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Erzeugende Funktionen

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Einführung in die Kombinatorik
Ein Kapitel aus dem Buch Einführung in die Kombinatorik
4 ERZEUGENDE FUNKTIONEN Einleitung Es sei (a.)-,kl eine Folge komplexer Zahlen und ( f. ) . , 1 ltN ot- x o o eine summierbare Folge von Polynomen aus C[z] mit grad(f^)=i für alle i€N . Wir nennen die formale Potenzreihe o aifi(z) £ C[[z]] i = o eine erzeugende Funktion für die Zahlen a^. Für f^(z)=z1 zi sprechen wir auch von der gewöhnliehen, für f^(z)=-ry auch von der HURWITZschen oder exponentiellen erzeugenden Funktion. In der Kombinatorik wird der im Anhang dargestellte Kalkül der formalen Potenzreihen zur Untersuchung von Zahlenfolgen ^ai^i€N benutzt. Im allgemeinen wird dabei vom Koeffizien-o tenvergleich Gebrauch gemacht, d.h. von dem Umstand, daß zwei formale Potenzreihen ^ a.f.(z) und ]> b.f.(z) genau i€N~ 1 1 ieFT 1 1 o o dann identisch sind, wenn a.=b. für alle i€N gilt. Da ' 11 o ö wir im wesentlichen Folgen ganzer Zahlen betrachten, könnten wir statt C jeden anderen Körper der Charakteristik 0, wi etwa Q oder R wählen. In entsprechender Weise benutzen wir für n-fach-Folgen (ai1,i2,...,in)i1,i2,...,in£No komplexer Zahlen den Begriff der erzeugenden Funktion, das sind in diesem Zusammenhang formale Potenzreihen 00 > a. . . f. (Z,)f. (z0)...f. (z ) —• . . i„,i„,...,i i„ 1 i„ 2 in xt,±2,...,in=o 1' 2' n 1 2 n aus C [ [ 7.. , zn , . . . , z ]], wobei für alle k€Z die Folge (f. ). ... von Polynomen f- €C[z, ] mit grad(f. ) = iv sum-1k 1k€No xk k 1k K mierbar ist.
© 2022 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Munich/Boston

4 ERZEUGENDE FUNKTIONEN Einleitung Es sei (a.)-,kl eine Folge komplexer Zahlen und ( f. ) . , 1 ltN ot- x o o eine summierbare Folge von Polynomen aus C[z] mit grad(f^)=i für alle i€N . Wir nennen die formale Potenzreihe o aifi(z) £ C[[z]] i = o eine erzeugende Funktion für die Zahlen a^. Für f^(z)=z1 zi sprechen wir auch von der gewöhnliehen, für f^(z)=-ry auch von der HURWITZschen oder exponentiellen erzeugenden Funktion. In der Kombinatorik wird der im Anhang dargestellte Kalkül der formalen Potenzreihen zur Untersuchung von Zahlenfolgen ^ai^i€N benutzt. Im allgemeinen wird dabei vom Koeffizien-o tenvergleich Gebrauch gemacht, d.h. von dem Umstand, daß zwei formale Potenzreihen ^ a.f.(z) und ]> b.f.(z) genau i€N~ 1 1 ieFT 1 1 o o dann identisch sind, wenn a.=b. für alle i€N gilt. Da ' 11 o ö wir im wesentlichen Folgen ganzer Zahlen betrachten, könnten wir statt C jeden anderen Körper der Charakteristik 0, wi etwa Q oder R wählen. In entsprechender Weise benutzen wir für n-fach-Folgen (ai1,i2,...,in)i1,i2,...,in£No komplexer Zahlen den Begriff der erzeugenden Funktion, das sind in diesem Zusammenhang formale Potenzreihen 00 > a. . . f. (Z,)f. (z0)...f. (z ) —• . . i„,i„,...,i i„ 1 i„ 2 in xt,±2,...,in=o 1' 2' n 1 2 n aus C [ [ 7.. , zn , . . . , z ]], wobei für alle k€Z die Folge (f. ). ... von Polynomen f- €C[z, ] mit grad(f. ) = iv sum-1k 1k€No xk k 1k K mierbar ist.
© 2022 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Munich/Boston

Kapitel in diesem Buch

  1. Frontmatter I
  2. VORWORT V
  3. INHALTSVERZEICHNIS X
  4. EINLEITUNG
  5. DIRICHLETsches Taubenschlagprinzip 1
  6. Inzidenzstrukturen 1
  7. Erzeugende Funktionen 4
  8. Rekursionen 5
  9. ERSTER TEIL. ABZÄHLENDE KOMBINATORIK
  10. KAPITEL 1. KOMBINATIONEN
  11. 1.1 Binomialkoeffizienten 8
  12. 1.2 Multinomialkoeffizienten 13
  13. 1.3 Auswahlen 14
  14. 1.4 Inversionsformeln 18
  15. KAPITEL 2. PERMUTATIONEN UND PERMUTATIONSMENGEN
  16. 2.1 Permutationen und Anordnungen 24
  17. 2.2 Permutationsdarstellungen abstrakter Gruppen . 27
  18. 2.3 Gruppen gebrochener semilinearer Abbildungen 28
  19. 2.4 Die symmetrische und die alternierende Gruppe 29
  20. 2.5 Permutationscharaktere 32
  21. KAPITEL 3. DAS PRINZIP VON INKLUSION UND EXKLUSION
  22. 3.1 Siebformeln 35
  23. 3.2 Die EULERsche ip-Funktion 37
  24. 3.3 Le problême des rencontres 37
  25. 3.4 Le problème des ménages 45
  26. 3.5 Turmpolynome 47
  27. 3.6 Permanenten 50
  28. KAPITEL 4. PARTITIONEN VON MENGEN
  29. 4.1 Die STIRLING-Zahlen 2. Art 56
  30. 4.2 Die BELLschen Exponentialzahlen 59
  31. KAPITEL 5. ZYKLEN VON PERMUTATIONEN
  32. 5.1 Die STIRLING-Zahlen 1. Art 63
  33. 5.2 Zyklenzeiger von Permutationsgruppen 66
  34. KAPITEL 6. PARTITIONEN NATÜRLICHER ZAHLEN
  35. Einleitung 72
  36. 6.1 Erzeugende Funktionen von Partitionen 73
  37. 6.2 FERRERS-Diagramme 75
  38. 6.3 Perfekte Partitionen 83
  39. KAPITEL 7. DIE POLYASCHE ABZÄHLUNGSMETHODE
  40. Einleitung 86
  41. 7.1 Belegungen von Schachteln 87
  42. 7.2 Gewichtsfunktionen 90
  43. 7.3 Die Hauptsätze der POLYA-Theorie 94
  44. 7.4 Isomere des Alkohols 104
  45. KAPITEL 8. ENDLICHE GRAPHEN
  46. Einleitung 109
  47. 8.1 Bäume und Wälder 110
  48. 8.2 Die CATALANschen Zahlen 115
  49. 8.3 Das Königsberger Brückenproblem 118
  50. 8.4 Planare Graphen 123
  51. 8.5 Inzidenzgraphen 130
  52. ZWEITER TEIL. EXISTENZPROBLEME
  53. KAPITEL 9. ZWEI GRAPHENTHEORETISCHE EXTREMALPROBLEME
  54. Einleitung 132
  55. 9.1 Ein Satz von P. TURAN 133
  56. 9.2 Ein Satz von F. P. RAMSEY 135
  57. 9.3 Ein kombinatorisches Problem in der Geometrie 140
  58. 9.4 Eine zahlentheoretische Anwendung des Satzes von F. P. RAMSEY 141
  59. KAPITEL 10. VERTRETERSYSTEME
  60. 10.1 Das Heiratsproblem 144
  61. 10.2 Gemeinsame Vertretersysteme 151
  62. 10.3 (0 ,1)-Matrizen 153
  63. 10.4 Disjunkte Teilvertretersysteme 158
  64. 10.5 Das GALE-RYSER-Kriterium 160
  65. KAPITEL 11. LATEINISCHE QUADRATE
  66. 11.1 Lateinische Rechtecke 166
  67. 11.2 Gewebe 170
  68. 11.3 Orthogonale lateinische Quadrate 186
  69. KAPITEL 12. ENDLICHE GEOMETRIEN
  70. 12.1 Projektive Geometrie 194
  71. 12.2 Quadratische Mengen 212
  72. 12.3 BENZ-Ebenen 228
  73. 12.4 Endliche hyperbolische Ebenen 235
  74. 12.5 STEINERsche Systeme 237
  75. KAPITEL 13. CODES
  76. Einleitung 249
  77. 13.1 Systematische Codes 250
  78. 13.2 HAMMING-Codes 260
  79. 13.3 Optimale Codes 266
  80. ANHANG. Formale Potenzreihen 271
  81. Literatur 279
  82. Symbolverzeichnis 283
  83. Namenverzeichnis 289
  84. Stichwortverzeichnis 292
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https://doi.org/10.1515/9783112577462-004

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  2. VORWORT V
  3. INHALTSVERZEICHNIS X
  4. EINLEITUNG
  5. DIRICHLETsches Taubenschlagprinzip 1
  6. Inzidenzstrukturen 1
  7. Erzeugende Funktionen 4
  8. Rekursionen 5
  9. ERSTER TEIL. ABZÄHLENDE KOMBINATORIK
  10. KAPITEL 1. KOMBINATIONEN
  11. 1.1 Binomialkoeffizienten 8
  12. 1.2 Multinomialkoeffizienten 13
  13. 1.3 Auswahlen 14
  14. 1.4 Inversionsformeln 18
  15. KAPITEL 2. PERMUTATIONEN UND PERMUTATIONSMENGEN
  16. 2.1 Permutationen und Anordnungen 24
  17. 2.2 Permutationsdarstellungen abstrakter Gruppen . 27
  18. 2.3 Gruppen gebrochener semilinearer Abbildungen 28
  19. 2.4 Die symmetrische und die alternierende Gruppe 29
  20. 2.5 Permutationscharaktere 32
  21. KAPITEL 3. DAS PRINZIP VON INKLUSION UND EXKLUSION
  22. 3.1 Siebformeln 35
  23. 3.2 Die EULERsche ip-Funktion 37
  24. 3.3 Le problême des rencontres 37
  25. 3.4 Le problème des ménages 45
  26. 3.5 Turmpolynome 47
  27. 3.6 Permanenten 50
  28. KAPITEL 4. PARTITIONEN VON MENGEN
  29. 4.1 Die STIRLING-Zahlen 2. Art 56
  30. 4.2 Die BELLschen Exponentialzahlen 59
  31. KAPITEL 5. ZYKLEN VON PERMUTATIONEN
  32. 5.1 Die STIRLING-Zahlen 1. Art 63
  33. 5.2 Zyklenzeiger von Permutationsgruppen 66
  34. KAPITEL 6. PARTITIONEN NATÜRLICHER ZAHLEN
  35. Einleitung 72
  36. 6.1 Erzeugende Funktionen von Partitionen 73
  37. 6.2 FERRERS-Diagramme 75
  38. 6.3 Perfekte Partitionen 83
  39. KAPITEL 7. DIE POLYASCHE ABZÄHLUNGSMETHODE
  40. Einleitung 86
  41. 7.1 Belegungen von Schachteln 87
  42. 7.2 Gewichtsfunktionen 90
  43. 7.3 Die Hauptsätze der POLYA-Theorie 94
  44. 7.4 Isomere des Alkohols 104
  45. KAPITEL 8. ENDLICHE GRAPHEN
  46. Einleitung 109
  47. 8.1 Bäume und Wälder 110
  48. 8.2 Die CATALANschen Zahlen 115
  49. 8.3 Das Königsberger Brückenproblem 118
  50. 8.4 Planare Graphen 123
  51. 8.5 Inzidenzgraphen 130
  52. ZWEITER TEIL. EXISTENZPROBLEME
  53. KAPITEL 9. ZWEI GRAPHENTHEORETISCHE EXTREMALPROBLEME
  54. Einleitung 132
  55. 9.1 Ein Satz von P. TURAN 133
  56. 9.2 Ein Satz von F. P. RAMSEY 135
  57. 9.3 Ein kombinatorisches Problem in der Geometrie 140
  58. 9.4 Eine zahlentheoretische Anwendung des Satzes von F. P. RAMSEY 141
  59. KAPITEL 10. VERTRETERSYSTEME
  60. 10.1 Das Heiratsproblem 144
  61. 10.2 Gemeinsame Vertretersysteme 151
  62. 10.3 (0 ,1)-Matrizen 153
  63. 10.4 Disjunkte Teilvertretersysteme 158
  64. 10.5 Das GALE-RYSER-Kriterium 160
  65. KAPITEL 11. LATEINISCHE QUADRATE
  66. 11.1 Lateinische Rechtecke 166
  67. 11.2 Gewebe 170
  68. 11.3 Orthogonale lateinische Quadrate 186
  69. KAPITEL 12. ENDLICHE GEOMETRIEN
  70. 12.1 Projektive Geometrie 194
  71. 12.2 Quadratische Mengen 212
  72. 12.3 BENZ-Ebenen 228
  73. 12.4 Endliche hyperbolische Ebenen 235
  74. 12.5 STEINERsche Systeme 237
  75. KAPITEL 13. CODES
  76. Einleitung 249
  77. 13.1 Systematische Codes 250
  78. 13.2 HAMMING-Codes 260
  79. 13.3 Optimale Codes 266
  80. ANHANG. Formale Potenzreihen 271
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