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29. Schwingungstilger ohne Dämpfung

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Band 2 Elastostatik, Schwingungen
This chapter is in the book Band 2 Elastostatik, Schwingungen
29 Schwingungstilger ohne DämpfungDas Zweimasse-Federsystem soll durch eine periodische Auslenkungx(t)=x0cosωtmit der Frequenzωangeregt werden (Abb. 29.1 links).Nach einer gewissen Einschwingphase werden die Massen die Frequenzωange­nommen haben und alle schwingen in Phase. Es herrscht Resonanz:x1(t)=Acosωt,x2(t)=Bcosωt.Wie sehen dann die AmplitudenAundBaus?Das zugehörige DGL-System hat die Gestaltm1̈x1=D1(xx1)−D2(x1x2),m2̈x2=D2(x1x2).Bewegt sichm1nach unten, dann drückt Feder 1 mitD1(xx1)nach unten, weil dieFeder gestaucht ist. Feder 2 hemmt diese Bewegung mitD2(x1x2). Bewegt sichm2,dannzieht Feder 2 mitx1x2ebenfalls nachunten, weil die Feder durchm1gestauchtwurde.Wir setzen die Ansätze in die DGLen ein und erhaltenI.m12cosωt=D1(x0cosωtAcosωt)−D2(AcosωtBcosωt)II.m22cosωt=D2(AcosωtBcosωt).Weiter folgtI.m12=D1x0D1AD2A+D2B󳨐⇒A(D1+D2m1ω2)=D1x0+D2BII.m22=D2AD2B󳨐⇒AD2=B(D2m2ω2)󳨐⇒B=D2D2m2ω2A.Eingesetzt in I. entstehtA(D1+D2m1ω2)=D1x0+D22D2m2ω2A󳨐⇒A((D1+D2m1ω2)(D2m2ω2)−D22D2m2ω2)=D1C󳨐⇒A=D1(D2m2ω2)x0(D1+D2m1ω2)(D2m2ω2)−D22.Das Ergebnis wäre so in Ordnung, wir wollen es aber mit Frequenzen allein schreiben.Dazu verwenden wir die AbkürzungenD1m1=ω21,D2m2=ω22,m2m1=μ.https://doi.org/10.1515/9783110683820-029
© 2020 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Munich/Boston

29 Schwingungstilger ohne DämpfungDas Zweimasse-Federsystem soll durch eine periodische Auslenkungx(t)=x0cosωtmit der Frequenzωangeregt werden (Abb. 29.1 links).Nach einer gewissen Einschwingphase werden die Massen die Frequenzωange­nommen haben und alle schwingen in Phase. Es herrscht Resonanz:x1(t)=Acosωt,x2(t)=Bcosωt.Wie sehen dann die AmplitudenAundBaus?Das zugehörige DGL-System hat die Gestaltm1̈x1=D1(xx1)−D2(x1x2),m2̈x2=D2(x1x2).Bewegt sichm1nach unten, dann drückt Feder 1 mitD1(xx1)nach unten, weil dieFeder gestaucht ist. Feder 2 hemmt diese Bewegung mitD2(x1x2). Bewegt sichm2,dannzieht Feder 2 mitx1x2ebenfalls nachunten, weil die Feder durchm1gestauchtwurde.Wir setzen die Ansätze in die DGLen ein und erhaltenI.m12cosωt=D1(x0cosωtAcosωt)−D2(AcosωtBcosωt)II.m22cosωt=D2(AcosωtBcosωt).Weiter folgtI.m12=D1x0D1AD2A+D2B󳨐⇒A(D1+D2m1ω2)=D1x0+D2BII.m22=D2AD2B󳨐⇒AD2=B(D2m2ω2)󳨐⇒B=D2D2m2ω2A.Eingesetzt in I. entstehtA(D1+D2m1ω2)=D1x0+D22D2m2ω2A󳨐⇒A((D1+D2m1ω2)(D2m2ω2)−D22D2m2ω2)=D1C󳨐⇒A=D1(D2m2ω2)x0(D1+D2m1ω2)(D2m2ω2)−D22.Das Ergebnis wäre so in Ordnung, wir wollen es aber mit Frequenzen allein schreiben.Dazu verwenden wir die AbkürzungenD1m1=ω21,D2m2=ω22,m2m1=μ.https://doi.org/10.1515/9783110683820-029
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