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KAPITEL 3. Überblick über kontinuierliche Transformationen, Übertragungsfunktionen und die Faltung

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Digitale Verarbeitung analoger Signale / Digital Signal Analysis
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KAPITEL 3 Überblick über kontinuierliche Transformationen, Übertragungsfunktionen und die Faltung 3.1 Fourier- und Laplace-Transformationen Die Fourier-Transformation, eine Erweiterung der gerade diskutierten Fourier-Reihe, ist ein weiteres Verfahren, das ausgiebig in der Ingenieurwissen-schaft gebraucht wird. Sie ist wie folgt definiert F(jco) = f f(t)e «"dt- (3.1) * - -jC Man nennt F(ja>) die Fourier-Transformierte von f(t). Da F(jco) eine Funktion von CO anstelle von t ist, sieht man die Fourier-Transformation als eine Operation an, die aus f(t) eine Funktion F(jco) im Frequenzbereich erzeugt, wobei der Frequenzinhalt von f(t) explizit erscheint. Zur Rechtfertigung dessen, daß man das Wort "Frequenz" mit der Variablen co verbindet, kann man zeigen, daß F(joo) eine Art von "kontinuierlichem Koeffizienten" der Fourier-Reihe wird, wenn die Periode der periodischen Funktion fp(t) unbegrenzt anwächst (und die resultierende Funktion f(t) in der Grenze aperiodisch wird). Der Beweis verläuft wie folgt. Zunächst drücken wir eine periodische Funktion fp(t) durch die komplexe Fourier-Reihe nach Abschnitt 2.4 aus: ¿(f) = S c„ec„ = j1 P fp{t)e~™dt (3.2) Hier ist die Periode von fp(t) durch 2rc/co0 sec gegeben (wobei C0o im Bogenmaß pro Sekunde gemessen wird) und der harmonische Inhalt von fp(t) ist nicht eingeschränkt. Jedes cn ist der Wert der komplexen Frequenz-Kom-ponenten von fp(t) zur Kreisfrequenz nCüQ. Wie in Bild 3.1 veranschaulicht, kann das Amplitudenspektrum von fp(t) gezeichnet werden, indem man jeden einzelnen Betrag von | cn | über der co-Achse aufträgt. Da, wie gezeigt, cn die komplexe Konjugierte von c_n ist, muß das Amplitudenspektrum gerade sein, d.h. symmetrisch bezüglich co = 0 in solcher Weise, daß | cn | = | c.n |.
© 2018 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Munich/Boston

KAPITEL 3 Überblick über kontinuierliche Transformationen, Übertragungsfunktionen und die Faltung 3.1 Fourier- und Laplace-Transformationen Die Fourier-Transformation, eine Erweiterung der gerade diskutierten Fourier-Reihe, ist ein weiteres Verfahren, das ausgiebig in der Ingenieurwissen-schaft gebraucht wird. Sie ist wie folgt definiert F(jco) = f f(t)e «"dt- (3.1) * - -jC Man nennt F(ja>) die Fourier-Transformierte von f(t). Da F(jco) eine Funktion von CO anstelle von t ist, sieht man die Fourier-Transformation als eine Operation an, die aus f(t) eine Funktion F(jco) im Frequenzbereich erzeugt, wobei der Frequenzinhalt von f(t) explizit erscheint. Zur Rechtfertigung dessen, daß man das Wort "Frequenz" mit der Variablen co verbindet, kann man zeigen, daß F(joo) eine Art von "kontinuierlichem Koeffizienten" der Fourier-Reihe wird, wenn die Periode der periodischen Funktion fp(t) unbegrenzt anwächst (und die resultierende Funktion f(t) in der Grenze aperiodisch wird). Der Beweis verläuft wie folgt. Zunächst drücken wir eine periodische Funktion fp(t) durch die komplexe Fourier-Reihe nach Abschnitt 2.4 aus: ¿(f) = S c„ec„ = j1 P fp{t)e~™dt (3.2) Hier ist die Periode von fp(t) durch 2rc/co0 sec gegeben (wobei C0o im Bogenmaß pro Sekunde gemessen wird) und der harmonische Inhalt von fp(t) ist nicht eingeschränkt. Jedes cn ist der Wert der komplexen Frequenz-Kom-ponenten von fp(t) zur Kreisfrequenz nCüQ. Wie in Bild 3.1 veranschaulicht, kann das Amplitudenspektrum von fp(t) gezeichnet werden, indem man jeden einzelnen Betrag von | cn | über der co-Achse aufträgt. Da, wie gezeigt, cn die komplexe Konjugierte von c_n ist, muß das Amplitudenspektrum gerade sein, d.h. symmetrisch bezüglich co = 0 in solcher Weise, daß | cn | = | c.n |.
© 2018 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Munich/Boston

Chapters in this book

  1. Frontmatter 1
  2. Inhaltsverzeichnis 5
  3. Vorwort zur zweiten amerikanischen Auflage 11
  4. Vorwort von Hamming 13
  5. KAPITEL 1. Einführung 15
  6. KAPITEL 2. Überblick über das Prinzip der kleinsten Quadrate, Orthogonalität und Fourier-Reihe 27
  7. KAPITEL 3. Überblick über kontinuierliche Transformationen, Übertragungsfunktionen und die Faltung 49
  8. KAPITEL 4. Das Abtasten und Messen von Signalen 69
  9. KAPITEL 5. Die diskrete Fourier-Transformation 89
  10. KAPITEL 6. Die schnelle Fourier-Transformation 145
  11. KAPITEL 7. Die z-Transformation 173
  12. KAPITEL 8. Nichtrekursive digitale Systeme 201
  13. Kapitel 9. Rekursive digitale Systeme 243
  14. KAPITEL 10. Digitale und kontinuierliche Systeme 295
  15. KAPITEL 11. Simulation kontinuierlicher Systeme 313
  16. KAPITEL 12. Entwurf analoger und digitaler Filter 349
  17. KAPITEL 13. Überblick über Zufallsfunktionen, Korrelation und Leistungsspektren 409
  18. KAPITEL 14. " Least-Squares" -Systementwurf 449
  19. KAPITEL 15. Zufallsfolgen und spektrale Schätzungen 495
  20. ANHANG A. Laplace- und z-Transformationen 537
  21. ANHANG B. Computer-Algorithmen in Fortran-77 545
  22. Deutschsprachige Literatur zum Thema des Buches 567
  23. Index 569
Readers are also interested in:
https://doi.org/10.1515/9783486795448-005

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  1. Frontmatter 1
  2. Inhaltsverzeichnis 5
  3. Vorwort zur zweiten amerikanischen Auflage 11
  4. Vorwort von Hamming 13
  5. KAPITEL 1. Einführung 15
  6. KAPITEL 2. Überblick über das Prinzip der kleinsten Quadrate, Orthogonalität und Fourier-Reihe 27
  7. KAPITEL 3. Überblick über kontinuierliche Transformationen, Übertragungsfunktionen und die Faltung 49
  8. KAPITEL 4. Das Abtasten und Messen von Signalen 69
  9. KAPITEL 5. Die diskrete Fourier-Transformation 89
  10. KAPITEL 6. Die schnelle Fourier-Transformation 145
  11. KAPITEL 7. Die z-Transformation 173
  12. KAPITEL 8. Nichtrekursive digitale Systeme 201
  13. Kapitel 9. Rekursive digitale Systeme 243
  14. KAPITEL 10. Digitale und kontinuierliche Systeme 295
  15. KAPITEL 11. Simulation kontinuierlicher Systeme 313
  16. KAPITEL 12. Entwurf analoger und digitaler Filter 349
  17. KAPITEL 13. Überblick über Zufallsfunktionen, Korrelation und Leistungsspektren 409
  18. KAPITEL 14. " Least-Squares" -Systementwurf 449
  19. KAPITEL 15. Zufallsfolgen und spektrale Schätzungen 495
  20. ANHANG A. Laplace- und z-Transformationen 537
  21. ANHANG B. Computer-Algorithmen in Fortran-77 545
  22. Deutschsprachige Literatur zum Thema des Buches 567
  23. Index 569
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Downloaded on 10.10.2025 from https://www.degruyterbrill.com/document/doi/10.1515/9783486795448-005/html?licenseType=restricted&srsltid=AfmBOorSoV6SvrWg2P15KIhuO15nYAG2rkPFsSv-KQoPnzYorOKDSTh2
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