Géométrie birationnelle équivariante des grassmanniennes

Abstract

Soit K un corps infini et A une K-algèbre de dimension finie n. Soit 0 < r < n un entier. Le résultat principal de cet article est le suivant. Sous certaines hypothèses sur A (satisfaites si A est étale), la grassmannienne 𝔾(r, A) est K-birationnelle, de manière PGL₁(A)-équivariante, au produit de 𝔾(pgcd(r, n), A) par un espace projectif sur lequel PGL₁(A) agit trivialement (Théorème 3.3). On en déduit par torsion plusieurs résultats nouveaux sur les variétés de Severi–Brauer généralisées, liés à la conjecture d'Amitsur. Les plus significatifs sont les suivants.

1. Si A est une K-algèbre simple centrale de degré n, et si 0 < r < n est un entier, la r-ième variété de Severi–Brauer généralisée SB(r, A) est K-birationnelle au produit de SB(pgcd(r, n), A) par un K-espace projectif de dimension convenable.

2. Si A et B sont deux K-algèbres simples centrales de degrés premiers entre eux, SB(A ⊗_K B) est birationnelle au produit de SB(A) ×_K SB(B) par un K-espace projectif de dimension convenable.