Startseite Naturwissenschaften CHAPITRE IX. RÉSOLUTION DE L'ÉQUATION DE SCHRÖDINGER PAR SÉPARATION DES VARIABLES POTENTIEL CENTRAL
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CHAPITRE IX. RÉSOLUTION DE L'ÉQUATION DE SCHRÖDINGER PAR SÉPARATION DES VARIABLES POTENTIEL CENTRAL

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Tome 1
Ein Kapitel aus dem Buch Tome 1
CHAPITRE IX RÉSOLUTION DE L'ÉQUATION DE SCHRÔDINGER PAR SÉPARATION DES VARIABLES POTENTIEL CENTRAL I. Introduction L'étude d'un système physique consiste essentiellement à résoudre son équation de Schrôdinger indépendante du temps. En particulier, cette équa-tion aux valeurs propres intervient directement dans les deux types de pro-blèmes les plus fréquents en physique quantique, à savoir : (i) la détermination des niveaux d'énergie des états liés : ce sont les valeurs propres du spectre discret de l'Hamiltonien ; (ii) celle des sections efficaces de collisions : comme nous le démontrerons plus loin (chap. X) celles-ci se déduisent de la forme asymptotique des fonc-tions propres relatives aux états non liés. En Mécanique Ondulatoire, l'équation de Schrôdinger est une équation aux dérivées partielles du second ordre. Pour un système à une dimension, celle-ci se réduit à une équation différentielle ; l'étude du problème de valeurs propres dans ce cas simple a déjà été faite (chap. III). Le problème est en général beaucoup plus difficile lorsque le système possède un plus grand nombre de dimensions. Cependant, les propriétés de symétrie que peut pos-séder l'Hamiltonien peuvent en faciliter la résolution. Il peut se faire notam-ment qu'un changement de variable approprié conduise à une équation aux dérivées partielles dont les variables se séparent ; le problème de valeur propre se scinde alors en plusieurs problèmes de valeurs propres mettant en jeu un moins grand nombre de dimensions, donc plus simples. C'est ce qui se passe pour une particule dans un potentiel central, c'est-à-dire dans un potentiel qui ne dépend que de la distance r de la particule à un centre de forces et non de la direction du vecteur r joignant ce centre à la particule. L'Hamiltonien possédant la symétrie sphérique, les variables se séparent complètement lorsqu'on traite le problème en coordonnées polai-res ; la résolution de l'équation de Schrôdinger se réduit, après séparation des variables angulaires, à celle d'une équation différentielle concernant la variable radiale seulement, équation qu'il est toujours possible d'intégrer numériquement. La majeure partie de ce chapitre est consacrée à la résolution de l'équation
© 2020 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Munich/Boston

CHAPITRE IX RÉSOLUTION DE L'ÉQUATION DE SCHRÔDINGER PAR SÉPARATION DES VARIABLES POTENTIEL CENTRAL I. Introduction L'étude d'un système physique consiste essentiellement à résoudre son équation de Schrôdinger indépendante du temps. En particulier, cette équa-tion aux valeurs propres intervient directement dans les deux types de pro-blèmes les plus fréquents en physique quantique, à savoir : (i) la détermination des niveaux d'énergie des états liés : ce sont les valeurs propres du spectre discret de l'Hamiltonien ; (ii) celle des sections efficaces de collisions : comme nous le démontrerons plus loin (chap. X) celles-ci se déduisent de la forme asymptotique des fonc-tions propres relatives aux états non liés. En Mécanique Ondulatoire, l'équation de Schrôdinger est une équation aux dérivées partielles du second ordre. Pour un système à une dimension, celle-ci se réduit à une équation différentielle ; l'étude du problème de valeurs propres dans ce cas simple a déjà été faite (chap. III). Le problème est en général beaucoup plus difficile lorsque le système possède un plus grand nombre de dimensions. Cependant, les propriétés de symétrie que peut pos-séder l'Hamiltonien peuvent en faciliter la résolution. Il peut se faire notam-ment qu'un changement de variable approprié conduise à une équation aux dérivées partielles dont les variables se séparent ; le problème de valeur propre se scinde alors en plusieurs problèmes de valeurs propres mettant en jeu un moins grand nombre de dimensions, donc plus simples. C'est ce qui se passe pour une particule dans un potentiel central, c'est-à-dire dans un potentiel qui ne dépend que de la distance r de la particule à un centre de forces et non de la direction du vecteur r joignant ce centre à la particule. L'Hamiltonien possédant la symétrie sphérique, les variables se séparent complètement lorsqu'on traite le problème en coordonnées polai-res ; la résolution de l'équation de Schrôdinger se réduit, après séparation des variables angulaires, à celle d'une équation différentielle concernant la variable radiale seulement, équation qu'il est toujours possible d'intégrer numériquement. La majeure partie de ce chapitre est consacrée à la résolution de l'équation
© 2020 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Munich/Boston

Kapitel in diesem Buch

  1. Frontmatter I
  2. Préface V
  3. Souvenirs protoquantiques VII
  4. Avant-propos de la Nouvelle Edition IX
  5. Avant-propos A de la Première Edition XIII
  6. PLAN DE L'OUVRAGE XV
  7. TABLE DES MATIÈRES XVII
  8. PREMIÈRE PARTIE. LE FORMALISME ET SON INTERPRÉTATION
  9. CHAPITRE PREMIER. LES ORIGINES DE LA THÉORIE QUANTIQUE 3
  10. CHAPITRE II. ONDES DE MATIÈRE ET ÉQUATION DE SCHRÖDINGER 38
  11. CHAPITRE III. SYSTÈMES QUANTIQUES A UNE DIMENSION 65
  12. CHAPITRE IV. INTERPRÉTATION STATISTIQUE DE LA DUALITÉ ONDE-CORPUSCULE ET RELATIONS D'INCERTITUDE 97
  13. CHAPITRE V. LE DÉVELOPPEMENT DU FORMALISME DE LA MÉCANIQUE ONDULATOIRE ET SON INTERPRÉTATION 136
  14. CHAPITRE VI. APPROXIMATION CLASSIQUE ET MÉTHODE BKW 180
  15. CHAPITRE VII. LE FORMALISME GÉNÉRAL DE LA THÉORIE QUANTIQUE. A. — LE CADRE MATHÉMATIQUE 204
  16. CHAPITRE VIII. FORMALISME GÉNÉRAL. B. — DESCRIPTION DES PHÉNOMÈNES PHYSIQUES 248
  17. DEUXIÈME PARTIE. SYSTÈMES SIMPLES
  18. CHAPITRE IX. RÉSOLUTION DE L'ÉQUATION DE SCHRÖDINGER PAR SÉPARATION DES VARIABLES POTENTIEL CENTRAL 291
  19. CHAPITRE X. PROBLÈMES DE DIFFUSION. POTENTIEL CENTRAL ET MÉTHODE DES DÉPHASAGES 313
  20. CHAPITRE XI. L'INTERACTION COULOMBIENNE 349
  21. CHAPITRE XII. L'OSCILLATEUR HARMONIQUE 367
  22. APPENDICE A. DISTRIBUTIONS, « FONCTION » δ ET TRANSFORMATION DE FOURIER 393
  23. APPENDICE B. FONCTIONS SPÉCIALES ET FORMULES ASSOCIÉES 406
  24. INDEX DU TOME I 425
  25. Backmatter 431
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https://doi.org/10.1515/9783112327005-014

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  2. Préface V
  3. Souvenirs protoquantiques VII
  4. Avant-propos de la Nouvelle Edition IX
  5. Avant-propos A de la Première Edition XIII
  6. PLAN DE L'OUVRAGE XV
  7. TABLE DES MATIÈRES XVII
  8. PREMIÈRE PARTIE. LE FORMALISME ET SON INTERPRÉTATION
  9. CHAPITRE PREMIER. LES ORIGINES DE LA THÉORIE QUANTIQUE 3
  10. CHAPITRE II. ONDES DE MATIÈRE ET ÉQUATION DE SCHRÖDINGER 38
  11. CHAPITRE III. SYSTÈMES QUANTIQUES A UNE DIMENSION 65
  12. CHAPITRE IV. INTERPRÉTATION STATISTIQUE DE LA DUALITÉ ONDE-CORPUSCULE ET RELATIONS D'INCERTITUDE 97
  13. CHAPITRE V. LE DÉVELOPPEMENT DU FORMALISME DE LA MÉCANIQUE ONDULATOIRE ET SON INTERPRÉTATION 136
  14. CHAPITRE VI. APPROXIMATION CLASSIQUE ET MÉTHODE BKW 180
  15. CHAPITRE VII. LE FORMALISME GÉNÉRAL DE LA THÉORIE QUANTIQUE. A. — LE CADRE MATHÉMATIQUE 204
  16. CHAPITRE VIII. FORMALISME GÉNÉRAL. B. — DESCRIPTION DES PHÉNOMÈNES PHYSIQUES 248
  17. DEUXIÈME PARTIE. SYSTÈMES SIMPLES
  18. CHAPITRE IX. RÉSOLUTION DE L'ÉQUATION DE SCHRÖDINGER PAR SÉPARATION DES VARIABLES POTENTIEL CENTRAL 291
  19. CHAPITRE X. PROBLÈMES DE DIFFUSION. POTENTIEL CENTRAL ET MÉTHODE DES DÉPHASAGES 313
  20. CHAPITRE XI. L'INTERACTION COULOMBIENNE 349
  21. CHAPITRE XII. L'OSCILLATEUR HARMONIQUE 367
  22. APPENDICE A. DISTRIBUTIONS, « FONCTION » δ ET TRANSFORMATION DE FOURIER 393
  23. APPENDICE B. FONCTIONS SPÉCIALES ET FORMULES ASSOCIÉES 406
  24. INDEX DU TOME I 425
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