3 Kondition von Anfangswertproblemen

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This chapter is in the book [Band] 2 Gewöhnliche Differentialgleichungen

3 Kondition von AnfangswertproblemenFalls nicht eigens erwähnt, werden wir in diesem Kapitel Anfangswertprobleme wie-der in der expliziten Formx0Df.t;x/; x.t0/Dx0;behandeln. Im Unterschied zum vorigen Kapitel setzen wir für dieses Kapitel durch-gängig voraus, dass eine eindeutige Lösungx2C1.Œt0;t1Ł;Rd/existiert. Wir wollenuns nun mit der Frage beschäftigen, wie sichStörungendes Problems auf die Lösungauswirken. Gedanklich schließen wir unmittelbar an Band 1, Kapitel 2 (Fehleranaly-se), an: Dort hatten wir uns klar gemacht, dass es prinzipiell zwei Arten von Fehlerngibt, nämlich mehr oder weniger unvermeidbareEingabefehlerund beeinflussbareFehler durch den Algorithmus. Die Wirkung von Eingabefehlern wird durch dieKon-ditiondes Problems beschrieben. Es sei in Erinnerung gerufen, dass die Konditioneines Problems unabhängig von einem Algorithmus zur numerischen Lösung ist unddamit ein wesentliches Charakteristikum des Problems darstellt. Deshalb stellen wirauch hier der algorithmischen Behandlung von Anfangswertproblemen die Konditi-onsanalyse voran.In Abschnitt 3.1 studieren wir dieSensitivität, das heißt die Empfindlichkeit derLösung gegen problemtypische Störungen. Ohne Einführung von Normen wird dieStörung durch diePropagationsmatrixweitergetragen, die ihrerseits einer Differenti-algleichung genügt, der Variationsgleichung (Abschnitt 3.1.1). Nach Festlegung vonNormen lassen sich spezielle Konditionszahlen definieren (Abschnitt 3.1.2), die unsim Folgenden wiederholt gute Dienste leisten werden. Für differentiell-algebraischeProbleme erweitert sich der Begriff der Kondition zur Charakterisierung durch einenStörungsindex, welcher dem in Abschnitt 2.6 eingeführten Differentiationsindex ver-wandt ist.In Abschnitt 3.2 diskutieren wir das asymptotische Verhalten von Lösungen fürgroße Zeitent!1, was uns zu dem Begriff derasymptotischen Stabilität einerDifferentialgleichungführen wird. (Zur Vermeidung von Missverständnissen im Ver-gleich mit Band 1, Kapitel 2, sei eigens darauf hingewiesen, dass dieser historischgeprägte Stabilitätsbegriff der Analysis nicht zu verwechseln ist mit dem Begriff dernumerischen Stabilität, der ja eine Eigenschaft eines ausgewählten Algorithmus be-schreibt.) Zunächst machen wir uns einige Gedanken über eine sinnvolle mathema-tische Charakterisierung mit Blick auf das Verhalten der Differentialgleichung ge-genüber Affintransformationen (Abschnitt 3.2.1). Für den allgemeinen nichtlinearen

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3 Kondition von AnfangswertproblemenFalls nicht eigens erwähnt, werden wir in diesem Kapitel Anfangswertprobleme wie-der in der expliziten Formx0Df.t;x/; x.t0/Dx0;behandeln. Im Unterschied zum vorigen Kapitel setzen wir für dieses Kapitel durch-gängig voraus, dass eine eindeutige Lösungx2C1.Œt0;t1Ł;Rd/existiert. Wir wollenuns nun mit der Frage beschäftigen, wie sichStörungendes Problems auf die Lösungauswirken. Gedanklich schließen wir unmittelbar an Band 1, Kapitel 2 (Fehleranaly-se), an: Dort hatten wir uns klar gemacht, dass es prinzipiell zwei Arten von Fehlerngibt, nämlich mehr oder weniger unvermeidbareEingabefehlerund beeinflussbareFehler durch den Algorithmus. Die Wirkung von Eingabefehlern wird durch dieKon-ditiondes Problems beschrieben. Es sei in Erinnerung gerufen, dass die Konditioneines Problems unabhängig von einem Algorithmus zur numerischen Lösung ist unddamit ein wesentliches Charakteristikum des Problems darstellt. Deshalb stellen wirauch hier der algorithmischen Behandlung von Anfangswertproblemen die Konditi-onsanalyse voran.In Abschnitt 3.1 studieren wir dieSensitivität, das heißt die Empfindlichkeit derLösung gegen problemtypische Störungen. Ohne Einführung von Normen wird dieStörung durch diePropagationsmatrixweitergetragen, die ihrerseits einer Differenti-algleichung genügt, der Variationsgleichung (Abschnitt 3.1.1). Nach Festlegung vonNormen lassen sich spezielle Konditionszahlen definieren (Abschnitt 3.1.2), die unsim Folgenden wiederholt gute Dienste leisten werden. Für differentiell-algebraischeProbleme erweitert sich der Begriff der Kondition zur Charakterisierung durch einenStörungsindex, welcher dem in Abschnitt 2.6 eingeführten Differentiationsindex ver-wandt ist.In Abschnitt 3.2 diskutieren wir das asymptotische Verhalten von Lösungen fürgroße Zeitent!1, was uns zu dem Begriff derasymptotischen Stabilität einerDifferentialgleichungführen wird. (Zur Vermeidung von Missverständnissen im Ver-gleich mit Band 1, Kapitel 2, sei eigens darauf hingewiesen, dass dieser historischgeprägte Stabilitätsbegriff der Analysis nicht zu verwechseln ist mit dem Begriff dernumerischen Stabilität, der ja eine Eigenschaft eines ausgewählten Algorithmus be-schreibt.) Zunächst machen wir uns einige Gedanken über eine sinnvolle mathema-tische Charakterisierung mit Blick auf das Verhalten der Differentialgleichung ge-genüber Affintransformationen (Abschnitt 3.2.1). Für den allgemeinen nichtlinearen

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