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13. Äquivalenzumformungen in der Aussagen- und Prädikatenlogik

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Logik
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Sektion C: Fortgeschrittene Prädikatenlogik (inklusive Aussagenlogik)13 Äquivalenzumformungen in der Aussagen- und PrädikatenlogikZwei Aussagen (der AL oder PL) sind logisch äquivalent, oder kurz L-äquivalent, wenn ⊨ A↔B gilt. Zwei L-äquivalente Aussagen haben genau dieselben logi-schen Konsequenzen. Wir schreiben Cn(A) für die Menge der logischen Konse-quenzen einer Aussage A („Cn“ für „consequences“). Oder in mengentheoreti-scher Schreibweise (Kap. 18): Cn(A) = {B: A ⊨ B}. Offenbar gilt:⊨ A ↔ B g.d.w. Cn(A) = Cn(B).Man bezeichnet „Cn(A)“ auch als den logischen Gehalt, kurz den Gehalt, von A. L-äquivalente Aussagen haben denselben Gehalt. Man sagt auch, sie drücken die-selbe Proposition aus, wobei man die von A ausgedrückte Proposition oft mit der Menge aller mit A L-äquivalenten Aussagen identifiziert.Logisch äquivalente Umformungen sind eine zweite wichtige logische Beweismethode. Im Kalkül „Ä“ (für äquivalente Umformungen) fungiert das logi-sche Symbol ↔ nicht als definiertes, sondern als primitives Symbol. Man kann in diesem Kalkül gegebene Aussagen in andere L-äquivalente Ausagen umformen, insbesondere in maximal einfache Aussagen, sogenannte Normalformen. Letzt-lich ist der Kalkül Ä sogar gleich stark wie der Kalkül S, denn man kann darin eine Aussage A als L-wahr beweisen, indem man die L-Äquivalenz ⊢ A ↔ p∨¬p beweist. (Analog für Schlüsse unter Anwendung des Deduktionstheorems.)Wir erläutern den Kalkül Ä zunächst für die AL und dann für die PL.13.1 Der aussagenlogische Äquivalenzkalkül ÄDem aussagenlogischen Äquivalenzkalkül liegen folgende L-wahre Basisäquiva-lenzen zugrunde (beachte: ↔ bindet schwächer als die anderen Junktoren):Basisaxiome des AL-Äquivalenzkalküls Ä0:(DN)A ↔¬¬ADoppelte Negation(Komm∧)(A ∧ B) ↔ (B ∧ A)Kommutativität von ∧(Komm∨)(A ∨ B) ↔ (B ∨ A)Kommutativität von ∨https://doi.org/10.1515/9783110697391-013
© 2020 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Munich/Boston

Sektion C: Fortgeschrittene Prädikatenlogik (inklusive Aussagenlogik)13 Äquivalenzumformungen in der Aussagen- und PrädikatenlogikZwei Aussagen (der AL oder PL) sind logisch äquivalent, oder kurz L-äquivalent, wenn ⊨ A↔B gilt. Zwei L-äquivalente Aussagen haben genau dieselben logi-schen Konsequenzen. Wir schreiben Cn(A) für die Menge der logischen Konse-quenzen einer Aussage A („Cn“ für „consequences“). Oder in mengentheoreti-scher Schreibweise (Kap. 18): Cn(A) = {B: A ⊨ B}. Offenbar gilt:⊨ A ↔ B g.d.w. Cn(A) = Cn(B).Man bezeichnet „Cn(A)“ auch als den logischen Gehalt, kurz den Gehalt, von A. L-äquivalente Aussagen haben denselben Gehalt. Man sagt auch, sie drücken die-selbe Proposition aus, wobei man die von A ausgedrückte Proposition oft mit der Menge aller mit A L-äquivalenten Aussagen identifiziert.Logisch äquivalente Umformungen sind eine zweite wichtige logische Beweismethode. Im Kalkül „Ä“ (für äquivalente Umformungen) fungiert das logi-sche Symbol ↔ nicht als definiertes, sondern als primitives Symbol. Man kann in diesem Kalkül gegebene Aussagen in andere L-äquivalente Ausagen umformen, insbesondere in maximal einfache Aussagen, sogenannte Normalformen. Letzt-lich ist der Kalkül Ä sogar gleich stark wie der Kalkül S, denn man kann darin eine Aussage A als L-wahr beweisen, indem man die L-Äquivalenz ⊢ A ↔ p∨¬p beweist. (Analog für Schlüsse unter Anwendung des Deduktionstheorems.)Wir erläutern den Kalkül Ä zunächst für die AL und dann für die PL.13.1 Der aussagenlogische Äquivalenzkalkül ÄDem aussagenlogischen Äquivalenzkalkül liegen folgende L-wahre Basisäquiva-lenzen zugrunde (beachte: ↔ bindet schwächer als die anderen Junktoren):Basisaxiome des AL-Äquivalenzkalküls Ä0:(DN)A ↔¬¬ADoppelte Negation(Komm∧)(A ∧ B) ↔ (B ∧ A)Kommutativität von ∧(Komm∨)(A ∨ B) ↔ (B ∨ A)Kommutativität von ∨https://doi.org/10.1515/9783110697391-013
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Chapters in this book

  1. Frontmatter I
  2. Vorwort IV
  3. Vorwort zur zweiten Auflage VI
  4. Inhaltsverzeichnis VII
  5. Teil I: Grundkurs in Aussagenlogik und elementarer Prädikatenlogik
  6. 1. Allgemeine Grundlagen 1
  7. Sektion A: Aussagenlogik (AL)
  8. 2. Junktoren und ihre Wahrheitstafeln 33
  9. 3. Aussagenlogische Sprache 45
  10. 4. Aussagenlogische Semantik I: Die Wahrheitstafelmethode 55
  11. 5. Aussagenlogische Semantik II: Die Reduktio ad Absurdum Methode 71
  12. 6. Rekonstruktion natursprachlicher Sätze und Argumente 89
  13. 7. Wichtige Regeln und Theoreme der Aussagenlogik 113
  14. 8. Deduktive Methode 123
  15. Sektion B: Elementare Prädikatenlogik (PL)
  16. 9. Grundlagen der Prädikatenlogik 151
  17. 10. Die Sprache der Prädikatenlogik 169
  18. 11. Rekonstruktion natursprachlicher Sätze in der PL 175
  19. 12. Deduktive Methode in der Prädikatenlogik 185
  20. Teil II: Aufbaukurs in Prädikatenlogik und Metalogik
  21. Sektion C: Fortgeschrittene Prädikatenlogik (inklusive Aussagenlogik)
  22. 13. Äquivalenzumformungen in der Aussagen- und Prädikatenlogik 211
  23. 14. Beweistheorie: Kalkülarten in Aussagenund Prädikatenlogik 233
  24. 15. Modelltheorie: Semantik der Prädikatenlogik 273
  25. 16. Prädikatenlogik mit Identität und Funktionszeichen (PL=) 295
  26. 17. Anwendungen der PL= 309
  27. Sektion D: Metalogik
  28. 18. Informelle und formelle Mengenlehre 335
  29. 19. Induktive Beweise und Metatheoreme der PL 357
  30. 20. Korrektheit und Vollständigkeit der PL 377
  31. 21. Exkurs: Metalogik und die Grenzen der PL 393
  32. Literaturverzeichnis 419
  33. Symbol- und Abkürzungsverzeichnis 424
  34. Übersicht über Definitionen, Merksätze und Abbildungen 426
  35. Sachregister 428
  36. Personenregister 434
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  2. Vorwort IV
  3. Vorwort zur zweiten Auflage VI
  4. Inhaltsverzeichnis VII
  5. Teil I: Grundkurs in Aussagenlogik und elementarer Prädikatenlogik
  6. 1. Allgemeine Grundlagen 1
  7. Sektion A: Aussagenlogik (AL)
  8. 2. Junktoren und ihre Wahrheitstafeln 33
  9. 3. Aussagenlogische Sprache 45
  10. 4. Aussagenlogische Semantik I: Die Wahrheitstafelmethode 55
  11. 5. Aussagenlogische Semantik II: Die Reduktio ad Absurdum Methode 71
  12. 6. Rekonstruktion natursprachlicher Sätze und Argumente 89
  13. 7. Wichtige Regeln und Theoreme der Aussagenlogik 113
  14. 8. Deduktive Methode 123
  15. Sektion B: Elementare Prädikatenlogik (PL)
  16. 9. Grundlagen der Prädikatenlogik 151
  17. 10. Die Sprache der Prädikatenlogik 169
  18. 11. Rekonstruktion natursprachlicher Sätze in der PL 175
  19. 12. Deduktive Methode in der Prädikatenlogik 185
  20. Teil II: Aufbaukurs in Prädikatenlogik und Metalogik
  21. Sektion C: Fortgeschrittene Prädikatenlogik (inklusive Aussagenlogik)
  22. 13. Äquivalenzumformungen in der Aussagen- und Prädikatenlogik 211
  23. 14. Beweistheorie: Kalkülarten in Aussagenund Prädikatenlogik 233
  24. 15. Modelltheorie: Semantik der Prädikatenlogik 273
  25. 16. Prädikatenlogik mit Identität und Funktionszeichen (PL=) 295
  26. 17. Anwendungen der PL= 309
  27. Sektion D: Metalogik
  28. 18. Informelle und formelle Mengenlehre 335
  29. 19. Induktive Beweise und Metatheoreme der PL 357
  30. 20. Korrektheit und Vollständigkeit der PL 377
  31. 21. Exkurs: Metalogik und die Grenzen der PL 393
  32. Literaturverzeichnis 419
  33. Symbol- und Abkürzungsverzeichnis 424
  34. Übersicht über Definitionen, Merksätze und Abbildungen 426
  35. Sachregister 428
  36. Personenregister 434
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