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3. Die Raketengleichung

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Band 2 Elastostatik, Schwingungen
This chapter is in the book Band 2 Elastostatik, Schwingungen
3 Die RaketengleichungEine Rakete besitzt zu einem gewissen Zeitpunkt die Massemund die Geschwindig­keitv(Abb. 3.1 links). Einaußenstehender Beobachtersieht, wie die Rakete Treibstoff­masse der Größedmverliert und diese mit der Geschwindigkeitv+vaausgestoßenwird.vabezeichnet die Ausstoßgeschwindigkeitrelativ zur Rakete. Durch diesen Vor­gangwächstdieGeschwindigkeitderRaketeaufv+dvundihreMassesinktaufm−dm.Es giltm⋅v=(m−dm)⋅(v+dv)+dm⋅(v+va).Man erhält nacheinenderm⋅v=m⋅v+m⋅dv−dm⋅v−dm⋅dv+dm⋅v+dm⋅va,0=(m−dm)⋅dv+dm⋅va,wobeim−dm=mRaketeist.Die DGL für die Gesachwindigkeit der Rakete lautet:dv=−vam⋅dm.Die Integration vonm0bismführt zuv∫v0dv−vamR∫m01m⋅dm󳨐⇒v−v0=−va⋅[ln(m)]mRm0󳨐⇒v=v0+va⋅ln(m0mR).m0bezeichnet dabei die Anfangsmasse, d.h., es istm0=mleere Rakete+mBrennstoff.Nun führen wir die Zeitabhängigkeit der Massenänderung ein. Dabei gehen wirvon einem konstanten Brennstoffausstoß aus, alsom(t)=m0−α⋅m0⋅t=m0⋅(1−αt).Dann folgtv(t)=v0+va⋅ln(m0m0(1−αt))=v0+va⋅ln(11−αt)=v0−va⋅ln(1−αt).Die Integration von 0 bistliefertx(t)=t∫0v(t)dt=t∫0v0dt+vat∫0ln(1−αt)dtundx(t)=v0t−va[1α(αt−1)⋅ln(1−αt)−t]t0=(v0+va)t−vaα(αt−1)⋅ln(1−αt)Beispiel.Für eine senkrecht vom Boden aus startende Rakete istv0=0msund dieFunktionen fürv(t)undx(t)ändern sich entsprechend zuv(t)=v0−va⋅ln(1−αt)−gtundx(t)=(v0+va)t−vaα⋅(αt−1)⋅ln(1−αt)−12gt2.Von der Luftreibung wollen wir absehen.https://doi.org/10.1515/9783110683820-003
© 2020 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Munich/Boston

3 Die RaketengleichungEine Rakete besitzt zu einem gewissen Zeitpunkt die Massemund die Geschwindig­keitv(Abb. 3.1 links). Einaußenstehender Beobachtersieht, wie die Rakete Treibstoff­masse der Größedmverliert und diese mit der Geschwindigkeitv+vaausgestoßenwird.vabezeichnet die Ausstoßgeschwindigkeitrelativ zur Rakete. Durch diesen Vor­gangwächstdieGeschwindigkeitderRaketeaufv+dvundihreMassesinktaufm−dm.Es giltm⋅v=(m−dm)⋅(v+dv)+dm⋅(v+va).Man erhält nacheinenderm⋅v=m⋅v+m⋅dv−dm⋅v−dm⋅dv+dm⋅v+dm⋅va,0=(m−dm)⋅dv+dm⋅va,wobeim−dm=mRaketeist.Die DGL für die Gesachwindigkeit der Rakete lautet:dv=−vam⋅dm.Die Integration vonm0bismführt zuv∫v0dv−vamR∫m01m⋅dm󳨐⇒v−v0=−va⋅[ln(m)]mRm0󳨐⇒v=v0+va⋅ln(m0mR).m0bezeichnet dabei die Anfangsmasse, d.h., es istm0=mleere Rakete+mBrennstoff.Nun führen wir die Zeitabhängigkeit der Massenänderung ein. Dabei gehen wirvon einem konstanten Brennstoffausstoß aus, alsom(t)=m0−α⋅m0⋅t=m0⋅(1−αt).Dann folgtv(t)=v0+va⋅ln(m0m0(1−αt))=v0+va⋅ln(11−αt)=v0−va⋅ln(1−αt).Die Integration von 0 bistliefertx(t)=t∫0v(t)dt=t∫0v0dt+vat∫0ln(1−αt)dtundx(t)=v0t−va[1α(αt−1)⋅ln(1−αt)−t]t0=(v0+va)t−vaα(αt−1)⋅ln(1−αt)Beispiel.Für eine senkrecht vom Boden aus startende Rakete istv0=0msund dieFunktionen fürv(t)undx(t)ändern sich entsprechend zuv(t)=v0−va⋅ln(1−αt)−gtundx(t)=(v0+va)t−vaα⋅(αt−1)⋅ln(1−αt)−12gt2.Von der Luftreibung wollen wir absehen.https://doi.org/10.1515/9783110683820-003
© 2020 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Munich/Boston

Chapters in this book

  1. Frontmatter I
  2. Inhalt V
  3. 1. Einführende Beispiele 1
  4. 2. Kettenlinien 6
  5. 3. Die Raketengleichung 10
  6. 4. Die Verformungen eines Festkörpers 13
  7. 5. Balkenbiegungen 22
  8. 6. Biegelinien 26
  9. 7. Die lineare homogene DGL 2. Ordnung mit Konstanten 44
  10. 8. Die elastischen Konstanten eines isotropen Körpers 48
  11. 9. Schwingungen 52
  12. 10. Numerisches Lösen von Differenzialgleichungen 2. Ordnung 60
  13. 11. Das Fadenpendel 63
  14. 12. Das physikalische Pendel 67
  15. 13. Das Rollpendel 72
  16. 14. Verdrehungen und das Torsionspendel 75
  17. 15. Elektrische Schwingkreise 82
  18. 16. Erzwungene Schwingungen 85
  19. 17. Die lineare inhomogene DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten 99
  20. 18. Kurze Anregungen 105
  21. 19. Das Duhamel-Integral und die Fourier-Transformation 116
  22. 20. Die Laplace-Transformation 128
  23. 21. Zwei neue Zeitschrittverfahren 132
  24. 22. Schockspektren, Antwortspektren, Bemessungspektren 137
  25. 23. Energiebetrachtungen 142
  26. 24. Dissipierte Energien 146
  27. 25. Elastische und viskose Materialien 151
  28. 26. Viskoelastische Modelle 156
  29. 27. Gekoppelte Pendel 164
  30. 28. Dämpfungsarten 168
  31. 29. Schwingungstilger ohne Dämpfung 172
  32. 30. Schwingungstilgermit Dämpfung 176
  33. 31. Mehrmassensysteme und Modalanalyse 180
  34. Anhang: Beweis Schwingungstilger mit Dämpfung 185
  35. Übungen 195
  36. Weiterführende Literatur 213
  37. Stichwortverzeichnis 215
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  2. Inhalt V
  3. 1. Einführende Beispiele 1
  4. 2. Kettenlinien 6
  5. 3. Die Raketengleichung 10
  6. 4. Die Verformungen eines Festkörpers 13
  7. 5. Balkenbiegungen 22
  8. 6. Biegelinien 26
  9. 7. Die lineare homogene DGL 2. Ordnung mit Konstanten 44
  10. 8. Die elastischen Konstanten eines isotropen Körpers 48
  11. 9. Schwingungen 52
  12. 10. Numerisches Lösen von Differenzialgleichungen 2. Ordnung 60
  13. 11. Das Fadenpendel 63
  14. 12. Das physikalische Pendel 67
  15. 13. Das Rollpendel 72
  16. 14. Verdrehungen und das Torsionspendel 75
  17. 15. Elektrische Schwingkreise 82
  18. 16. Erzwungene Schwingungen 85
  19. 17. Die lineare inhomogene DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten 99
  20. 18. Kurze Anregungen 105
  21. 19. Das Duhamel-Integral und die Fourier-Transformation 116
  22. 20. Die Laplace-Transformation 128
  23. 21. Zwei neue Zeitschrittverfahren 132
  24. 22. Schockspektren, Antwortspektren, Bemessungspektren 137
  25. 23. Energiebetrachtungen 142
  26. 24. Dissipierte Energien 146
  27. 25. Elastische und viskose Materialien 151
  28. 26. Viskoelastische Modelle 156
  29. 27. Gekoppelte Pendel 164
  30. 28. Dämpfungsarten 168
  31. 29. Schwingungstilger ohne Dämpfung 172
  32. 30. Schwingungstilgermit Dämpfung 176
  33. 31. Mehrmassensysteme und Modalanalyse 180
  34. Anhang: Beweis Schwingungstilger mit Dämpfung 185
  35. Übungen 195
  36. Weiterführende Literatur 213
  37. Stichwortverzeichnis 215
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Downloaded on 10.10.2025 from https://www.degruyterbrill.com/document/doi/10.1515/9783110683820-003/html?licenseType=restricted&srsltid=AfmBOoov9G8n3UGBzxzyRX7uyVyGnQGDZwjHegFAo-HBx4c8slQODF-V
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