten in Folge der unterschiedlichen thermischen Ausdehnungskoeffizienten nicht berücksichtigt.

Es gilt für die Verschiebung des Antastpunktes auf Grundlage von Gleichung 2:

Dabei beinhalten die gemessenen Verschiebungen f1, f2, f3 die Unsicherheiten der Fabry-Pérot-Interferometer. Die Berechnung erfolgt unter der Anwendung der in Abschnitt 4.1 beschriebenen virtuellen Verschiebung von 30 µm. Es ergibt sich für die mit dem Referenzmesssystem der NMM-5D unter Vernachlässigung der Formabweichung der Referenzhemisphäre ermittelte Verschiebung XRef, das in Tabelle 2 dargestellte Gesamt-Messunsicherheitsbudget. Gleichzeitig sind auch die Erwartungswerte und Standardunsicherheiten für die Verschiebung in y und z Richtung angegeben, dafür ist jedoch die Aufteilung des Budgets nicht gültig.

Es ergibt sich eine Messunsicherheit von 71 nm (k=1, p=68% für die Verschiebung in ex→-Richtung. Die Messunsicherheiten in die anderen Raumrichtungen liegen mit 40 nm in ey→-Richtung und 57 nm in ez→-Richtung geringfügig unter der Verschiebung in ex→-Richtung. Das Messunsicherheitsbudget ist deutlich von den unbekannten Orthogonalitätsabweichungen des Koordinatensystems dominiert. Dem gegenüber ist der Einfluss der Fabry-Pérot-Interferometer und der Ausrichtung des Koordinatensystems vernachlässigbar klein.