# Kapitel 3_l: 
# Der unsymmetrische schwere Pyramidenkreisel (Eulerwinkel)
#  2015  Friedrich U. Mathiak, 
# mathiak@mechanik-info.de
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> interface(displayprecision=3): restart: with(LinearAlgebra): with(plottools): with(plots):
# Fr die anstehenden  Aufgaben bentigen wir die folgenden Prozeduren:
> read "Proc_Calc_19.m"; #Berechnung der massengeometrischen Gren des Kreisels
;
> read "Proc_Calc_20.m"; #Berechnung der Zustandsgren, Animation des Bewegungsvorganges
;
> read "PROC_Graf_02.m"; #Erzeugung einer 3D-Plotstruktur des tetraederfrmigen Kreisels
;
# Beispiel 3-23:  Mit den Werten des Beispiels  ergeben sich folgende Systemwerte (Lngen in [cm], Masse in [Gramm, g]).
> a:=6.; b:=3.; h:=9.; rho:=0.670; 
# Wir bentigen zur Beschreibung des Kreisel eine Knoten- und eine Elementdatei.  Dazu beschreiben wir die Pyramide im raumfesten Koordinatensysterm durch ihre vier  Eckpunkte und fassen deren Koordinaten in der Matrix COORD zusammen. 
> r1:=[0,0,0]: r2:=[a,0,h]:  r3:=[0,b,h]: r4:=[0,0,h]: 
> COORD:=Matrix([r1,r2,r3,r4]);
# Die  Elementmatrix (Koinzidenztafel) enthlt die Zuordnung von jeweils drei Knoten zu einem Oberflchendreieck des Tetraeders . Es liegen insgesamt 4 Dreieckselemente vor.
> IZES:=Matrix([[1,3,2],[1,4,3],[1,3,2],[2,3,4]]);
# Mittels der folgenden Maple-Prozedur erzeugen wir fr unseren Kreisel  eine global vereinbarte  3D-Plotstruktur mit dem Namen PL
# Wir schauen uns den Kreisel an:
> TITEL:="Der unsymmetrische schwere Pyramidenkreisel im krperfesten Bezugssystem": ABEZ:=["x1","x2","x3"]:
> Proc_Graf_02(COORD,IZES,TITEL,ABEZ);
# Wir beschaffen uns die Massenmomente des unsymmetrischen Kreisels.
> Proc_Calc_19(COORD,IZES,rho):
# Zur Lsung des nichtlinearen  Differenzialgleichungssystems bentigen wir die Haupttrgheitsmomente und die Haupttrgheitsachsen bezogen auf den Ursprung des krperfesten Punktes P1 die wir der folgenden Eigenwertberechnung entnehmen. Dabei ist zu beachten, dass die Eigenvektoren nur bis auf einen konstanten Faktor bestimmt sind, denn den Eigenvektoren sind  nur die Achsrichtungen und nicht die Achsorientierungen festgelegt, da neben ei auch -ei ein Eigenvektor ist. 
> (EWq,EVq):=LinearAlgebra[Eigenvectors](Matrix(Thetaq,shape=symmetric));
# Hinweis: Die Eigenvektoren sind nur bis auf einen konstanten Faktor bestimmt. Bilden die spaltenweise in der Eigenvektormatrix  EVq  erscheinenden und auf die Lnge 1 normierten Eigenvektoren ein Rechtssystem, dann muss die Determinante der Eigenvektormatrix  den Wert +1 besitzen. Ergibt sich fr die Determinante der Wert  -1, dann kann ein Rechtsystem gebildet werden, indem aus den ersten beiden Spaltenvektoren e1 und e2 ein dritter Vektor e3 = e1e2  gebildet wird. Mit den Eigenvektoren sind nmlich nur die Achsrichtungen und nicht die Achsorientierungen festgelegt, da neben ei auch -ei (i = 1,2,3) ein Eigenvektor ist.  Wir berprfen das und erhalten
> DET:=Determinant(EVq);
# Hinweis: Ergibt sich fr die Determinante der Wert  -1, dann kann ein Rechtsystem gebildet werden, indem aus den ersten beiden Spaltenvektoren e1 und e2 ein dritter Vektor e3 = e1e2  gebildet wird. 
# Der Aufbau eines rechtshndigen Basissystems kann brigens auch manuell erfolgen. Dazu orientieren wir uns optisch an der Grafik im Buch TM 3 und whlen folgende Eigenvektoren:
> EVm:=Matrix([Column(EVq,2),Column(EVq,3),Column(EVq,1)]);
# Die zugehrigen Eigenwerte sind:
> EWm:=Vector([EWq[2],EWq[3],EWq[1]]);
# Wir prfen, ob es sich bei den obigen Einheitsvektoren um eine rechtshndige Basis handelt. Der resultierende Vektor muss dann verschwinden.
> CrossProduct(Column(EVm,1),Column(EVm,2))-Column(EVm,3);
# Wir beschaffen uns  die Darstellung des Tetraeders mit Lage und Richtung der Hauptachsen. Der Ursprung des Hauptachsensystems ist identisch mit dem Ursprung des Bezugsachsensystems (Punkt P1 in der folgenden Grafik). 
> TITEL:="Der unsymmetrische schwere Pyramidenkreisel im raumfesten Bezugssystem mit Hauptachsendarstellung":
> Proc_Graf_01(COORD,IZES,TITEL,ABEZ):
> lambda:=5.:li:={}:T1:={}:
> for i to 3 do
>   evi:=Column(EVm,i):
>   rai:=convert(-lambda*evi,list):
>   rbi:=convert( lambda*evi,list):
>   li :=li union {plottools[line](rai,rbi,color=blue,linestyle = dash)}:
>   T1 :=T1 union {[rai[1],rai[2],rai[3],i]}:
> end do:
> TP1:=plots[textplot3d](T1,'font'=["times","roman",14],'align'={'below','left'},color=blue):
> TP2:=plots[textplot3d]([0,0,0,"P1",'font'=["times","roman",16]],'align'={'below','left'},color=black):
> plots[display](PL,li,TP1,TP2,axes=boxed,scaling=constrained,orientation =[-75,55,-5],labels=["x1","x2","x3"]);
# Die rechtshndig orientierten Eigenvektoren in der Eigenvektormatrix EVm bilden die Matrixkomponenten der Drehmatrix (s.h. Buch TM 3). Im gedrehten Hauptachsensystem sind dann die Eckpunkte des Tetraeders zeilenweise in der Matrix CH angeordnet. 
> CH:=COORD.EVm;
# Wir stellen das Tetraeder im gedrehten Hauptachsensystem grafisch dar.
> TITEL:="Der unsymmetrische schwere Pyramidenkreisel im Hauptachsensystem": ABEZ:=["x1H","x2H","x3H"]:
> Proc_Graf_02(CH,IZES,TITEL,ABEZ);
# Im nchsten Schritt wird der Bewegungsvorgang des unsymmetrischen schweren Kreisels in Eulerwinkeln berechnet werden. Die einzige uere Kraft ist die im Schwerpunkt angreifende Gewichtskraft G = m g. Wir nehmen an, dass die Gewichtskraft mit G = -G e3  parallel zur raumfesten x3-Achse wirkt. 
> G:=MA*981;
# Im raumfesten 0-Basissystem ist dann
> G0:=Vector([0,0,-G]);
# Wir bentigen die Eulersche Drehmatrix
> RE:=Matrix(3,3,{(1,1)=cos(psi(t))*cos(phi(t))-sin(psi(t))*cos(theta(t))*sin(phi(t)),(1,2)=-cos(psi(t))*sin(phi(t))-sin(psi(t))*cos(theta(t))*cos(phi(t)),(1,3)=sin(psi(t))*sin(theta(t)),(2,1)=sin(psi(t))*cos(phi(t))+cos(psi(t))*cos(theta(t))*sin(phi(t)),(2,2)=-sin(psi(t))*sin(phi(t))+cos(psi(t))*cos(theta(t))*cos(phi(t)),(2,3)=-cos(psi(t))*sin(theta(t)),(3,1)=sin(theta(t))*sin(phi(t)),(3,2)=sin(theta(t))*cos(phi(t)),(3,3)=cos(theta(t))}):
> GH:=Transpose(RE).G0;
# Wir bentigen weiterhin den Ortsvektor des Volumenmittelpunktes (Schwerpunktes) im Hauptachsensystem
> RSH:=Transpose(EVm).RS;
# Das Moment aus Eigengewicht ist dann
> MH0:=CrossProduct(RSH,GH);
# Wir geben den Anfangszustand des Systems zum Zeitpunkt  t = 0 vor. Die Simulationszeit TD betrgt 1 Sekunde. Die Anzahl der Simulationsschritte ist N = 100.
> psi0:=0.: psi0p:=5.: theta0:=evalf(Pi/4): theta0p:=3.: phi0:=0.: phi0p:=5.: 
> AB:=[psi0,psi0p,theta0,theta0p,phi0,phi0p]:
> N:=100:TD:=1.:
> Proc_Calc_20(EWm,MH0,AB,N,TD,PL):
> ZG;
> AN;
> 
;
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