On the Rapoport--Zink space for GU(2, 4) over a ramified prime

Stefania Trentin

doi:10.1515/crelle-2025-0045

Enjoy 40% off

academic books on De Gruyter Brill *

Article

On the Rapoport--Zink space for GU(2, 4) over a ramified prime

Stefania Trentin

Published/Copyright: July 11, 2025

Published by

Become an author with De Gruyter Brill

Author Information Explore this Subject

From the journal Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal) Volume 2025 Issue 826

Abstract

In this work, we study the supersingular locus of the Shimura variety associated to the unitary group GU ⁡ ( 2 , 4 ) over a ramified prime. We show that the associated Rapoport–Zink space is flat, and we give an explicit description of the irreducible components of the reduction modulo 𝑝 of the basic locus. In particular, we show that these are universally homeomorphic to either a generalized Deligne–Lusztig variety for a symplectic group or to the closure of a vector bundle over a classical Deligne–Lusztig variety for an orthogonal group. Our results are confirmed in the group-theoretical setting by the reduction method à la Deligne and Lusztig and the study of the admissible set.

Funding source: European Research Council

Award Identifier / Grant number: 770936

Funding source: Deutsche Forschungsgemeinschaft

Award Identifier / Grant number: 390685587

Award Identifier / Grant number: 444845124

Funding statement: I was supported by the ERC Consolidator Grant 770936: NewtonStrat, by the Ada Lovelace Fellowship of the Cluster of Mathematics Münster funded by the Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG, German Research Foundation) under Germany’s Excellence Strategy EXC 2044 – 390685587, Mathematics Münster: Dynamics-Geometry-Structure, and by the Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG, German Research Foundation) through the Collaborative Research Center TRR326 “Geometry and Arithmetic of Uniformized Structures”, project number 444845124.

A The Gröbner basis of Proposition 2.6

We list here the polynomials of the Gröbner basis 𝐺 used in the proof of Proposition 2.6. To make the notation more readable and the lexicographic order more intuitive, we have substituted the variables x i ⁢ j of Proposition 2.3 with the twenty-one letters of the Italian alphabet. The symmetric matrix 𝑋 used in the proof of Proposition 2.6 becomes in the new notation the following matrix with entries in F p ⁢ [ a , b , … , z ] :

X = ( a b c d e f b g h i l m c h n o p q d i o r s t e l p s u v f m q t v z ) .

The monomial order is then simply the usual alphabetical order. We list here the elements of the Gröbner basis used in the proof of Proposition 2.6 and already divide them into the subsets G i ⁢ j according to Lemma 2.11. We also frame the distinguished generators used in the last part of the proof.

Table 1

G 11 = G a	a + g + n + r + u + z

G 12 = G b	b 2 + g 2 + h 2 + i 2 + l 2 + m 2
	b ⁢ c + g ⁢ h + h ⁢ n + i ⁢ o + l ⁢ p + m ⁢ q
	b ⁢ d + g ⁢ i + h ⁢ o + i ⁢ r + l ⁢ s + m ⁢ t
	b ⁢ e + g ⁢ l + h ⁢ p + i ⁢ s + l ⁢ u + m ⁢ v
	b ⁢ f + g ⁢ m + h ⁢ q + i ⁢ t + l ⁢ v + m ⁢ z
	b ⁢ h − c ⁢ g − c ⁢ r − c ⁢ u − c ⁢ z + d ⁢ o + e ⁢ p + f ⁢ q
	b ⁢ i + c ⁢ o − d ⁢ g − d ⁢ n − d ⁢ u − d ⁢ z + e ⁢ s + f ⁢ t
	b ⁢ l + c ⁢ p + d ⁢ s − e ⁢ g − e ⁢ n − e ⁢ r − e ⁢ z + f ⁢ v
	b ⁢ m + c ⁢ q + d ⁢ t + e ⁢ v − f ⁢ g − f ⁢ n − f ⁢ r − f ⁢ u
	b ⁢ n + b ⁢ r + b ⁢ u + b ⁢ z − c ⁢ h − d ⁢ i − e ⁢ l − f ⁢ m
	b ⁢ o 2 + b ⁢ r 2 + b ⁢ s 2 + b ⁢ t 2 − c ⁢ i ⁢ o − d ⁢ h ⁢ o + d ⁢ i ⁢ n − d ⁢ i ⁢ r + d ⁢ i ⁢ u + d ⁢ i ⁢ z − d ⁢ l ⁢ s − d ⁢ m ⁢ t − e ⁢ i ⁢ s − f ⁢ i ⁢ t
	b ⁢ o ⁢ p + b ⁢ r ⁢ s + b ⁢ s ⁢ u + b ⁢ t ⁢ v − c ⁢ l ⁢ o − d ⁢ h ⁢ p − d ⁢ i ⁢ s + d ⁢ l ⁢ n + e ⁢ i ⁢ z − e ⁢ l ⁢ s − e ⁢ m ⁢ t − f ⁢ i ⁢ v
	b ⁢ o ⁢ q + b ⁢ r ⁢ t + b ⁢ t ⁢ u + b ⁢ t ⁢ z − c ⁢ m ⁢ o − d ⁢ h ⁢ q − d ⁢ i ⁢ t + d ⁢ m ⁢ n − e ⁢ l ⁢ t − f ⁢ m ⁢ t
	b ⁢ o ⁢ s − b ⁢ p ⁢ r − d ⁢ h ⁢ s + d ⁢ i ⁢ p + e ⁢ h ⁢ r − e ⁢ i ⁢ o
	b ⁢ o ⁢ t − b ⁢ q ⁢ r − d ⁢ h ⁢ t + d ⁢ i ⁢ q + f ⁢ h ⁢ r − f ⁢ i ⁢ o
	b ⁢ o ⁢ u − b ⁢ p ⁢ s − d ⁢ h ⁢ u + d ⁢ l ⁢ p + e ⁢ h ⁢ s − e ⁢ l ⁢ o
	b ⁢ o ⁢ v − b ⁢ q ⁢ s − d ⁢ h ⁢ v + d ⁢ m ⁢ p + e ⁢ i ⁢ q − e ⁢ m ⁢ o + f ⁢ h ⁢ s − f ⁢ i ⁢ p
	b ⁢ o ⁢ z − b ⁢ q ⁢ t − d ⁢ h ⁢ z + d ⁢ m ⁢ q + f ⁢ h ⁢ t − f ⁢ m ⁢ o
	b ⁢ p 2 + b ⁢ s 2 + b ⁢ u 2 + b ⁢ v 2 − c ⁢ l ⁢ p − d ⁢ l ⁢ s − e ⁢ h ⁢ p − e ⁢ i ⁢ s + e ⁢ l ⁢ n + e ⁢ l ⁢ r − e ⁢ l ⁢ u + e ⁢ l ⁢ z − e ⁢ m ⁢ v − f ⁢ l ⁢ v
	b ⁢ p ⁢ q + b ⁢ s ⁢ t + b ⁢ u ⁢ v + b ⁢ v ⁢ z − c ⁢ m ⁢ p − d ⁢ m ⁢ s − e ⁢ h ⁢ q − e ⁢ i ⁢ t − e ⁢ l ⁢ v + e ⁢ m ⁢ n + e ⁢ m ⁢ r − f ⁢ m ⁢ v
	b ⁢ p ⁢ t − b ⁢ q ⁢ s − e ⁢ h ⁢ t + e ⁢ i ⁢ q + f ⁢ h ⁢ s − f ⁢ i ⁢ p
	b ⁢ p ⁢ v − b ⁢ q ⁢ u − e ⁢ h ⁢ v + e ⁢ l ⁢ q + f ⁢ h ⁢ u − f ⁢ l ⁢ p
	b ⁢ p ⁢ z − b ⁢ q ⁢ v − e ⁢ h ⁢ z + e ⁢ m ⁢ q + f ⁢ h ⁢ v − f ⁢ m ⁢ p
	b ⁢ q 2 + b ⁢ t 2 + b ⁢ v 2 + b ⁢ z 2 − c ⁢ m ⁢ q − d ⁢ m ⁢ t − e ⁢ m ⁢ v − f ⁢ h ⁢ q − f ⁢ i ⁢ t − f ⁢ l ⁢ v + f ⁢ m ⁢ n + f ⁢ m ⁢ r + f ⁢ m ⁢ u − f ⁢ m ⁢ z
	b ⁢ r ⁢ u − b ⁢ s 2 − d ⁢ i ⁢ u + d ⁢ l ⁢ s + e ⁢ i ⁢ s − e ⁢ l ⁢ r
	b ⁢ r ⁢ v − b ⁢ s ⁢ t − d ⁢ i ⁢ v + d ⁢ m ⁢ s + e ⁢ i ⁢ t − e ⁢ m ⁢ r
	b ⁢ r ⁢ z − b ⁢ t 2 − d ⁢ i ⁢ z + d ⁢ m ⁢ t + f ⁢ i ⁢ t − f ⁢ m ⁢ r
	b ⁢ s ⁢ v − b ⁢ t ⁢ u − e ⁢ i ⁢ v + e ⁢ l ⁢ t + f ⁢ i ⁢ u − f ⁢ l ⁢ s
	b ⁢ s ⁢ z − b ⁢ t ⁢ v − e ⁢ i ⁢ z + e ⁢ m ⁢ t + f ⁢ i ⁢ v − f ⁢ m ⁢ s
	b ⁢ u ⁢ z − b ⁢ v 2 − e ⁢ l ⁢ z + e ⁢ m ⁢ v + f ⁢ l ⁢ v − f ⁢ m ⁢ u

G 13 = G c	c 2 + h 2 + n 2 + o 2 + p 2 + q 2
	c ⁢ d + h ⁢ i + n ⁢ o + o ⁢ r + p ⁢ s + q ⁢ t
	c ⁢ e + h ⁢ l + n ⁢ p + o ⁢ s + p ⁢ u + q ⁢ v
	c ⁢ f + h ⁢ m + n ⁢ q + o ⁢ t + p ⁢ v + q ⁢ z
	c ⁢ g ⁢ i + c ⁢ h ⁢ o + c ⁢ i ⁢ r + c ⁢ l ⁢ s + c ⁢ m ⁢ t − d ⁢ g ⁢ h − d ⁢ h ⁢ n − d ⁢ i ⁢ o − d ⁢ l ⁢ p − d ⁢ m ⁢ q
	c ⁢ g ⁢ l + c ⁢ h ⁢ p + c ⁢ l ⁢ r + c ⁢ l ⁢ u + c ⁢ m ⁢ v + d ⁢ h ⁢ s − d ⁢ l ⁢ o − e ⁢ g ⁢ h − e ⁢ h ⁢ n − e ⁢ h ⁢ r − e ⁢ l ⁢ p − e ⁢ m ⁢ q
	c ⁢ g ⁢ m + c ⁢ h ⁢ q + c ⁢ m ⁢ r + c ⁢ m ⁢ u + c ⁢ m ⁢ z + d ⁢ h ⁢ t − d ⁢ m ⁢ o + e ⁢ h ⁢ v − e ⁢ m ⁢ p − f ⁢ g ⁢ h − f ⁢ h ⁢ n − f ⁢ h ⁢ r − f ⁢ h ⁢ u − f ⁢ m ⁢ q
	c ⁢ h ⁢ i + c ⁢ n ⁢ o + c ⁢ o ⁢ r + c ⁢ p ⁢ s + c ⁢ q ⁢ t − d ⁢ h 2 − d ⁢ n 2 − d ⁢ o 2 − d ⁢ p 2 − d ⁢ q 2
	c ⁢ h ⁢ l + c ⁢ n ⁢ p + c ⁢ p ⁢ r + c ⁢ p ⁢ u + c ⁢ q ⁢ v + d ⁢ n ⁢ s − d ⁢ o ⁢ p − e ⁢ h 2 − e ⁢ n 2 − e ⁢ n ⁢ r − e ⁢ p 2 − e ⁢ q 2
	c ⁢ h ⁢ m + c ⁢ n ⁢ q + c ⁢ q ⁢ r + c ⁢ q ⁢ u + c ⁢ q ⁢ z + d ⁢ n ⁢ t − d ⁢ o ⁢ q + e ⁢ n ⁢ v − e ⁢ p ⁢ q − f ⁢ h 2 − f ⁢ n 2 − f ⁢ n ⁢ r − f ⁢ n ⁢ u − f ⁢ q 2
	c ⁢ h ⁢ o 2 + c ⁢ h ⁢ r 2 + c ⁢ h ⁢ s 2 + c ⁢ h ⁢ t 2 − c ⁢ i ⁢ n ⁢ o − c ⁢ i ⁢ o ⁢ r − c ⁢ l ⁢ p ⁢ r − c ⁢ m ⁢ q ⁢ r − d ⁢ h ⁢ n ⁢ o − d ⁢ h ⁢ o ⁢ r − 2 ⁢ d ⁢ h ⁢ p ⁢ s − 2 ⁢ d ⁢ h ⁢ q ⁢ t + d ⁢ i ⁢ n 2 + d ⁢ i ⁢ o 2 − d ⁢ i ⁢ s 2 − d ⁢ i ⁢ t 2 − d ⁢ i ⁢ u 2 − 2 ⁢ d ⁢ i ⁢ v 2 − d ⁢ i ⁢ z 2 + 2 ⁢ d ⁢ l ⁢ o ⁢ p + d ⁢ l ⁢ r ⁢ s + d ⁢ l ⁢ s ⁢ u + 2 ⁢ d ⁢ m ⁢ o ⁢ q + d ⁢ m ⁢ r ⁢ t + 2 ⁢ d ⁢ m ⁢ t ⁢ u + d ⁢ m ⁢ t ⁢ z + e ⁢ h ⁢ p ⁢ r + e ⁢ i ⁢ r ⁢ s + e ⁢ i ⁢ s ⁢ u + 2 ⁢ e ⁢ i ⁢ t ⁢ v − e ⁢ l ⁢ o 2 − e ⁢ l ⁢ r 2 − e ⁢ l ⁢ s 2 − e ⁢ l ⁢ t 2 + e ⁢ m ⁢ r ⁢ v − 2 ⁢ e ⁢ m ⁢ s ⁢ t + f ⁢ h ⁢ q ⁢ r + f ⁢ i ⁢ r ⁢ t + f ⁢ i ⁢ t ⁢ z + f ⁢ l ⁢ r ⁢ v − f ⁢ m ⁢ o 2 − f ⁢ m ⁢ r 2 − 2 ⁢ f ⁢ m ⁢ r ⁢ u + f ⁢ m ⁢ s 2 − f ⁢ m ⁢ t 2
	c ⁢ h ⁢ o ⁢ p + c ⁢ h ⁢ r ⁢ s + c ⁢ h ⁢ s ⁢ u + c ⁢ h ⁢ t ⁢ v − c ⁢ l ⁢ n ⁢ o − c ⁢ l ⁢ o ⁢ r − c ⁢ l ⁢ p ⁢ s − c ⁢ m ⁢ q ⁢ s − d ⁢ h ⁢ n ⁢ p − d ⁢ h ⁢ p ⁢ r − d ⁢ h ⁢ p ⁢ u − d ⁢ h ⁢ q ⁢ v − d ⁢ i ⁢ n ⁢ s + d ⁢ i ⁢ o ⁢ p + d ⁢ l ⁢ n 2 + d ⁢ l ⁢ n ⁢ r + d ⁢ l ⁢ p 2 + d ⁢ m ⁢ p ⁢ q − e ⁢ h ⁢ q ⁢ t − e ⁢ i ⁢ t 2 − e ⁢ i ⁢ v 2 − e ⁢ i ⁢ z 2 + e ⁢ m ⁢ o ⁢ q + e ⁢ m ⁢ r ⁢ t + e ⁢ m ⁢ s ⁢ v + e ⁢ m ⁢ t ⁢ z + f ⁢ h ⁢ q ⁢ s + f ⁢ i ⁢ s ⁢ t + f ⁢ i ⁢ u ⁢ v + f ⁢ i ⁢ v ⁢ z − f ⁢ m ⁢ o ⁢ p − f ⁢ m ⁢ r ⁢ s − f ⁢ m ⁢ s ⁢ u − f ⁢ m ⁢ t ⁢ v
	c ⁢ h ⁢ o ⁢ q + c ⁢ h ⁢ r ⁢ t + c ⁢ h ⁢ t ⁢ u + c ⁢ h ⁢ t ⁢ z − c ⁢ m ⁢ n ⁢ o − c ⁢ m ⁢ o ⁢ r − c ⁢ m ⁢ p ⁢ s − c ⁢ m ⁢ q ⁢ t − d ⁢ h ⁢ n ⁢ q − d ⁢ h ⁢ q ⁢ r − d ⁢ h ⁢ q ⁢ u − d ⁢ h ⁢ q ⁢ z − d ⁢ i ⁢ n ⁢ t + d ⁢ i ⁢ o ⁢ q + d ⁢ m ⁢ n 2 + d ⁢ m ⁢ n ⁢ r + d ⁢ m ⁢ p 2 + d ⁢ m ⁢ q 2 − e ⁢ l ⁢ n ⁢ t + e ⁢ l ⁢ o ⁢ q + e ⁢ m ⁢ n ⁢ s − e ⁢ m ⁢ o ⁢ p
	c ⁢ h ⁢ p 2 + c ⁢ h ⁢ s 2 + c ⁢ h ⁢ u 2 + c ⁢ h ⁢ v 2 − c ⁢ l ⁢ n ⁢ p − c ⁢ l ⁢ p ⁢ r − c ⁢ l ⁢ p ⁢ u − c ⁢ m ⁢ q ⁢ u − d ⁢ l ⁢ n ⁢ s + d ⁢ l ⁢ o ⁢ p − e ⁢ h ⁢ n ⁢ p − e ⁢ h ⁢ p ⁢ r − e ⁢ h ⁢ p ⁢ u − 2 ⁢ e ⁢ h ⁢ q ⁢ v − e ⁢ i ⁢ n ⁢ s + e ⁢ i ⁢ o ⁢ p + e ⁢ l ⁢ n 2 + 2 ⁢ e ⁢ l ⁢ n ⁢ r − e ⁢ l ⁢ o 2 + e ⁢ l ⁢ p 2 − e ⁢ l ⁢ t 2 − e ⁢ l ⁢ v 2 − e ⁢ l ⁢ z 2 + 2 ⁢ e ⁢ m ⁢ p ⁢ q + e ⁢ m ⁢ s ⁢ t + e ⁢ m ⁢ u ⁢ v + e ⁢ m ⁢ v ⁢ z + f ⁢ h ⁢ q ⁢ u + f ⁢ l ⁢ s ⁢ t + f ⁢ l ⁢ u ⁢ v + f ⁢ l ⁢ v ⁢ z − f ⁢ m ⁢ p 2 − f ⁢ m ⁢ s 2 − f ⁢ m ⁢ u 2 − f ⁢ m ⁢ v 2
	c ⁢ h ⁢ p ⁢ q + c ⁢ h ⁢ s ⁢ t + c ⁢ h ⁢ u ⁢ v + c ⁢ h ⁢ v ⁢ z − c ⁢ m ⁢ n ⁢ p − c ⁢ m ⁢ p ⁢ r − c ⁢ m ⁢ p ⁢ u − c ⁢ m ⁢ q ⁢ v − d ⁢ m ⁢ n ⁢ s
	+ d ⁢ m ⁢ o ⁢ p − e ⁢ h ⁢ n ⁢ q − e ⁢ h ⁢ q ⁢ r − e ⁢ h ⁢ q ⁢ u − e ⁢ h ⁢ q ⁢ z − e ⁢ i ⁢ n ⁢ t + e ⁢ i ⁢ o ⁢ q − e ⁢ l ⁢ n ⁢ v + e ⁢ l ⁢ p ⁢ q
	+ e ⁢ m ⁢ n 2 + 2 ⁢ e ⁢ m ⁢ n ⁢ r + e ⁢ m ⁢ n ⁢ u − e ⁢ m ⁢ o 2 + e ⁢ m ⁢ q 2
	c ⁢ h ⁢ q 2 + c ⁢ h ⁢ t 2 + c ⁢ h ⁢ v 2 + c ⁢ h ⁢ z 2 − c ⁢ m ⁢ n ⁢ q − c ⁢ m ⁢ q ⁢ r − c ⁢ m ⁢ q ⁢ u − c ⁢ m ⁢ q ⁢ z − d ⁢ m ⁢ n ⁢ t + d ⁢ m ⁢ o ⁢ q − e ⁢ m ⁢ n ⁢ v + e ⁢ m ⁢ p ⁢ q − f ⁢ h ⁢ n ⁢ q − f ⁢ h ⁢ q ⁢ r − f ⁢ h ⁢ q ⁢ u − f ⁢ h ⁢ q ⁢ z − f ⁢ i ⁢ n ⁢ t + f ⁢ i ⁢ o ⁢ q − f ⁢ l ⁢ n ⁢ v + f ⁢ l ⁢ p ⁢ q + f ⁢ m ⁢ n 2 + 2 ⁢ f ⁢ m ⁢ n ⁢ r + 2 ⁢ f ⁢ m ⁢ n ⁢ u − f ⁢ m ⁢ o 2 − f ⁢ m ⁢ p 2 + f ⁢ m ⁢ q 2
	c ⁢ i 2 + c ⁢ o 2 + c ⁢ r 2 + c ⁢ s 2 + c ⁢ t 2 − d ⁢ h ⁢ i − d ⁢ n ⁢ o − d ⁢ o ⁢ r − d ⁢ p ⁢ s − d ⁢ q ⁢ t
	c ⁢ i ⁢ l + c ⁢ o ⁢ p + c ⁢ r ⁢ s + c ⁢ s ⁢ u + c ⁢ t ⁢ v − e ⁢ h ⁢ i − e ⁢ n ⁢ o − e ⁢ o ⁢ r − e ⁢ p ⁢ s − e ⁢ q ⁢ t
	c ⁢ i ⁢ m + c ⁢ o ⁢ q + c ⁢ r ⁢ t + c ⁢ t ⁢ u + c ⁢ t ⁢ z + e ⁢ o ⁢ v − e ⁢ p ⁢ t − f ⁢ h ⁢ i − f ⁢ n ⁢ o − f ⁢ o ⁢ r − f ⁢ o ⁢ u − f ⁢ q ⁢ t
	c ⁢ i ⁢ p − c ⁢ l ⁢ o − d ⁢ h ⁢ p + d ⁢ l ⁢ n + e ⁢ h ⁢ o − e ⁢ i ⁢ n
	c ⁢ i ⁢ q − c ⁢ m ⁢ o − d ⁢ h ⁢ q + d ⁢ m ⁢ n + f ⁢ h ⁢ o − f ⁢ i ⁢ n
	c ⁢ i ⁢ s − c ⁢ l ⁢ r − d ⁢ h ⁢ s + d ⁢ l ⁢ o + e ⁢ h ⁢ r − e ⁢ i ⁢ o
	c ⁢ i ⁢ t − c ⁢ m ⁢ r − d ⁢ h ⁢ t + d ⁢ m ⁢ o + f ⁢ h ⁢ r − f ⁢ i ⁢ o
	c ⁢ i ⁢ u − c ⁢ l ⁢ s − d ⁢ h ⁢ u + d ⁢ l ⁢ p + e ⁢ h ⁢ s − e ⁢ i ⁢ p
	c ⁢ i ⁢ v − c ⁢ m ⁢ s − d ⁢ h ⁢ v + d ⁢ m ⁢ p + f ⁢ h ⁢ s − f ⁢ i ⁢ p
	c ⁢ i ⁢ z − c ⁢ m ⁢ t − d ⁢ h ⁢ z + d ⁢ m ⁢ q + f ⁢ h ⁢ t − f ⁢ i ⁢ q
	c ⁢ l 2 + c ⁢ p 2 + c ⁢ s 2 + c ⁢ u 2 + c ⁢ v 2 − e ⁢ h ⁢ l − e ⁢ n ⁢ p − e ⁢ o ⁢ s − e ⁢ p ⁢ u − e ⁢ q ⁢ v
	c ⁢ l ⁢ m + c ⁢ p ⁢ q + c ⁢ s ⁢ t + c ⁢ u ⁢ v + c ⁢ v ⁢ z − f ⁢ h ⁢ l − f ⁢ n ⁢ p − f ⁢ o ⁢ s − f ⁢ p ⁢ u − f ⁢ q ⁢ v
	c ⁢ l ⁢ q − c ⁢ m ⁢ p − e ⁢ h ⁢ q + e ⁢ m ⁢ n + f ⁢ h ⁢ p − f ⁢ l ⁢ n
	c ⁢ l ⁢ t − c ⁢ m ⁢ s − e ⁢ h ⁢ t + e ⁢ m ⁢ o + f ⁢ h ⁢ s − f ⁢ l ⁢ o
	c ⁢ l ⁢ v − c ⁢ m ⁢ u − e ⁢ h ⁢ v + e ⁢ m ⁢ p + f ⁢ h ⁢ u − f ⁢ l ⁢ p
	c ⁢ l ⁢ z − c ⁢ m ⁢ v − e ⁢ h ⁢ z + e ⁢ m ⁢ q + f ⁢ h ⁢ v − f ⁢ l ⁢ q
	c ⁢ m 2 + c ⁢ q 2 + c ⁢ t 2 + c ⁢ v 2 + c ⁢ z 2 − f ⁢ h ⁢ m − f ⁢ n ⁢ q − f ⁢ o ⁢ t − f ⁢ p ⁢ v − f ⁢ q ⁢ z
	c ⁢ o ⁢ s − c ⁢ p ⁢ r − d ⁢ n ⁢ s + d ⁢ o ⁢ p + e ⁢ n ⁢ r − e ⁢ o 2
	c ⁢ o ⁢ t − c ⁢ q ⁢ r − d ⁢ n ⁢ t + d ⁢ o ⁢ q + f ⁢ n ⁢ r − f ⁢ o 2
	c ⁢ o ⁢ u − c ⁢ p ⁢ s − d ⁢ n ⁢ u + d ⁢ p 2 + e ⁢ n ⁢ s − e ⁢ o ⁢ p
	c ⁢ o ⁢ v − c ⁢ q ⁢ s − d ⁢ n ⁢ v + d ⁢ p ⁢ q + f ⁢ n ⁢ s − f ⁢ o ⁢ p
	c ⁢ o ⁢ z − c ⁢ q ⁢ t − d ⁢ n ⁢ z + d ⁢ q 2 + f ⁢ n ⁢ t − f ⁢ o ⁢ q
	c ⁢ p ⁢ t − c ⁢ q ⁢ s − e ⁢ n ⁢ t + e ⁢ o ⁢ q + f ⁢ n ⁢ s − f ⁢ o ⁢ p
	c ⁢ p ⁢ v − c ⁢ q ⁢ u − e ⁢ n ⁢ v + e ⁢ p ⁢ q + f ⁢ n ⁢ u − f ⁢ p 2
	c ⁢ p ⁢ z − c ⁢ q ⁢ v − e ⁢ n ⁢ z + e ⁢ q 2 + f ⁢ n ⁢ v − f ⁢ p ⁢ q
	c ⁢ r ⁢ u − c ⁢ s 2 − d ⁢ o ⁢ u + d ⁢ p ⁢ s + e ⁢ o ⁢ s − e ⁢ p ⁢ r
	c ⁢ r ⁢ v − c ⁢ s ⁢ t − d ⁢ o ⁢ v + d ⁢ q ⁢ s + e ⁢ o ⁢ t − e ⁢ q ⁢ r
	c ⁢ r ⁢ z − c ⁢ t 2 − d ⁢ o ⁢ z + d ⁢ q ⁢ t + f ⁢ o ⁢ t − f ⁢ q ⁢ r
	c ⁢ s ⁢ v − c ⁢ t ⁢ u − e ⁢ o ⁢ v + e ⁢ p ⁢ t + f ⁢ o ⁢ u − f ⁢ p ⁢ s
	c ⁢ s ⁢ z − c ⁢ t ⁢ v − e ⁢ o ⁢ z + e ⁢ q ⁢ t + f ⁢ o ⁢ v − f ⁢ q ⁢ s
	c ⁢ u ⁢ z − c ⁢ v 2 − e ⁢ p ⁢ z + e ⁢ q ⁢ v + f ⁢ p ⁢ v − f ⁢ q ⁢ u

G 14 = G d	d 2 + i 2 + o 2 + r 2 + s 2 + t 2
	d ⁢ e + i ⁢ l + o ⁢ p + r ⁢ s + s ⁢ u + t ⁢ v
	d ⁢ f + i ⁢ m + o ⁢ q + r ⁢ t + s ⁢ v + t ⁢ z
	d ⁢ g ⁢ l + d ⁢ h ⁢ p + d ⁢ i ⁢ s + d ⁢ l ⁢ u + d ⁢ m ⁢ v − e ⁢ g ⁢ i − e ⁢ h ⁢ o − e ⁢ i ⁢ r − e ⁢ l ⁢ s − e ⁢ m ⁢ t
	d ⁢ g ⁢ m + d ⁢ h ⁢ q + d ⁢ i ⁢ t + d ⁢ m ⁢ u + d ⁢ m ⁢ z + e ⁢ i ⁢ v − e ⁢ m ⁢ s − f ⁢ g ⁢ i − f ⁢ h ⁢ o − f ⁢ i ⁢ r − f ⁢ i ⁢ u − f ⁢ m ⁢ t
	d ⁢ h ⁢ l + d ⁢ n ⁢ p + d ⁢ o ⁢ s + d ⁢ p ⁢ u + d ⁢ q ⁢ v − e ⁢ h ⁢ i − e ⁢ n ⁢ o − e ⁢ o ⁢ r − e ⁢ p ⁢ s − e ⁢ q ⁢ t
	d ⁢ h ⁢ m + d ⁢ n ⁢ q + d ⁢ o ⁢ t + d ⁢ q ⁢ u + d ⁢ q ⁢ z + e ⁢ o ⁢ v − e ⁢ q ⁢ s − f ⁢ h ⁢ i − f ⁢ n ⁢ o − f ⁢ o ⁢ r − f ⁢ o ⁢ u − f ⁢ q ⁢ t
	d ⁢ h ⁢ o ⁢ p + d ⁢ h ⁢ r ⁢ s + d ⁢ h ⁢ s ⁢ u + d ⁢ h ⁢ t ⁢ v − d ⁢ i ⁢ n ⁢ p − d ⁢ i ⁢ o ⁢ s − d ⁢ i ⁢ p ⁢ u − d ⁢ i ⁢ q ⁢ v − e ⁢ h ⁢ o 2 − e ⁢ h ⁢ r 2 − e ⁢ h ⁢ s 2 − e ⁢ h ⁢ t 2 + e ⁢ i ⁢ n ⁢ o + e ⁢ i ⁢ o ⁢ r + e ⁢ i ⁢ p ⁢ s + e ⁢ i ⁢ q ⁢ t
	d ⁢ h ⁢ o ⁢ q + d ⁢ h ⁢ r ⁢ t + d ⁢ h ⁢ t ⁢ u + d ⁢ h ⁢ t ⁢ z − d ⁢ i ⁢ n ⁢ q − d ⁢ i ⁢ o ⁢ t − d ⁢ i ⁢ q ⁢ u − d ⁢ i ⁢ q ⁢ z − e ⁢ l ⁢ o ⁢ t + e ⁢ l ⁢ q ⁢ r − f ⁢ h ⁢ o 2 − f ⁢ h ⁢ r 2 − f ⁢ h ⁢ s 2 − f ⁢ h ⁢ t 2 + f ⁢ i ⁢ n ⁢ o + f ⁢ i ⁢ o ⁢ r + f ⁢ i ⁢ p ⁢ s + f ⁢ i ⁢ q ⁢ t + f ⁢ l ⁢ o ⁢ s − f ⁢ l ⁢ p ⁢ r
	d ⁢ h ⁢ p 2 + d ⁢ h ⁢ s 2 + d ⁢ h ⁢ u 2 + d ⁢ h ⁢ v 2 − d ⁢ l ⁢ n ⁢ p − d ⁢ l ⁢ o ⁢ s − d ⁢ l ⁢ p ⁢ u − d ⁢ m ⁢ q ⁢ u − e ⁢ h ⁢ o ⁢ p − e ⁢ h ⁢ r ⁢ s − e ⁢ h ⁢ s ⁢ u − e ⁢ h ⁢ t ⁢ v − e ⁢ i ⁢ q ⁢ v + e ⁢ l ⁢ n ⁢ o + e ⁢ l ⁢ o ⁢ r + e ⁢ l ⁢ p ⁢ s + e ⁢ l ⁢ q ⁢ t + e ⁢ m ⁢ q ⁢ s + f ⁢ i ⁢ q ⁢ u − f ⁢ l ⁢ q ⁢ s
	d ⁢ h ⁢ p ⁢ q + d ⁢ h ⁢ s ⁢ t + d ⁢ h ⁢ u ⁢ v + d ⁢ h ⁢ v ⁢ z − d ⁢ m ⁢ n ⁢ p − d ⁢ m ⁢ o ⁢ s − d ⁢ m ⁢ p ⁢ u − d ⁢ m ⁢ q ⁢ v − e ⁢ i ⁢ n ⁢ q − e ⁢ i ⁢ o ⁢ t − e ⁢ i ⁢ q ⁢ u − e ⁢ i ⁢ q ⁢ z − e ⁢ l ⁢ o ⁢ v + e ⁢ l ⁢ q ⁢ s + e ⁢ m ⁢ n ⁢ o + e ⁢ m ⁢ o ⁢ r + e ⁢ m ⁢ o ⁢ u + e ⁢ m ⁢ q ⁢ t − f ⁢ h ⁢ o ⁢ p − f ⁢ h ⁢ r ⁢ s − f ⁢ h ⁢ s ⁢ u − f ⁢ h ⁢ t ⁢ v + f ⁢ i ⁢ n ⁢ p + f ⁢ i ⁢ o ⁢ s + f ⁢ i ⁢ p ⁢ u + f ⁢ i ⁢ q ⁢ v
	d ⁢ h ⁢ q 2 + d ⁢ h ⁢ t 2 + d ⁢ h ⁢ v 2 + d ⁢ h ⁢ z 2 − d ⁢ m ⁢ n ⁢ q − d ⁢ m ⁢ o ⁢ t − d ⁢ m ⁢ q ⁢ u − d ⁢ m ⁢ q ⁢ z − e ⁢ m ⁢ o ⁢ v + e ⁢ m ⁢ q ⁢ s − f ⁢ h ⁢ o ⁢ q − f ⁢ h ⁢ r ⁢ t − f ⁢ h ⁢ t ⁢ u − f ⁢ h ⁢ t ⁢ z − f ⁢ l ⁢ o ⁢ v + f ⁢ l ⁢ p ⁢ t + f ⁢ m ⁢ n ⁢ o + f ⁢ m ⁢ o ⁢ r + 2 ⁢ f ⁢ m ⁢ o ⁢ u − f ⁢ m ⁢ p ⁢ s + f ⁢ m ⁢ q ⁢ t
	d ⁢ i ⁢ l + d ⁢ o ⁢ p + d ⁢ r ⁢ s + d ⁢ s ⁢ u + d ⁢ t ⁢ v − e ⁢ i 2 − e ⁢ o 2 − e ⁢ r 2 − e ⁢ s 2 − e ⁢ t 2
	d ⁢ i ⁢ m + d ⁢ o ⁢ q + d ⁢ r ⁢ t + d ⁢ t ⁢ u + d ⁢ t ⁢ z + e ⁢ r ⁢ v − e ⁢ s ⁢ t − f ⁢ i 2 − f ⁢ o 2 − f ⁢ r 2 − f ⁢ r ⁢ u − f ⁢ t 2
	d ⁢ i ⁢ p 2 + d ⁢ i ⁢ s 2 + d ⁢ i ⁢ u 2 + d ⁢ i ⁢ v 2 − d ⁢ l ⁢ o ⁢ p − d ⁢ l ⁢ r ⁢ s − d ⁢ l ⁢ s ⁢ u − d ⁢ m ⁢ t ⁢ u − e ⁢ i ⁢ o ⁢ p − e ⁢ i ⁢ r ⁢ s − e ⁢ i ⁢ s ⁢ u − 2 ⁢ e ⁢ i ⁢ t ⁢ v + e ⁢ l ⁢ o 2 + e ⁢ l ⁢ r 2 + e ⁢ l ⁢ s 2 + e ⁢ l ⁢ t 2 + e ⁢ m ⁢ s ⁢ t + f ⁢ i ⁢ t ⁢ u − f ⁢ l ⁢ s ⁢ t
	d ⁢ i ⁢ p ⁢ q + d ⁢ i ⁢ s ⁢ t + d ⁢ i ⁢ u ⁢ v + d ⁢ i ⁢ v ⁢ z − d ⁢ m ⁢ o ⁢ p − d ⁢ m ⁢ r ⁢ s − d ⁢ m ⁢ s ⁢ u − d ⁢ m ⁢ t ⁢ v − e ⁢ i ⁢ o ⁢ q − e ⁢ i ⁢ r ⁢ t − e ⁢ i ⁢ t ⁢ u − e ⁢ i ⁢ t ⁢ z − e ⁢ l ⁢ r ⁢ v + e ⁢ l ⁢ s ⁢ t + e ⁢ m ⁢ o 2 + e ⁢ m ⁢ r 2 + e ⁢ m ⁢ r ⁢ u + e ⁢ m ⁢ t 2
	d ⁢ i ⁢ q 2 + d ⁢ i ⁢ t 2 + d ⁢ i ⁢ v 2 + d ⁢ i ⁢ z 2 − d ⁢ m ⁢ o ⁢ q − d ⁢ m ⁢ r ⁢ t − d ⁢ m ⁢ t ⁢ u − d ⁢ m ⁢ t ⁢ z − e ⁢ m ⁢ r ⁢ v + e ⁢ m ⁢ s ⁢ t − f ⁢ i ⁢ o ⁢ q − f ⁢ i ⁢ r ⁢ t − f ⁢ i ⁢ t ⁢ u − f ⁢ i ⁢ t ⁢ z − f ⁢ l ⁢ r ⁢ v + f ⁢ l ⁢ s ⁢ t + f ⁢ m ⁢ o 2 + f ⁢ m ⁢ r 2 + 2 ⁢ f ⁢ m ⁢ r ⁢ u − f ⁢ m ⁢ s 2 + f ⁢ m ⁢ t 2
	d ⁢ l 2 + d ⁢ p 2 + d ⁢ s 2 + d ⁢ u 2 + d ⁢ v 2 − e ⁢ i ⁢ l − e ⁢ o ⁢ p − e ⁢ r ⁢ s − e ⁢ s ⁢ u − e ⁢ t ⁢ v
	d ⁢ l ⁢ m + d ⁢ p ⁢ q + d ⁢ s ⁢ t + d ⁢ u ⁢ v + d ⁢ v ⁢ z − f ⁢ i ⁢ l − f ⁢ o ⁢ p − f ⁢ r ⁢ s − f ⁢ s ⁢ u − f ⁢ t ⁢ v
	d ⁢ l ⁢ q − d ⁢ m ⁢ p − e ⁢ i ⁢ q + e ⁢ m ⁢ o + f ⁢ i ⁢ p − f ⁢ l ⁢ o
	d ⁢ l ⁢ t − d ⁢ m ⁢ s − e ⁢ i ⁢ t + e ⁢ m ⁢ r + f ⁢ i ⁢ s − f ⁢ l ⁢ r
	d ⁢ l ⁢ v − d ⁢ m ⁢ u − e ⁢ i ⁢ v + e ⁢ m ⁢ s + f ⁢ i ⁢ u − f ⁢ l ⁢ s
	d ⁢ l ⁢ z − d ⁢ m ⁢ v − e ⁢ i ⁢ z + e ⁢ m ⁢ t + f ⁢ i ⁢ v − f ⁢ l ⁢ t
	d ⁢ m 2 + d ⁢ q 2 + d ⁢ t 2 + d ⁢ v 2 + d ⁢ z 2 − f ⁢ i ⁢ m − f ⁢ o ⁢ q − f ⁢ r ⁢ t − f ⁢ s ⁢ v − f ⁢ t ⁢ z
	d ⁢ p ⁢ t − d ⁢ q ⁢ s − e ⁢ o ⁢ t + e ⁢ q ⁢ r + f ⁢ o ⁢ s − f ⁢ p ⁢ r
	d ⁢ p ⁢ v − d ⁢ q ⁢ u − e ⁢ o ⁢ v + e ⁢ q ⁢ s + f ⁢ o ⁢ u − f ⁢ p ⁢ s
	d ⁢ p ⁢ z − d ⁢ q ⁢ v − e ⁢ o ⁢ z + e ⁢ q ⁢ t + f ⁢ o ⁢ v − f ⁢ p ⁢ t
	d ⁢ s ⁢ v − d ⁢ t ⁢ u − e ⁢ r ⁢ v + e ⁢ s ⁢ t + f ⁢ r ⁢ u − f ⁢ s 2
	d ⁢ s ⁢ z − d ⁢ t ⁢ v − e ⁢ r ⁢ z + e ⁢ t 2 + f ⁢ r ⁢ v − f ⁢ s ⁢ t
	d ⁢ u ⁢ z − d ⁢ v 2 − e ⁢ s ⁢ z + e ⁢ t ⁢ v + f ⁢ s ⁢ v − f ⁢ t ⁢ u

G 15 = G e	e 2 + l 2 + p 2 + s 2 + u 2 + v 2
	e ⁢ f + l ⁢ m + p ⁢ q + s ⁢ t + u ⁢ v + v ⁢ z
	e ⁢ g ⁢ m + e ⁢ h ⁢ q + e ⁢ i ⁢ t + e ⁢ l ⁢ v + e ⁢ m ⁢ z − f ⁢ g ⁢ l − f ⁢ h ⁢ p − f ⁢ i ⁢ s − f ⁢ l ⁢ u − f ⁢ m ⁢ v
	e ⁢ h ⁢ m + e ⁢ n ⁢ q + e ⁢ o ⁢ t + e ⁢ p ⁢ v + e ⁢ q ⁢ z − f ⁢ h ⁢ l − f ⁢ n ⁢ p − f ⁢ o ⁢ s − f ⁢ p ⁢ u − f ⁢ q ⁢ v
	e ⁢ h ⁢ o ⁢ q + e ⁢ h ⁢ r ⁢ t + e ⁢ h ⁢ t ⁢ u + e ⁢ h ⁢ t ⁢ z − e ⁢ i ⁢ n ⁢ q − e ⁢ i ⁢ o ⁢ t − e ⁢ i ⁢ q ⁢ u − e ⁢ i ⁢ q ⁢ z − e ⁢ l ⁢ p ⁢ t + e ⁢ l ⁢ q ⁢ s − f ⁢ h ⁢ o ⁢ p − f ⁢ h ⁢ r ⁢ s − f ⁢ h ⁢ s ⁢ u − f ⁢ h ⁢ t ⁢ v + f ⁢ i ⁢ n ⁢ p + f ⁢ i ⁢ o ⁢ s + f ⁢ i ⁢ p ⁢ u + f ⁢ i ⁢ q ⁢ v
	e ⁢ h ⁢ p ⁢ q + e ⁢ h ⁢ s ⁢ t + e ⁢ h ⁢ u ⁢ v + e ⁢ h ⁢ v ⁢ z − e ⁢ l ⁢ n ⁢ q − e ⁢ l ⁢ o ⁢ t − e ⁢ l ⁢ p ⁢ v − e ⁢ l ⁢ q ⁢ z − f ⁢ h ⁢ p 2 − f ⁢ h ⁢ s 2 − f ⁢ h ⁢ u 2 − f ⁢ h ⁢ v 2 + f ⁢ l ⁢ n ⁢ p + f ⁢ l ⁢ o ⁢ s + f ⁢ l ⁢ p ⁢ u + f ⁢ l ⁢ q ⁢ v
	e ⁢ h ⁢ q 2 + e ⁢ h ⁢ t 2 + e ⁢ h ⁢ v 2 + e ⁢ h ⁢ z 2 − e ⁢ m ⁢ n ⁢ q − e ⁢ m ⁢ o ⁢ t − e ⁢ m ⁢ p ⁢ v − e ⁢ m ⁢ q ⁢ z − f ⁢ h ⁢ p ⁢ q − f ⁢ h ⁢ s ⁢ t − f ⁢ h ⁢ u ⁢ v − f ⁢ h ⁢ v ⁢ z + f ⁢ m ⁢ n ⁢ p + f ⁢ m ⁢ o ⁢ s + f ⁢ m ⁢ p ⁢ u + f ⁢ m ⁢ q ⁢ v
	e ⁢ i ⁢ m + e ⁢ o ⁢ q + e ⁢ r ⁢ t + e ⁢ s ⁢ v + e ⁢ t ⁢ z − f ⁢ i ⁢ l − f ⁢ o ⁢ p − f ⁢ r ⁢ s − f ⁢ s ⁢ u − f ⁢ t ⁢ v
	e ⁢ i ⁢ p ⁢ q + e ⁢ i ⁢ s ⁢ t + e ⁢ i ⁢ u ⁢ v + e ⁢ i ⁢ v ⁢ z − e ⁢ l ⁢ o ⁢ q − e ⁢ l ⁢ r ⁢ t − e ⁢ l ⁢ s ⁢ v − e ⁢ l ⁢ t ⁢ z − f ⁢ i ⁢ p 2 − f ⁢ i ⁢ s 2 − f ⁢ i ⁢ u 2 − f ⁢ i ⁢ v 2 + f ⁢ l ⁢ o ⁢ p + f ⁢ l ⁢ r ⁢ s + f ⁢ l ⁢ s ⁢ u + f ⁢ l ⁢ t ⁢ v
	e ⁢ i ⁢ q 2 + e ⁢ i ⁢ t 2 + e ⁢ i ⁢ v 2 + e ⁢ i ⁢ z 2 − e ⁢ m ⁢ o ⁢ q − e ⁢ m ⁢ r ⁢ t − e ⁢ m ⁢ s ⁢ v − e ⁢ m ⁢ t ⁢ z − f ⁢ i ⁢ p ⁢ q − f ⁢ i ⁢ s ⁢ t − f ⁢ i ⁢ u ⁢ v − f ⁢ i ⁢ v ⁢ z + f ⁢ m ⁢ o ⁢ p + f ⁢ m ⁢ r ⁢ s + f ⁢ m ⁢ s ⁢ u + f ⁢ m ⁢ t ⁢ v
	e ⁢ l ⁢ m + e ⁢ p ⁢ q + e ⁢ s ⁢ t + e ⁢ u ⁢ v + e ⁢ v ⁢ z − f ⁢ l 2 − f ⁢ p 2 − f ⁢ s 2 − f ⁢ u 2 − f ⁢ v 2
	e ⁢ l ⁢ q 2 + e ⁢ l ⁢ t 2 + e ⁢ l ⁢ v 2 + e ⁢ l ⁢ z 2 − e ⁢ m ⁢ p ⁢ q − e ⁢ m ⁢ s ⁢ t − e ⁢ m ⁢ u ⁢ v − e ⁢ m ⁢ v ⁢ z − f ⁢ l ⁢ p ⁢ q − f ⁢ l ⁢ s ⁢ t − f ⁢ l ⁢ u ⁢ v − f ⁢ l ⁢ v ⁢ z + f ⁢ m ⁢ p 2 + f ⁢ m ⁢ s 2 + f ⁢ m ⁢ u 2 + f ⁢ m ⁢ v 2
	e ⁢ m 2 + e ⁢ q 2 + e ⁢ t 2 + e ⁢ v 2 + e ⁢ z 2 − f ⁢ l ⁢ m − f ⁢ p ⁢ q − f ⁢ s ⁢ t − f ⁢ u ⁢ v − f ⁢ v ⁢ z

G 16 = G f	f 2 + m 2 + q 2 + t 2 + v 2 + z 2

G 22 = G g	g ⁢ n + g ⁢ r + g ⁢ u + g ⁢ z − h 2 − i 2 − l 2 − m 2 + n ⁢ r + n ⁢ u + n ⁢ z − o 2 − p 2 − q 2 + r ⁢ u + r ⁢ z − s 2 − t 2 + u ⁢ z − v 2
	g ⁢ o 2 + g ⁢ r 2 + g ⁢ s 2 + g ⁢ t 2 − 2 ⁢ h ⁢ i ⁢ o + i 2 ⁢ n − i 2 ⁢ r + i 2 ⁢ u + i 2 ⁢ z − 2 ⁢ i ⁢ l ⁢ s − 2 ⁢ i ⁢ m ⁢ t + n ⁢ r 2 + n ⁢ s 2 + n ⁢ t 2 − o 2 ⁢ r + o 2 ⁢ u + o 2 ⁢ z − 2 ⁢ o ⁢ p ⁢ s − 2 ⁢ o ⁢ q ⁢ t + r 2 ⁢ u + r 2 ⁢ z − r ⁢ s 2 − r ⁢ t 2 + s 2 ⁢ z − 2 ⁢ s ⁢ t ⁢ v + t 2 ⁢ u
	g ⁢ o ⁢ p + g ⁢ r ⁢ s + g ⁢ s ⁢ u + g ⁢ t ⁢ v − h ⁢ i ⁢ p − h ⁢ l ⁢ o − i 2 ⁢ s + i ⁢ l ⁢ n + i ⁢ l ⁢ z − i ⁢ m ⁢ v − l 2 ⁢ s − l ⁢ m ⁢ t + n ⁢ r ⁢ s + n ⁢ s ⁢ u + n ⁢ t ⁢ v − o 2 ⁢ s + o ⁢ p ⁢ z − o ⁢ q ⁢ v − p 2 ⁢ s − p ⁢ q ⁢ t + r ⁢ s ⁢ u + r ⁢ s ⁢ z − s 3 − s ⁢ t 2 + s ⁢ u ⁢ z − s ⁢ v 2
	g ⁢ o ⁢ q + g ⁢ r ⁢ t + g ⁢ t ⁢ u + g ⁢ t ⁢ z − h ⁢ i ⁢ q − h ⁢ m ⁢ o − i 2 ⁢ t + i ⁢ m ⁢ n − l 2 ⁢ t − m 2 ⁢ t + n ⁢ r ⁢ t + n ⁢ t ⁢ u + n ⁢ t ⁢ z − o 2 ⁢ t − p 2 ⁢ t − q 2 ⁢ t + r ⁢ t ⁢ u + r ⁢ t ⁢ z − s 2 ⁢ t − t 3 + t ⁢ u ⁢ z − t ⁢ v 2
	g ⁢ o ⁢ s − g ⁢ p ⁢ r − h ⁢ i ⁢ s + h ⁢ l ⁢ r + i 2 ⁢ p − i ⁢ l ⁢ o
	g ⁢ o ⁢ t − g ⁢ q ⁢ r − h ⁢ i ⁢ t + h ⁢ m ⁢ r + i 2 ⁢ q − i ⁢ m ⁢ o
	g ⁢ o ⁢ u − g ⁢ p ⁢ s − h ⁢ i ⁢ u + h ⁢ l ⁢ s + i ⁢ l ⁢ p − l 2 ⁢ o
	g ⁢ o ⁢ v − g ⁢ q ⁢ s − h ⁢ i ⁢ v + h ⁢ m ⁢ s + i ⁢ l ⁢ q − l ⁢ m ⁢ o
	g ⁢ o ⁢ z − g ⁢ q ⁢ t − h ⁢ i ⁢ z + h ⁢ m ⁢ t + i ⁢ m ⁢ q − m 2 ⁢ o
	g ⁢ p 2 + g ⁢ s 2 + g ⁢ u 2 + g ⁢ v 2 − 2 ⁢ h ⁢ l ⁢ p − 2 ⁢ i ⁢ l ⁢ s + l 2 ⁢ n + l 2 ⁢ r − l 2 ⁢ u + l 2 ⁢ z − 2 ⁢ l ⁢ m ⁢ v + n ⁢ s 2 + n ⁢ u 2 + n ⁢ v 2 − 2 ⁢ o ⁢ p ⁢ s + p 2 ⁢ r − p 2 ⁢ u + p 2 ⁢ z − 2 ⁢ p ⁢ q ⁢ v + r ⁢ u 2 + r ⁢ v 2 − s 2 ⁢ u + s 2 ⁢ z − 2 ⁢ s ⁢ t ⁢ v + u 2 ⁢ z − u ⁢ v 2
	g ⁢ p ⁢ q + g ⁢ s ⁢ t + g ⁢ u ⁢ v + g ⁢ v ⁢ z − h ⁢ l ⁢ q − h ⁢ m ⁢ p − i ⁢ l ⁢ t − i ⁢ m ⁢ s − l 2 ⁢ v + l ⁢ m ⁢ n + l ⁢ m ⁢ r − m 2 ⁢ v + n ⁢ s ⁢ t + n ⁢ u ⁢ v + n ⁢ v ⁢ z − o ⁢ p ⁢ t − o ⁢ q ⁢ s − p 2 ⁢ v + p ⁢ q ⁢ r − q 2 ⁢ v + r ⁢ u ⁢ v + r ⁢ v ⁢ z − s 2 ⁢ v − t 2 ⁢ v + u ⁢ v ⁢ z − v 3
	g ⁢ p ⁢ t − g ⁢ q ⁢ s − h ⁢ l ⁢ t + h ⁢ m ⁢ s + i ⁢ l ⁢ q − i ⁢ m ⁢ p
	g ⁢ p ⁢ v − g ⁢ q ⁢ u − h ⁢ l ⁢ v + h ⁢ m ⁢ u + l 2 ⁢ q − l ⁢ m ⁢ p
	g ⁢ p ⁢ z − g ⁢ q ⁢ v − h ⁢ l ⁢ z + h ⁢ m ⁢ v + l ⁢ m ⁢ q − m 2 ⁢ p
	g ⁢ q 2 + g ⁢ t 2 + g ⁢ v 2 + g ⁢ z 2 − 2 ⁢ h ⁢ m ⁢ q − 2 ⁢ i ⁢ m ⁢ t − 2 ⁢ l ⁢ m ⁢ v + m 2 ⁢ n + m 2 ⁢ r + m 2 ⁢ u − m 2 ⁢ z + n ⁢ t 2 + n ⁢ v 2 + n ⁢ z 2 − 2 ⁢ o ⁢ q ⁢ t − 2 ⁢ p ⁢ q ⁢ v + q 2 ⁢ r + q 2 ⁢ u − q 2 ⁢ z + r ⁢ v 2 + r ⁢ z 2 − 2 ⁢ s ⁢ t ⁢ v + t 2 ⁢ u − t 2 ⁢ z + u ⁢ z 2 − v 2 ⁢ z
	g ⁢ r ⁢ u − g ⁢ s 2 − i 2 ⁢ u + 2 ⁢ i ⁢ l ⁢ s − l 2 ⁢ r
	g ⁢ r ⁢ v − g ⁢ s ⁢ t − i 2 ⁢ v + i ⁢ l ⁢ t + i ⁢ m ⁢ s − l ⁢ m ⁢ r
	g ⁢ r ⁢ z − g ⁢ t 2 − i 2 ⁢ z + 2 ⁢ i ⁢ m ⁢ t − m 2 ⁢ r
	g ⁢ s ⁢ v − g ⁢ t ⁢ u − i ⁢ l ⁢ v + i ⁢ m ⁢ u + l 2 ⁢ t − l ⁢ m ⁢ s
	g ⁢ s ⁢ z − g ⁢ t ⁢ v − i ⁢ l ⁢ z + i ⁢ m ⁢ v + l ⁢ m ⁢ t − m 2 ⁢ s
	g ⁢ u ⁢ z − g ⁢ v 2 − l 2 ⁢ z + 2 ⁢ l ⁢ m ⁢ v − m 2 ⁢ u

G 23 = G h	h 2 ⁢ o 2 + h 2 ⁢ r 2 + h 2 ⁢ s 2 + h 2 ⁢ t 2 − 2 ⁢ h ⁢ i ⁢ n ⁢ o − 2 ⁢ h ⁢ i ⁢ o ⁢ r − 2 ⁢ h ⁢ i ⁢ p ⁢ s − 2 ⁢ h ⁢ i ⁢ q ⁢ t + i 2 ⁢ n 2 + i 2 ⁢ o 2 − i 2 ⁢ s 2 − i 2 ⁢ t 2 − i 2 ⁢ u 2 − 2 ⁢ i 2 ⁢ v 2 − i 2 ⁢ z 2 + 2 ⁢ i ⁢ l ⁢ o ⁢ p + 2 ⁢ i ⁢ l ⁢ r ⁢ s + 2 ⁢ i ⁢ l ⁢ s ⁢ u + 2 ⁢ i ⁢ l ⁢ t ⁢ v + 2 ⁢ i ⁢ m ⁢ o ⁢ q + 2 ⁢ i ⁢ m ⁢ r ⁢ t + 2 ⁢ i ⁢ m ⁢ t ⁢ u + 2 ⁢ i ⁢ m ⁢ t ⁢ z − l 2 ⁢ o 2 − l 2 ⁢ r 2 − l 2 ⁢ s 2 − l 2 ⁢ t 2 + 2 ⁢ l ⁢ m ⁢ r ⁢ v − 2 ⁢ l ⁢ m ⁢ s ⁢ t − m 2 ⁢ o 2 − m 2 ⁢ r 2 − 2 ⁢ m 2 ⁢ r ⁢ u + m 2 ⁢ s 2 − m 2 ⁢ t 2 + n 2 ⁢ r 2 + n 2 ⁢ s 2 + n 2 ⁢ t 2 − 2 ⁢ n ⁢ o 2 ⁢ r − 2 ⁢ n ⁢ o ⁢ p ⁢ s − 2 ⁢ n ⁢ o ⁢ q ⁢ t + o 4 + o 2 ⁢ p 2 + o 2 ⁢ q 2 − o 2 ⁢ u 2 − 2 ⁢ o 2 ⁢ v 2 − o 2 ⁢ z 2 + 2 ⁢ o ⁢ p ⁢ s ⁢ u + 2 ⁢ o ⁢ p ⁢ t ⁢ v + 2 ⁢ o ⁢ q ⁢ t ⁢ u + 2 ⁢ o ⁢ q ⁢ t ⁢ z − p 2 ⁢ s 2 + 2 ⁢ p ⁢ q ⁢ r ⁢ v − 4 ⁢ p ⁢ q ⁢ s ⁢ t − 2 ⁢ q 2 ⁢ r ⁢ u + 2 ⁢ q 2 ⁢ s 2 − q 2 ⁢ t 2 − r 2 ⁢ u 2 − 2 ⁢ r 2 ⁢ v 2 − r 2 ⁢ z 2 + 2 ⁢ r ⁢ s 2 ⁢ u + 4 ⁢ r ⁢ s ⁢ t ⁢ v + 2 ⁢ r ⁢ t 2 ⁢ z − s 4 − 2 ⁢ s 2 ⁢ t 2 − s 2 ⁢ v 2 − s 2 ⁢ z 2 + 2 ⁢ s ⁢ t ⁢ u ⁢ v + 2 ⁢ s ⁢ t ⁢ v ⁢ z − t 4 − t 2 ⁢ u 2 − t 2 ⁢ v 2
	h 2 ⁢ o ⁢ p + h 2 ⁢ r ⁢ s + h 2 ⁢ s ⁢ u + h 2 ⁢ t ⁢ v − h ⁢ i ⁢ n ⁢ p − h ⁢ i ⁢ p ⁢ r − h ⁢ i ⁢ p ⁢ u − h ⁢ i ⁢ q ⁢ v − h ⁢ l ⁢ n ⁢ o − h ⁢ l ⁢ o ⁢ r − h ⁢ l ⁢ p ⁢ s − h ⁢ l ⁢ q ⁢ t − i 2 ⁢ n ⁢ s + i 2 ⁢ o ⁢ p + i ⁢ l ⁢ n 2 + i ⁢ l ⁢ n ⁢ r + i ⁢ l ⁢ p 2 − i ⁢ l ⁢ t 2 − i ⁢ l ⁢ v 2 − i ⁢ l ⁢ z 2 + i ⁢ m ⁢ p ⁢ q + i ⁢ m ⁢ s ⁢ t + i ⁢ m ⁢ u ⁢ v + i ⁢ m ⁢ v ⁢ z + l ⁢ m ⁢ o ⁢ q + l ⁢ m ⁢ r ⁢ t + l ⁢ m ⁢ s ⁢ v + l ⁢ m ⁢ t ⁢ z − m 2 ⁢ o ⁢ p − m 2 ⁢ r ⁢ s − m 2 ⁢ s ⁢ u − m 2 ⁢ t ⁢ v + n 2 ⁢ r ⁢ s + n 2 ⁢ s ⁢ u + n 2 ⁢ t ⁢ v − n ⁢ o 2 ⁢ s − n ⁢ o ⁢ p ⁢ r − n ⁢ o ⁢ p ⁢ u − n ⁢ o ⁢ q ⁢ v − n ⁢ p 2 ⁢ s − n ⁢ p ⁢ q ⁢ t + o 3 ⁢ p + o 2 ⁢ s ⁢ u + o 2 ⁢ t ⁢ v + o ⁢ p 3 + o ⁢ p ⁢ q 2 − o ⁢ p ⁢ r ⁢ u − o ⁢ p ⁢ s 2 − o ⁢ p ⁢ t 2 − o ⁢ p ⁢ v 2 − o ⁢ p ⁢ z 2 − o ⁢ q ⁢ r ⁢ v + o ⁢ q ⁢ u ⁢ v + o ⁢ q ⁢ v ⁢ z + p 2 ⁢ r ⁢ s + p 2 ⁢ t ⁢ v + p ⁢ q ⁢ r ⁢ t − p ⁢ q ⁢ t ⁢ u + p ⁢ q ⁢ t ⁢ z − q 2 ⁢ t ⁢ v − r ⁢ s ⁢ v 2 − r ⁢ s ⁢ z 2 + r ⁢ t ⁢ u ⁢ v + r ⁢ t ⁢ v ⁢ z + s 2 ⁢ t ⁢ v − s ⁢ t 2 ⁢ u + s ⁢ t 2 ⁢ z − s ⁢ u ⁢ z 2 + s ⁢ v 2 ⁢ z − t 3 ⁢ v + t ⁢ u ⁢ v ⁢ z − t ⁢ v 3
	h 2 ⁢ o ⁢ q + h 2 ⁢ r ⁢ t + h 2 ⁢ t ⁢ u + h 2 ⁢ t ⁢ z − h ⁢ i ⁢ n ⁢ q − h ⁢ i ⁢ q ⁢ r − h ⁢ i ⁢ q ⁢ u − h ⁢ i ⁢ q ⁢ z − h ⁢ m ⁢ n ⁢ o − h ⁢ m ⁢ o ⁢ r − h ⁢ m ⁢ p ⁢ s − h ⁢ m ⁢ q ⁢ t − i 2 ⁢ n ⁢ t + i 2 ⁢ o ⁢ q + i ⁢ m ⁢ n 2 + i ⁢ m ⁢ n ⁢ r + i ⁢ m ⁢ p 2 + i ⁢ m ⁢ q 2 − l 2 ⁢ n ⁢ t + l 2 ⁢ o ⁢ q + l ⁢ m ⁢ n ⁢ s − l ⁢ m ⁢ o ⁢ p + n 2 ⁢ r ⁢ t + n 2 ⁢ t ⁢ u + n 2 ⁢ t ⁢ z − n ⁢ o 2 ⁢ t − n ⁢ o ⁢ q ⁢ r − n ⁢ o ⁢ q ⁢ u − n ⁢ o ⁢ q ⁢ z − n ⁢ p 2 ⁢ t − n ⁢ q 2 ⁢ t + o 3 ⁢ q + o 2 ⁢ t ⁢ u + o 2 ⁢ t ⁢ z + o ⁢ p 2 ⁢ q − 2 ⁢ o ⁢ p ⁢ s ⁢ t + o ⁢ q 3 − o ⁢ q ⁢ r ⁢ u − o ⁢ q ⁢ r ⁢ z + o ⁢ q ⁢ s 2 − o ⁢ q ⁢ t 2 + p 2 ⁢ r ⁢ t + p 2 ⁢ t ⁢ z − p ⁢ q ⁢ s ⁢ z − p ⁢ q ⁢ t ⁢ v + q 2 ⁢ r ⁢ t + q 2 ⁢ s ⁢ v
	h 2 ⁢ p 2 + h 2 ⁢ s 2 + h 2 ⁢ u 2 + h 2 ⁢ v 2 − 2 ⁢ h ⁢ l ⁢ n ⁢ p − 2 ⁢ h ⁢ l ⁢ p ⁢ r − 2 ⁢ h ⁢ l ⁢ p ⁢ u − 2 ⁢ h ⁢ l ⁢ q ⁢ v − 2 ⁢ i ⁢ l ⁢ n ⁢ s + 2 ⁢ i ⁢ l ⁢ o ⁢ p + l 2 ⁢ n 2 + 2 ⁢ l 2 ⁢ n ⁢ r − l 2 ⁢ o 2 + l 2 ⁢ p 2 − l 2 ⁢ t 2 − l 2 ⁢ v 2 − l 2 ⁢ z 2 + 2 ⁢ l ⁢ m ⁢ p ⁢ q + 2 ⁢ l ⁢ m ⁢ s ⁢ t + 2 ⁢ l ⁢ m ⁢ u ⁢ v + 2 ⁢ l ⁢ m ⁢ v ⁢ z − m 2 ⁢ p 2 − m 2 ⁢ s 2 − m 2 ⁢ u 2 − m 2 ⁢ v 2 + n 2 ⁢ s 2 + n 2 ⁢ u 2 + n 2 ⁢ v 2 − 2 ⁢ n ⁢ o ⁢ p ⁢ s − 2 ⁢ n ⁢ p 2 ⁢ u − 2 ⁢ n ⁢ p ⁢ q ⁢ v + o 2 ⁢ p 2 + o 2 ⁢ u 2 + o 2 ⁢ v 2 − 2 ⁢ o ⁢ p ⁢ s ⁢ u − 2 ⁢ o ⁢ q ⁢ t ⁢ u + p 4 + p 2 ⁢ q 2 + p 2 ⁢ s 2 − p 2 ⁢ t 2 − p 2 ⁢ z 2 − 2 ⁢ p ⁢ q ⁢ r ⁢ v + 4 ⁢ p ⁢ q ⁢ s ⁢ t + 2 ⁢ p ⁢ q ⁢ v ⁢ z + 2 ⁢ q 2 ⁢ r ⁢ u − 2 ⁢ q 2 ⁢ s 2 − q 2 ⁢ v 2 − s 2 ⁢ v 2 − s 2 ⁢ z 2 + 2 ⁢ s ⁢ t ⁢ u ⁢ v + 2 ⁢ s ⁢ t ⁢ v ⁢ z − t 2 ⁢ u 2 − t 2 ⁢ v 2 − u 2 ⁢ z 2 + 2 ⁢ u ⁢ v 2 ⁢ z − v 4
	h 2 ⁢ p ⁢ q + h 2 ⁢ s ⁢ t + h 2 ⁢ u ⁢ v + h 2 ⁢ v ⁢ z − h ⁢ l ⁢ n ⁢ q − h ⁢ l ⁢ q ⁢ r − h ⁢ l ⁢ q ⁢ u − h ⁢ l ⁢ q ⁢ z − h ⁢ m ⁢ n ⁢ p − h ⁢ m ⁢ p ⁢ r − h ⁢ m ⁢ p ⁢ u − h ⁢ m ⁢ q ⁢ v − i ⁢ l ⁢ n ⁢ t + i ⁢ l ⁢ o ⁢ q − i ⁢ m ⁢ n ⁢ s + i ⁢ m ⁢ o ⁢ p − l 2 ⁢ n ⁢ v + l 2 ⁢ p ⁢ q + l ⁢ m ⁢ n 2 + 2 ⁢ l ⁢ m ⁢ n ⁢ r + l ⁢ m ⁢ n ⁢ u − l ⁢ m ⁢ o 2 + l ⁢ m ⁢ q 2 + n 2 ⁢ s ⁢ t + n 2 ⁢ u ⁢ v + n 2 ⁢ v ⁢ z − n ⁢ o ⁢ p ⁢ t − n ⁢ o ⁢ q ⁢ s − n ⁢ p 2 ⁢ v − n ⁢ p ⁢ q ⁢ u − n ⁢ p ⁢ q ⁢ z − n ⁢ q 2 ⁢ v + o 2 ⁢ p ⁢ q + o 2 ⁢ u ⁢ v + o 2 ⁢ v ⁢ z − 2 ⁢ o ⁢ p ⁢ t ⁢ u − 2 ⁢ o ⁢ q ⁢ t ⁢ v + p 3 ⁢ q − p 2 ⁢ r ⁢ v + 2 ⁢ p 2 ⁢ s ⁢ t + p 2 ⁢ v ⁢ z + p ⁢ q 3 + p ⁢ q ⁢ r ⁢ u − p ⁢ q ⁢ r ⁢ z − p ⁢ q ⁢ s 2 + p ⁢ q ⁢ t 2 − p ⁢ q ⁢ u ⁢ z − p ⁢ q ⁢ v 2 + q 2 ⁢ r ⁢ v + q 2 ⁢ u ⁢ v
	h 2 ⁢ q 2 + h 2 ⁢ t 2 + h 2 ⁢ v 2 + h 2 ⁢ z 2 − 2 ⁢ h ⁢ m ⁢ n ⁢ q − 2 ⁢ h ⁢ m ⁢ q ⁢ r − 2 ⁢ h ⁢ m ⁢ q ⁢ u − 2 ⁢ h ⁢ m ⁢ q ⁢ z − 2 ⁢ i ⁢ m ⁢ n ⁢ t + 2 ⁢ i ⁢ m ⁢ o ⁢ q − 2 ⁢ l ⁢ m ⁢ n ⁢ v + 2 ⁢ l ⁢ m ⁢ p ⁢ q + m 2 ⁢ n 2 + 2 ⁢ m 2 ⁢ n ⁢ r + 2 ⁢ m 2 ⁢ n ⁢ u − m 2 ⁢ o 2 − m 2 ⁢ p 2 + m 2 ⁢ q 2 + n 2 ⁢ t 2 + n 2 ⁢ v 2 + n 2 ⁢ z 2 − 2 ⁢ n ⁢ o ⁢ q ⁢ t − 2 ⁢ n ⁢ p ⁢ q ⁢ v − 2 ⁢ n ⁢ q 2 ⁢ z + o 2 ⁢ q 2 + o 2 ⁢ v 2 + o 2 ⁢ z 2 − 2 ⁢ o ⁢ p ⁢ t ⁢ v − 2 ⁢ o ⁢ q ⁢ t ⁢ z + p 2 ⁢ q 2 + p 2 ⁢ t 2 + p 2 ⁢ z 2 − 2 ⁢ p ⁢ q ⁢ v ⁢ z + q 4 + q 2 ⁢ t 2 + q 2 ⁢ v 2
	h ⁢ i ⁢ o ⁢ p + h ⁢ i ⁢ r ⁢ s + h ⁢ i ⁢ s ⁢ u + h ⁢ i ⁢ t ⁢ v − h ⁢ l ⁢ o 2 − h ⁢ l ⁢ r 2 − h ⁢ l ⁢ s 2 − h ⁢ l ⁢ t 2 − i 2 ⁢ n ⁢ p − i 2 ⁢ o ⁢ s − i 2 ⁢ p ⁢ u − i 2 ⁢ q ⁢ v + i ⁢ l ⁢ n ⁢ o + i ⁢ l ⁢ o ⁢ r + i ⁢ l ⁢ p ⁢ s + i ⁢ l ⁢ q ⁢ t + n ⁢ o ⁢ r ⁢ s + n ⁢ o ⁢ s ⁢ u + n ⁢ o ⁢ t ⁢ v − n ⁢ p ⁢ r 2 − n ⁢ p ⁢ s 2 − n ⁢ p ⁢ t 2 − o 3 ⁢ s + o 2 ⁢ p ⁢ r − o 2 ⁢ p ⁢ u − o 2 ⁢ q ⁢ v + o ⁢ p 2 ⁢ s + o ⁢ p ⁢ q ⁢ t + o ⁢ r ⁢ s ⁢ u + o ⁢ r ⁢ t ⁢ v − o ⁢ s 3 − o ⁢ s ⁢ t 2 − p ⁢ r 2 ⁢ u + p ⁢ r ⁢ s 2 + p ⁢ s ⁢ t ⁢ v − p ⁢ t 2 ⁢ u − q ⁢ r 2 ⁢ v + q ⁢ r ⁢ s ⁢ t − q ⁢ s 2 ⁢ v + q ⁢ s ⁢ t ⁢ u
	h ⁢ i ⁢ o ⁢ q + h ⁢ i ⁢ r ⁢ t + h ⁢ i ⁢ t ⁢ u + h ⁢ i ⁢ t ⁢ z − h ⁢ m ⁢ o 2 − h ⁢ m ⁢ r 2 − h ⁢ m ⁢ s 2 − h ⁢ m ⁢ t 2 − i 2 ⁢ n ⁢ q − i 2 ⁢ o ⁢ t − i 2 ⁢ q ⁢ u − i 2 ⁢ q ⁢ z + i ⁢ m ⁢ n ⁢ o + i ⁢ m ⁢ o ⁢ r + i ⁢ m ⁢ p ⁢ s + i ⁢ m ⁢ q ⁢ t − l 2 ⁢ o ⁢ t + l 2 ⁢ q ⁢ r + l ⁢ m ⁢ o ⁢ s − l ⁢ m ⁢ p ⁢ r + n ⁢ o ⁢ r ⁢ t + n ⁢ o ⁢ t ⁢ u + n ⁢ o ⁢ t ⁢ z − n ⁢ q ⁢ r 2 − n ⁢ q ⁢ s 2 − n ⁢ q ⁢ t 2 − o 3 ⁢ t + o 2 ⁢ q ⁢ r − o 2 ⁢ q ⁢ u − o 2 ⁢ q ⁢ z − o ⁢ p 2 ⁢ t + 2 ⁢ o ⁢ p ⁢ q ⁢ s + o ⁢ q 2 ⁢ t + o ⁢ r ⁢ t ⁢ u + o ⁢ r ⁢ t ⁢ z − o ⁢ s 2 ⁢ t − o ⁢ t 3 + p ⁢ s ⁢ t ⁢ z − p ⁢ t 2 ⁢ v − q ⁢ r 2 ⁢ u − q ⁢ r 2 ⁢ z + q ⁢ r ⁢ s 2 + q ⁢ r ⁢ t 2 − q ⁢ s 2 ⁢ z + q ⁢ s ⁢ t ⁢ v
	h ⁢ i ⁢ p 2 + h ⁢ i ⁢ s 2 + h ⁢ i ⁢ u 2 + h ⁢ i ⁢ v 2 − h ⁢ l ⁢ o ⁢ p − h ⁢ l ⁢ r ⁢ s − h ⁢ l ⁢ s ⁢ u − h ⁢ l ⁢ t ⁢ v − i ⁢ l ⁢ n ⁢ p − i ⁢ l ⁢ o ⁢ s − i ⁢ l ⁢ p ⁢ u − i ⁢ l ⁢ q ⁢ v + l 2 ⁢ n ⁢ o + l 2 ⁢ o ⁢ r + l 2 ⁢ p ⁢ s + l 2 ⁢ q ⁢ t + n ⁢ o ⁢ s 2 + n ⁢ o ⁢ u 2 + n ⁢ o ⁢ v 2 − n ⁢ p ⁢ r ⁢ s − n ⁢ p ⁢ s ⁢ u − n ⁢ p ⁢ t ⁢ v − o 2 ⁢ p ⁢ s + o ⁢ p 2 ⁢ r − o ⁢ p 2 ⁢ u − o ⁢ p ⁢ q ⁢ v + o ⁢ r ⁢ u 2 + o ⁢ r ⁢ v 2 − o ⁢ s 2 ⁢ u − o ⁢ t 2 ⁢ u + p 3 ⁢ s + p 2 ⁢ q ⁢ t − p ⁢ r ⁢ s ⁢ u − p ⁢ r ⁢ t ⁢ v + p ⁢ s 3 + p ⁢ s ⁢ t 2 + p ⁢ s ⁢ v 2 − p ⁢ t ⁢ u ⁢ v − q ⁢ r ⁢ s ⁢ v + q ⁢ r ⁢ t ⁢ u − q ⁢ s ⁢ u ⁢ v + q ⁢ t ⁢ u 2
	h ⁢ i ⁢ p ⁢ q + h ⁢ i ⁢ s ⁢ t + h ⁢ i ⁢ u ⁢ v + h ⁢ i ⁢ v ⁢ z − h ⁢ m ⁢ o ⁢ p − h ⁢ m ⁢ r ⁢ s − h ⁢ m ⁢ s ⁢ u − h ⁢ m ⁢ t ⁢ v − i ⁢ l ⁢ n ⁢ q − i ⁢ l ⁢ o ⁢ t − i ⁢ l ⁢ q ⁢ u − i ⁢ l ⁢ q ⁢ z − l 2 ⁢ o ⁢ v + l 2 ⁢ q ⁢ s + l ⁢ m ⁢ n ⁢ o + l ⁢ m ⁢ o ⁢ r + l ⁢ m ⁢ o ⁢ u + l ⁢ m ⁢ q ⁢ t + n ⁢ o ⁢ s ⁢ t + n ⁢ o ⁢ u ⁢ v + n ⁢ o ⁢ v ⁢ z − n ⁢ q ⁢ r ⁢ s − n ⁢ q ⁢ s ⁢ u − n ⁢ q ⁢ t ⁢ v − o 2 ⁢ p ⁢ t − o ⁢ p 2 ⁢ v + o ⁢ p ⁢ q ⁢ r − o ⁢ p ⁢ q ⁢ z + o ⁢ r ⁢ u ⁢ v + o ⁢ r ⁢ v ⁢ z − o ⁢ s ⁢ t ⁢ u − o ⁢ t 2 ⁢ v + p 2 ⁢ q ⁢ s + p ⁢ q 2 ⁢ t − p ⁢ r ⁢ s ⁢ v + p ⁢ s 2 ⁢ t + p ⁢ s ⁢ v ⁢ z − p ⁢ t ⁢ v 2 − q ⁢ r ⁢ s ⁢ z + q ⁢ s ⁢ t 2 − q ⁢ s ⁢ u ⁢ z + q ⁢ t ⁢ u ⁢ v
	h ⁢ i ⁢ q 2 + h ⁢ i ⁢ t 2 + h ⁢ i ⁢ v 2 + h ⁢ i ⁢ z 2 − h ⁢ m ⁢ o ⁢ q − h ⁢ m ⁢ r ⁢ t − h ⁢ m ⁢ t ⁢ u − h ⁢ m ⁢ t ⁢ z − i ⁢ m ⁢ n ⁢ q − i ⁢ m ⁢ o ⁢ t − i ⁢ m ⁢ q ⁢ u − i ⁢ m ⁢ q ⁢ z − 2 ⁢ l ⁢ m ⁢ o ⁢ v + l ⁢ m ⁢ p ⁢ t + l ⁢ m ⁢ q ⁢ s + m 2 ⁢ n ⁢ o + m 2 ⁢ o ⁢ r + 2 ⁢ m 2 ⁢ o ⁢ u − m 2 ⁢ p ⁢ s + m 2 ⁢ q ⁢ t + n ⁢ o ⁢ t 2 + n ⁢ o ⁢ v 2 + n ⁢ o ⁢ z 2 − n ⁢ q ⁢ r ⁢ t − n ⁢ q ⁢ t ⁢ u − n ⁢ q ⁢ t ⁢ z − o 2 ⁢ q ⁢ t − 2 ⁢ o ⁢ p ⁢ q ⁢ v + o ⁢ q 2 ⁢ r + o ⁢ q 2 ⁢ u − o ⁢ q 2 ⁢ z + o ⁢ r ⁢ v 2 + o ⁢ r ⁢ z 2 − o ⁢ t 2 ⁢ u − o ⁢ t 2 ⁢ z + p 2 ⁢ q ⁢ t − 2 ⁢ p ⁢ r ⁢ t ⁢ v + 2 ⁢ p ⁢ s ⁢ t 2 + p ⁢ s ⁢ z 2 − p ⁢ t ⁢ v ⁢ z + q 3 ⁢ t + q ⁢ r ⁢ t ⁢ u − q ⁢ r ⁢ t ⁢ z − q ⁢ s 2 ⁢ t − q ⁢ s ⁢ v ⁢ z + q ⁢ t 3 + q ⁢ t ⁢ v 2
	h ⁢ l ⁢ o ⁢ q + h ⁢ l ⁢ r ⁢ t + h ⁢ l ⁢ t ⁢ u + h ⁢ l ⁢ t ⁢ z − h ⁢ m ⁢ o ⁢ p − h ⁢ m ⁢ r ⁢ s − h ⁢ m ⁢ s ⁢ u − h ⁢ m ⁢ t ⁢ v − i ⁢ l ⁢ n ⁢ q − i ⁢ l ⁢ o ⁢ t − i ⁢ l ⁢ q ⁢ u − i ⁢ l ⁢ q ⁢ z + i ⁢ m ⁢ n ⁢ p + i ⁢ m ⁢ o ⁢ s + i ⁢ m ⁢ p ⁢ u + i ⁢ m ⁢ q ⁢ v − l 2 ⁢ p ⁢ t + l 2 ⁢ q ⁢ s + n ⁢ p ⁢ r ⁢ t + n ⁢ p ⁢ t ⁢ u + n ⁢ p ⁢ t ⁢ z − n ⁢ q ⁢ r ⁢ s − n ⁢ q ⁢ s ⁢ u − n ⁢ q ⁢ t ⁢ v − o 2 ⁢ p ⁢ t + o 2 ⁢ q ⁢ s − o ⁢ p ⁢ q ⁢ z + o ⁢ q 2 ⁢ v − p 3 ⁢ t + p 2 ⁢ q ⁢ s + p ⁢ r ⁢ t ⁢ u + p ⁢ r ⁢ t ⁢ z − p ⁢ s 2 ⁢ t − p ⁢ t 3 + p ⁢ t ⁢ u ⁢ z − p ⁢ t ⁢ v 2 − q ⁢ r ⁢ s ⁢ u − q ⁢ r ⁢ s ⁢ z + q ⁢ s 3 + q ⁢ s ⁢ t 2 − q ⁢ s ⁢ u ⁢ z + q ⁢ s ⁢ v 2
	h ⁢ l ⁢ p ⁢ q + h ⁢ l ⁢ s ⁢ t + h ⁢ l ⁢ u ⁢ v + h ⁢ l ⁢ v ⁢ z − h ⁢ m ⁢ p 2 − h ⁢ m ⁢ s 2 − h ⁢ m ⁢ u 2 − h ⁢ m ⁢ v 2 − l 2 ⁢ n ⁢ q − l 2 ⁢ o ⁢ t − l 2 ⁢ p ⁢ v − l 2 ⁢ q ⁢ z + l ⁢ m ⁢ n ⁢ p + l ⁢ m ⁢ o ⁢ s + l ⁢ m ⁢ p ⁢ u + l ⁢ m ⁢ q ⁢ v + n ⁢ p ⁢ s ⁢ t + n ⁢ p ⁢ u ⁢ v + n ⁢ p ⁢ v ⁢ z − n ⁢ q ⁢ s 2 − n ⁢ q ⁢ u 2 − n ⁢ q ⁢ v 2 − o ⁢ p 2 ⁢ t + o ⁢ p ⁢ q ⁢ s − p 3 ⁢ v + p 2 ⁢ q ⁢ u − p 2 ⁢ q ⁢ z + p ⁢ q 2 ⁢ v + p ⁢ r ⁢ u ⁢ v + p ⁢ r ⁢ v ⁢ z − p ⁢ s 2 ⁢ v − p ⁢ t 2 ⁢ v + p ⁢ u ⁢ v ⁢ z − p ⁢ v 3 − q ⁢ r ⁢ u 2 − q ⁢ r ⁢ v 2 + q ⁢ s 2 ⁢ u − q ⁢ s 2 ⁢ z + 2 ⁢ q ⁢ s ⁢ t ⁢ v − q ⁢ u 2 ⁢ z + q ⁢ u ⁢ v 2
	h ⁢ l ⁢ q 2 + h ⁢ l ⁢ t 2 + h ⁢ l ⁢ v 2 + h ⁢ l ⁢ z 2 − h ⁢ m ⁢ p ⁢ q − h ⁢ m ⁢ s ⁢ t − h ⁢ m ⁢ u ⁢ v − h ⁢ m ⁢ v ⁢ z − l ⁢ m ⁢ n ⁢ q − l ⁢ m ⁢ o ⁢ t − l ⁢ m ⁢ p ⁢ v − l ⁢ m ⁢ q ⁢ z + m 2 ⁢ n ⁢ p + m 2 ⁢ o ⁢ s + m 2 ⁢ p ⁢ u + m 2 ⁢ q ⁢ v + n ⁢ p ⁢ t 2 + n ⁢ p ⁢ v 2 + n ⁢ p ⁢ z 2 − n ⁢ q ⁢ s ⁢ t − n ⁢ q ⁢ u ⁢ v − n ⁢ q ⁢ v ⁢ z − o ⁢ p ⁢ q ⁢ t + o ⁢ q 2 ⁢ s − p 2 ⁢ q ⁢ v + p ⁢ q 2 ⁢ u − p ⁢ q 2 ⁢ z + p ⁢ r ⁢ v 2 + p ⁢ r ⁢ z 2 − 2 ⁢ p ⁢ s ⁢ t ⁢ v + p ⁢ t 2 ⁢ u − p ⁢ t 2 ⁢ z + p ⁢ u ⁢ z 2 − p ⁢ v 2 ⁢ z + q 3 ⁢ v − q ⁢ r ⁢ u ⁢ v − q ⁢ r ⁢ v ⁢ z + q ⁢ s 2 ⁢ v + q ⁢ t 2 ⁢ v − q ⁢ u ⁢ v ⁢ z + q ⁢ v 3
	h ⁢ o ⁢ s − h ⁢ p ⁢ r − i ⁢ n ⁢ s + i ⁢ o ⁢ p + l ⁢ n ⁢ r − l ⁢ o 2
	h ⁢ o ⁢ t − h ⁢ q ⁢ r − i ⁢ n ⁢ t + i ⁢ o ⁢ q + m ⁢ n ⁢ r − m ⁢ o 2
	h ⁢ o ⁢ u − h ⁢ p ⁢ s − i ⁢ n ⁢ u + i ⁢ p 2 + l ⁢ n ⁢ s − l ⁢ o ⁢ p
	h ⁢ o ⁢ v − h ⁢ q ⁢ s − i ⁢ n ⁢ v + i ⁢ p ⁢ q + m ⁢ n ⁢ s − m ⁢ o ⁢ p
	h ⁢ o ⁢ z − h ⁢ q ⁢ t − i ⁢ n ⁢ z + i ⁢ q 2 + m ⁢ n ⁢ t − m ⁢ o ⁢ q
	h ⁢ p ⁢ t − h ⁢ q ⁢ s − l ⁢ n ⁢ t + l ⁢ o ⁢ q + m ⁢ n ⁢ s − m ⁢ o ⁢ p
	h ⁢ p ⁢ v − h ⁢ q ⁢ u − l ⁢ n ⁢ v + l ⁢ p ⁢ q + m ⁢ n ⁢ u − m ⁢ p 2
	h ⁢ p ⁢ z − h ⁢ q ⁢ v − l ⁢ n ⁢ z + l ⁢ q 2 + m ⁢ n ⁢ v − m ⁢ p ⁢ q
	h ⁢ r ⁢ u − h ⁢ s 2 − i ⁢ o ⁢ u + i ⁢ p ⁢ s + l ⁢ o ⁢ s − l ⁢ p ⁢ r
	h ⁢ r ⁢ v − h ⁢ s ⁢ t − i ⁢ o ⁢ v + i ⁢ q ⁢ s + l ⁢ o ⁢ t − l ⁢ q ⁢ r
	h ⁢ r ⁢ z − h ⁢ t 2 − i ⁢ o ⁢ z + i ⁢ q ⁢ t + m ⁢ o ⁢ t − m ⁢ q ⁢ r
	h ⁢ s ⁢ v − h ⁢ t ⁢ u − l ⁢ o ⁢ v + l ⁢ p ⁢ t + m ⁢ o ⁢ u − m ⁢ p ⁢ s
	h ⁢ s ⁢ z − h ⁢ t ⁢ v − l ⁢ o ⁢ z + l ⁢ q ⁢ t + m ⁢ o ⁢ v − m ⁢ q ⁢ s
	h ⁢ u ⁢ z − h ⁢ v 2 − l ⁢ p ⁢ z + l ⁢ q ⁢ v + m ⁢ p ⁢ v − m ⁢ q ⁢ u

G i = G 24	i 2 ⁢ p 2 + i 2 ⁢ s 2 + i 2 ⁢ u 2 + i 2 ⁢ v 2 − 2 ⁢ i ⁢ l ⁢ o ⁢ p − 2 ⁢ i ⁢ l ⁢ r ⁢ s − 2 ⁢ i ⁢ l ⁢ s ⁢ u − 2 ⁢ i ⁢ l ⁢ t ⁢ v + l 2 ⁢ o 2 + l 2 ⁢ r 2 + l 2 ⁢ s 2 + l 2 ⁢ t 2 + o 2 ⁢ s 2 + o 2 ⁢ u 2 + o 2 ⁢ v 2 − 2 ⁢ o ⁢ p ⁢ r ⁢ s − 2 ⁢ o ⁢ p ⁢ s ⁢ u − 2 ⁢ o ⁢ p ⁢ t ⁢ v + p 2 ⁢ r 2 + p 2 ⁢ s 2 + p 2 ⁢ t 2 + r 2 ⁢ u 2 + r 2 ⁢ v 2 − 2 ⁢ r ⁢ s 2 ⁢ u − 2 ⁢ r ⁢ s ⁢ t ⁢ v + s 4 + s 2 ⁢ t 2 + s 2 ⁢ v 2 − 2 ⁢ s ⁢ t ⁢ u ⁢ v + t 2 ⁢ u 2
	i 2 ⁢ p ⁢ q + i 2 ⁢ s ⁢ t + i 2 ⁢ u ⁢ v + i 2 ⁢ v ⁢ z − i ⁢ l ⁢ o ⁢ q − i ⁢ l ⁢ r ⁢ t − i ⁢ l ⁢ t ⁢ u − i ⁢ l ⁢ t ⁢ z − i ⁢ m ⁢ o ⁢ p − i ⁢ m ⁢ r ⁢ s − i ⁢ m ⁢ s ⁢ u − i ⁢ m ⁢ t ⁢ v − l 2 ⁢ r ⁢ v + l 2 ⁢ s ⁢ t + l ⁢ m ⁢ o 2 + l ⁢ m ⁢ r 2 + l ⁢ m ⁢ r ⁢ u + l ⁢ m ⁢ t 2 + o 2 ⁢ s ⁢ t + o 2 ⁢ u ⁢ v + o 2 ⁢ v ⁢ z − o ⁢ p ⁢ r ⁢ t − o ⁢ p ⁢ t ⁢ u − o ⁢ p ⁢ t ⁢ z − o ⁢ q ⁢ r ⁢ s − o ⁢ q ⁢ s ⁢ u − o ⁢ q ⁢ t ⁢ v − p 2 ⁢ r ⁢ v + p 2 ⁢ s ⁢ t + p ⁢ q ⁢ r 2 + p ⁢ q ⁢ r ⁢ u + p ⁢ q ⁢ t 2 + r 2 ⁢ u ⁢ v + r 2 ⁢ v ⁢ z − r ⁢ s 2 ⁢ v − r ⁢ s ⁢ t ⁢ u − r ⁢ s ⁢ t ⁢ z − r ⁢ t 2 ⁢ v + s 3 ⁢ t + s 2 ⁢ v ⁢ z + s ⁢ t 3 − s ⁢ t ⁢ u ⁢ z − s ⁢ t ⁢ v 2 + t 2 ⁢ u ⁢ v
	i 2 ⁢ q 2 + i 2 ⁢ t 2 + i 2 ⁢ v 2 + i 2 ⁢ z 2 − 2 ⁢ i ⁢ m ⁢ o ⁢ q − 2 ⁢ i ⁢ m ⁢ r ⁢ t − 2 ⁢ i ⁢ m ⁢ t ⁢ u − 2 ⁢ i ⁢ m ⁢ t ⁢ z − 2 ⁢ l ⁢ m ⁢ r ⁢ v + 2 ⁢ l ⁢ m ⁢ s ⁢ t + m 2 ⁢ o 2 + m 2 ⁢ r 2 + 2 ⁢ m 2 ⁢ r ⁢ u − m 2 ⁢ s 2 + m 2 ⁢ t 2 + o 2 ⁢ t 2 + o 2 ⁢ v 2 + o 2 ⁢ z 2 − 2 ⁢ o ⁢ q ⁢ r ⁢ t − 2 ⁢ o ⁢ q ⁢ t ⁢ u − 2 ⁢ o ⁢ q ⁢ t ⁢ z − 2 ⁢ p ⁢ q ⁢ r ⁢ v + 2 ⁢ p ⁢ q ⁢ s ⁢ t + q 2 ⁢ r 2 + 2 ⁢ q 2 ⁢ r ⁢ u − q 2 ⁢ s 2 + q 2 ⁢ t 2 + r 2 ⁢ v 2 + r 2 ⁢ z 2 − 2 ⁢ r ⁢ s ⁢ t ⁢ v − 2 ⁢ r ⁢ t 2 ⁢ z + s 2 ⁢ t 2 + s 2 ⁢ z 2 − 2 ⁢ s ⁢ t ⁢ v ⁢ z + t 4 + t 2 ⁢ v 2
	i ⁢ l ⁢ p ⁢ q + i ⁢ l ⁢ s ⁢ t + i ⁢ l ⁢ u ⁢ v + i ⁢ l ⁢ v ⁢ z − i ⁢ m ⁢ p 2 − i ⁢ m ⁢ s 2 − i ⁢ m ⁢ u 2 − i ⁢ m ⁢ v 2 − l 2 ⁢ o ⁢ q − l 2 ⁢ r ⁢ t − l 2 ⁢ s ⁢ v − l 2 ⁢ t ⁢ z + l ⁢ m ⁢ o ⁢ p + l ⁢ m ⁢ r ⁢ s + l ⁢ m ⁢ s ⁢ u + l ⁢ m ⁢ t ⁢ v + o ⁢ p ⁢ s ⁢ t + o ⁢ p ⁢ u ⁢ v + o ⁢ p ⁢ v ⁢ z − o ⁢ q ⁢ s 2 − o ⁢ q ⁢ u 2 − o ⁢ q ⁢ v 2 − p 2 ⁢ r ⁢ t − p 2 ⁢ s ⁢ v − p 2 ⁢ t ⁢ z + p ⁢ q ⁢ r ⁢ s + p ⁢ q ⁢ s ⁢ u + p ⁢ q ⁢ t ⁢ v + r ⁢ s ⁢ u ⁢ v + r ⁢ s ⁢ v ⁢ z − r ⁢ t ⁢ u 2 − r ⁢ t ⁢ v 2 − s 3 ⁢ v + s 2 ⁢ t ⁢ u − s 2 ⁢ t ⁢ z + s ⁢ t 2 ⁢ v + s ⁢ u ⁢ v ⁢ z − s ⁢ v 3 − t ⁢ u 2 ⁢ z + t ⁢ u ⁢ v 2
	i ⁢ l ⁢ q 2 + i ⁢ l ⁢ t 2 + i ⁢ l ⁢ v 2 + i ⁢ l ⁢ z 2 − i ⁢ m ⁢ p ⁢ q − i ⁢ m ⁢ s ⁢ t − i ⁢ m ⁢ u ⁢ v − i ⁢ m ⁢ v ⁢ z − l ⁢ m ⁢ o ⁢ q − l ⁢ m ⁢ r ⁢ t − l ⁢ m ⁢ s ⁢ v − l ⁢ m ⁢ t ⁢ z + m 2 ⁢ o ⁢ p + m 2 ⁢ r ⁢ s + m 2 ⁢ s ⁢ u + m 2 ⁢ t ⁢ v + o ⁢ p ⁢ t 2 + o ⁢ p ⁢ v 2 + o ⁢ p ⁢ z 2 − o ⁢ q ⁢ s ⁢ t − o ⁢ q ⁢ u ⁢ v − o ⁢ q ⁢ v ⁢ z − p ⁢ q ⁢ r ⁢ t − p ⁢ q ⁢ s ⁢ v − p ⁢ q ⁢ t ⁢ z + q 2 ⁢ r ⁢ s + q 2 ⁢ s ⁢ u + q 2 ⁢ t ⁢ v + r ⁢ s ⁢ v 2 + r ⁢ s ⁢ z 2 − r ⁢ t ⁢ u ⁢ v − r ⁢ t ⁢ v ⁢ z − s 2 ⁢ t ⁢ v + s ⁢ t 2 ⁢ u − s ⁢ t 2 ⁢ z + s ⁢ u ⁢ z 2 − s ⁢ v 2 ⁢ z + t 3 ⁢ v − t ⁢ u ⁢ v ⁢ z + t ⁢ v 3
	i ⁢ p ⁢ t − i ⁢ q ⁢ s − l ⁢ o ⁢ t + l ⁢ q ⁢ r + m ⁢ o ⁢ s − m ⁢ p ⁢ r
	i ⁢ p ⁢ v − i ⁢ q ⁢ u − l ⁢ o ⁢ v + l ⁢ q ⁢ s + m ⁢ o ⁢ u − m ⁢ p ⁢ s
	i ⁢ p ⁢ z − i ⁢ q ⁢ v − l ⁢ o ⁢ z + l ⁢ q ⁢ t + m ⁢ o ⁢ v − m ⁢ p ⁢ t
	i ⁢ s ⁢ v − i ⁢ t ⁢ u − l ⁢ r ⁢ v + l ⁢ s ⁢ t + m ⁢ r ⁢ u − m ⁢ s 2
	i ⁢ s ⁢ z − i ⁢ t ⁢ v − l ⁢ r ⁢ z + l ⁢ t 2 + m ⁢ r ⁢ v − m ⁢ s ⁢ t
	i ⁢ u ⁢ z − i ⁢ v 2 − l ⁢ s ⁢ z + l ⁢ t ⁢ v + m ⁢ s ⁢ v − m ⁢ t ⁢ u

G 25 = G l	l 2 ⁢ q 2 + l 2 ⁢ t 2 + l 2 ⁢ v 2 + l 2 ⁢ z 2 − 2 ⁢ l ⁢ m ⁢ p ⁢ q − 2 ⁢ l ⁢ m ⁢ s ⁢ t − 2 ⁢ l ⁢ m ⁢ u ⁢ v − 2 ⁢ l ⁢ m ⁢ v ⁢ z + m 2 ⁢ p 2 + m 2 ⁢ s 2 + m 2 ⁢ u 2 + m 2 ⁢ v 2 + p 2 ⁢ t 2 + p 2 ⁢ v 2 + p 2 ⁢ z 2 − 2 ⁢ p ⁢ q ⁢ s ⁢ t − 2 ⁢ p ⁢ q ⁢ u ⁢ v − 2 ⁢ p ⁢ q ⁢ v ⁢ z + q 2 ⁢ s 2 + q 2 ⁢ u 2 + q 2 ⁢ v 2 + s 2 ⁢ v 2 + s 2 ⁢ z 2 − 2 ⁢ s ⁢ t ⁢ u ⁢ v − 2 ⁢ s ⁢ t ⁢ v ⁢ z + t 2 ⁢ u 2 + t 2 ⁢ v 2 + u 2 ⁢ z 2 − 2 ⁢ u ⁢ v 2 ⁢ z + v 4

G 33 = G n	n ⁢ r ⁢ u − n ⁢ s 2 − o 2 ⁢ u + 2 ⁢ o ⁢ p ⁢ s − p 2 ⁢ r
	n ⁢ r ⁢ v − n ⁢ s ⁢ t − o 2 ⁢ v + o ⁢ p ⁢ t + o ⁢ q ⁢ s − p ⁢ q ⁢ r
	n ⁢ r ⁢ z − n ⁢ t 2 − o 2 ⁢ z + 2 ⁢ o ⁢ q ⁢ t − q 2 ⁢ r
	n ⁢ s ⁢ v − n ⁢ t ⁢ u − o ⁢ p ⁢ v + o ⁢ q ⁢ u + p 2 ⁢ t − p ⁢ q ⁢ s
	n ⁢ s ⁢ z − n ⁢ t ⁢ v − o ⁢ p ⁢ z + o ⁢ q ⁢ v + p ⁢ q ⁢ t − q 2 ⁢ s
	n ⁢ u ⁢ z − n ⁢ v 2 − p 2 ⁢ z + 2 ⁢ p ⁢ q ⁢ v − q 2 ⁢ u

G 34 = G o	o ⁢ s ⁢ v − o ⁢ t ⁢ u − p ⁢ r ⁢ v + p ⁢ s ⁢ t + q ⁢ r ⁢ u − q ⁢ s 2
	o ⁢ s ⁢ z − o ⁢ t ⁢ v − p ⁢ r ⁢ z + p ⁢ t 2 + q ⁢ r ⁢ v − q ⁢ s ⁢ t
	o ⁢ u ⁢ z − o ⁢ v 2 − p ⁢ s ⁢ z + p ⁢ t ⁢ v + q ⁢ s ⁢ v − q ⁢ t ⁢ u

G 44 = G r	r ⁢ u ⁢ z − r ⁢ v 2 − s 2 ⁢ z + 2 ⁢ s ⁢ t ⁢ v − t 2 ⁢ u

B Code for Chapter 2

The following script can be run in SageMath [52] and produces the Gröbner basis above together with the computations needed in the proof of Proposition 2.6. One can slightly modify the matrix in the beginning to adapt the code to higher dimension 𝑛. We caution the reader that the function for computing the set of unlucky primes, in the sense of Proposition 2.13, is highly inefficient. Especially, the last part of this code requires about one day running time on a laptop.

C Code for Chapter 7

The following script can be run in SageMath [52] and produces the list of admissible elements for the group-theoretical datum ( B − C 3 , J = { 0 , 1 , 2 } , σ , ω 2 ∨ ) studied in Section 7.2. The function newtonPoint also computes the Newton point of a given element in the extended affine Weyl group.

Acknowledgements

First and foremost, I would like to thank my supervisor Eva Viehmann for her support during my PhD. I am sincerely thankful for her constant help and feedback, which guided me through my studies. I wish to express my gratitude to Michael Rapoport and Torsten Wedhorn for very helpful discussions and for answering my questions on their papers [41, 48]. I am thankful to Felix Schremmer for sharing his knowledge on Coxeter groups and affine Deligne–Lusztig varieties, pointing me to the relevant literature for Section 4. I would like to thank Simone Ramello for introducing me to model theory and working out together the details of Remark 2.16. I am also grateful to Urs Hartl and Damien Junger for helpful conversations.

References

[1] M. G. Barnicle, Uniform properties of ideals in rings of restricted power series, Bull. Symb. Log. 28 (2022), no. 2, 258–258. 10.1017/bsl.2020.26Search in Google Scholar

[2] S. Bijakowski and V. Hernandez, On the geometry of the Pappas–Rapoport models for PEL Shimura varieties, J. Inst. Math. Jussieu 22 (2023), no. 5, 2403–2445. 10.1017/S1474748022000019Search in Google Scholar

[3] A. Björner and F. Brenti, Combinatorics of Coxeter groups, Springer, Berlin 2005. Search in Google Scholar

[4] C. Bonnafé and R. Rouquier, On the irreducibility of Deligne–Lusztig varieties, C. R. Math. Acad. Sci. Paris 343 (2006), no. 1, 37–39. 10.1016/j.crma.2006.04.014Search in Google Scholar

[5] B. Buchberger, Ein Algorithmus zum Auffinden der Basiselemente des Restklassenringes nach einem nulldimensionalen Polynomideal, Dissertation, Mathematisches Institur der Universität Innsbruck, Innsbruck 1965. Search in Google Scholar

[6] B. Conrad, Reductive groups over fields, Class Handout (2015), https://www.ams.org/open-math-notes/omn-view-listing?listingId=110663. Search in Google Scholar

[7] C. De Concini and C. Procesi, Symmetric functions, conjugacy classes and the flag variety, Invent. Math. 64 (1981), no. 2, 203–219. 10.1007/BF01389168Search in Google Scholar

[8] P. Deligne and G. Lusztig, Representations of reductive groups over finite fields, Ann. of Math. (2) 103 (1976), no. 1, 103–161. 10.2307/1971021Search in Google Scholar

[9] M. Fox, B. Howard and N. Imai, Rapoport–Zink spaces of type GU ⁢ ( 2 , n − 2 ) , preprint (2023), https://arxiv.org/abs/2308.03816. Search in Google Scholar

[10] M. Fox and N. Imai, The supersingular locus of the Shimura variety of GU ⁢ ( 2 , n − 2 ) , preprint (2022), https://arxiv.org/abs/2108.03584. Search in Google Scholar

[11] P. Gianni, B. Trager and G. Zacharias, Gröbner bases and primary decomposition of polynomial ideals, J. Symbolic Comput. 6 (1988), no. 2, 149–167. 10.1016/S0747-7171(88)80040-3Search in Google Scholar

[12] U. Görtz, T. J. Haines, R. E. Kottwitz and D. C. Reuman, Dimensions of some affine Deligne–Lusztig varieties, Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (4) 39 (2006), no. 3, 467–511. 10.1016/j.ansens.2005.12.004Search in Google Scholar

[13] U. Görtz and X. He, Basic loci of Coxeter type in Shimura varieties, Camb. J. Math. 3 (2015), no. 3, 323–353. 10.4310/CJM.2015.v3.n3.a2Search in Google Scholar

[14] U. Görtz, X. He and S. Nie, Fully Hodge–Newton decomposable Shimura varieties, Peking Math. J. 2 (2019), no. 2, 99–154. 10.1007/s42543-019-00013-2Search in Google Scholar

[15] U. Görtz, X. He and S. Nie, Basic loci of Coxeter type with arbitrary parahoric level, Canad. J. Math. 76 (2024), no. 1, 126–172. 10.4153/S0008414X22000608Search in Google Scholar

[16] U. Görtz and T. Wedhorn, Algebraic geometry I, Adv. Lect. Math. (ALM), Vieweg & Teubner, Wiesbaden 2010. 10.1007/978-3-8348-9722-0Search in Google Scholar

[17] U. Görtz and C.-F. Yu, Supersingular Kottwitz–Rapoport strata and Deligne–Lusztig varieties, J. Inst. Math. Jussieu 9 (2010), no. 2, 357–390. 10.1017/S1474748009000218Search in Google Scholar

[18] M. Harris and R. Taylor, The geometry and cohomology of some simple Shimura varieties, Ann. of Math. Stud. 151, Princeton University, Princeton 2001. 10.1515/9781400837205Search in Google Scholar

[19] X. He, Minimal length elements in some double cosets of Coxeter groups, Adv. Math. 215 (2007), no. 2, 469–503. 10.1016/j.aim.2007.04.005Search in Google Scholar

[20] X. He, Geometric and homological properties of affine Deligne–Lusztig varieties, Ann. of Math. (2) 179 (2014), no. 1, 367–404. 10.4007/annals.2014.179.1.6Search in Google Scholar

[21] X. He, Hecke algebras and 𝑝-adic groups, Current developments in mathematics 2015, International Press, Somerville (2016), 73–135. 10.4310/CDM.2015.v2015.n1.a3Search in Google Scholar

[22] X. He, Some results on affine Deligne–Lusztig varieties, Proceedings of the International Congress of Mathematicians—Rio de Janeiro 2018. Vol. II. Invited Lectures, World Scientific, Hackensack (2018), 1345–1365. 10.1142/9789813272880_0100Search in Google Scholar

[23] X. He and S. Nie, Minimal length elements of extended affine Weyl groups, Compos. Math. 150 (2014), no. 11, 1903–1927. 10.1112/S0010437X14007349Search in Google Scholar

[24] X. He, S. Nie and Q. Yu, Affine Deligne–Lusztig varieties with finite Coxeter parts, Algebra Number Theory 18 (2024), no. 9, 1681–1714. 10.2140/ant.2024.18.1681Search in Google Scholar

[25] X. He and M. Rapoport, Stratifications in the reduction of Shimura varieties, Manuscripta Math. 152 (2017), no. 3–4, 317–343. 10.1007/s00229-016-0863-xSearch in Google Scholar

[26] X. He, R. Zhou and Y. Zhu, Stabilizers of irreducible components of affine Deligne–Lusztig varieties, J. Eur. Math. Soc. (JEMS) 27 (2025), no. 6, 2387–2441. 10.4171/jems/1414Search in Google Scholar

[27] B. Howard and G. Pappas, On the supersingular locus of the GU ⁢ ( 2 , 2 ) Shimura variety, Algebra Number Theory 8 (2014), no. 7, 1659–1699. 10.2140/ant.2014.8.1659Search in Google Scholar

[28] R. Jacobowitz, Hermitian forms over local fields, Amer. J. Math. 84 (1962), 441–465. 10.2307/2372982Search in Google Scholar

[29] G. Kemper, The calculation of radical ideals in positive characteristic, J. Symbolic Comput. 34 (2002), no. 3, 229–238. 10.1006/jsco.2002.0560Search in Google Scholar

[30] R. E. Kottwitz, Isocrystals with additional structure, Compos. Math. 56 (1985), no. 2, 201–220. Search in Google Scholar

[31] R. E. Kottwitz, Points on some Shimura varieties over finite fields, J. Amer. Math. Soc. 5 (1992), no. 2, 373–444. 10.1090/S0894-0347-1992-1124982-1Search in Google Scholar

[32] R. E. Kottwitz, Isocrystals with additional structure. II, Compos. Math. 109 (1997), no. 3, 255–339. 10.1023/A:1000102604688Search in Google Scholar

[33] H. Kredel and V. Weispfenning, Computing dimension and independent sets for polynomial ideals, J. Symbolic Comput. 6 (1988), no. 2, 231–247. 10.1016/S0747-7171(88)80045-2Search in Google Scholar

[34] S. Kudla and M. Rapoport, Special cycles on unitary Shimura varieties II: Global theory, J. reine angew. Math. 697 (2014), 91–157. 10.1515/crelle-2012-0121Search in Google Scholar

[35] G. Lusztig, On the Green polynomials of classical groups, Proc. Lond. Math. Soc. (3) 33 (1976), no. 3, 443–475. 10.1112/plms/s3-33.3.443Search in Google Scholar

[36] D. Marker, Model theory, Grad. Texts in Math. 217, Springer, New York 2002. Search in Google Scholar

[37] Y. Oki, On the supersingular locus of the Shimura variety for GU ⁢ ( 2 , 2 ) over a ramified prime, Internat. J. Math. 34 (2023), no. 14, Article ID 2350094. 10.1142/S0129167X23500945Search in Google Scholar

[38] G. Pappas, On the arithmetic moduli schemes of PEL Shimura varieties, J. Algebraic Geom. 9 (2000), no. 3, 577–605. Search in Google Scholar

[39] M. Rapoport, A guide to the reduction modulo 𝑝 of Shimura varieties, Automorphic forms. I, Astérisque 298, Société Mathématique de France, Paris (2005), 271–318. Search in Google Scholar

[40] M. Rapoport and M. Richartz, On the classification and specialization of 𝐹-isocrystals with additional structure, Compos. Math. 103 (1996), no. 2, 153–181. Search in Google Scholar

[41] M. Rapoport, U. Terstiege and S. Wilson, The supersingular locus of the Shimura variety for GU ⁢ ( 1 , n − 1 ) over a ramified prime, Math. Z. 276 (2014), no. 3–4, 1165–1188. 10.1007/s00209-013-1240-zSearch in Google Scholar

[42] M. Rapoport, U. Terstiege and W. Zhang, On the arithmetic fundamental lemma in the minuscule case, Compos. Math. 149 (2013), no. 10, 1631–1666. 10.1112/S0010437X13007239Search in Google Scholar

[43] M. Rapoport and E. Viehmann, Towards a theory of local Shimura varieties, Münster J. Math. 7 (2014), no. 1, 273–326. Search in Google Scholar

[44] M. Rapoport and T. Zink, Period spaces for 𝑝-divisible groups, Ann. of Math. Stud. 141, Princeton University, Princeton 1996. 10.1515/9781400882601Search in Google Scholar

[45] T. Richarz, On the Iwahori Weyl group, Bull. Soc. Math. France 144 (2016), no. 1, 117–124. 10.24033/bsmf.2708Search in Google Scholar

[46] F. Schremmer, Affine Bruhat order and Demazure products, Forum Math. Sigma 12 (2024), Paper No. e53. 10.1017/fms.2024.33Search in Google Scholar

[47] I. Vollaard, The supersingular locus of the Shimura variety for GU ⁢ ( 1 , s ) , Canad. J. Math. 62 (2010), no. 3, 668–720. 10.4153/CJM-2010-031-2Search in Google Scholar

[48] I. Vollaard and T. Wedhorn, The supersingular locus of the Shimura variety of GU ⁢ ( 1 , n − 1 ) II, Invent. Math. 184 (2011), no. 3, 591–627. 10.1007/s00222-010-0299-ySearch in Google Scholar

[49] F. Winkler, A 𝑝-adic approach to the computation of Gröbner bases, J. Symbolic Comput. 6 (1988), no. 2, 287–304. 10.1016/S0747-7171(88)80049-XSearch in Google Scholar

[50] I. Zachos, Semistable models for some unitary Shimura varieties over ramified primes, Algebra Number Theory 18 (2024), no. 9, 1715–1736. 10.2140/ant.2024.18.1715Search in Google Scholar

[51] X. Zhu, Affine Grassmannians and the geometric Satake in mixed characteristic, Ann. of Math. (2) 185 (2017), no. 2, 403–492. 10.4007/annals.2017.185.2.2Search in Google Scholar

[52] Sage developers, SageMath, the Sage mathematics software system, (version 9.8.6), 2023, https://www.sagemath.org. Search in Google Scholar

Received: 2023-11-06

Revised: 2025-06-14

Published Online: 2025-07-11

Published in Print: 2025-09-01

You are currently not able to access this content.

Articles in the same Issue

https://doi.org/10.1515/crelle-2025-0045

On the Rapoport--Zink space for GU(2, 4) over a ramified prime

Article

Abstract

A The Gröbner basis of Proposition 2.6

B Code for Chapter 2

C Code for Chapter 7

Acknowledgements

References

Articles in the same Issue

Articles in the same Issue

Articles in the same Issue

On the Rapoport--Zink space for GU(2, 4) over a ramified prime