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32 Potentialströmungen

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Angewandte Differentialgleichungen Kompakt
This chapter is in the book Angewandte Differentialgleichungen Kompakt
32 PotentialströmungenIn Abschnitt 30.3 hatten wir die Euler-Gleichung für eine eindimensionale Strömunginnerhalb eines Stromfadens hergeleitet. Die Euler-Gleichung soll für den Fall einerinkompressiblenund instationärenStrömungauf drei Dimensionenerweitertwerden.Herleitung von (32.1) und (32.2):Betrachten wir dazu nochmals Abb. 30.2 rechts. Inder Bilanz (30.7) wird dies-Koordinate tangential zu jeder Stromlinie innerhalb desStromfadens nacheinander durchx,yundzersetzt. Das führt auf die drei Einzelbi­lanzendFax=dFGvx+dFpx−dF(p+dp)xdFay=dFGvy+dFpy−dF(p+dp)ydFaz=dFGvz+dFpz−dF(p+dp)zoderdm⋅ax=dm⋅gx−dpx⋅dAxdm⋅ay=dm⋅gy−dpy⋅dAydm⋅az=dm⋅gz−dpz⋅dAz,mitax=gx−dpxρ⋅dxay=gy−dpyρ⋅dyaz=gz−dpzρ⋅dzund schließlichρ(∂vx∂t+vx⋅∂vx∂x+vy⋅∂vx∂y+vz⋅∂vx∂z∂vy∂t+vx⋅∂vy∂x+vy⋅∂vy∂y+vz⋅∂vy∂z∂vz∂t+vx⋅∂vz∂x+vy⋅∂vz∂y+vz⋅∂vz∂z)+(∂p∂x∂p∂y∂p∂z)−ρ(gxgygz)=0.Kurz schreibt manρ[d⃗vdt+(⃗v⋅⃗∇)⃗v]+gradp−ρ⃗g=0(32.1)oderD⃗vDt+gradpρ−⃗g=0 mit der substantiellen BeschleunigungD⃗vDt.InBand5wirddieIdentität(⃗v⋅⃗∇)⃗v=12⃗∇‖⃗v‖2−⃗v×(⃗∇×⃗v)hergeleitet. Somit erhält die Euler-Gleichung in 3D die endgültige Gestalthttps://doi.org/10.1515/9783110737981-032
© 2022 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Boston

32 PotentialströmungenIn Abschnitt 30.3 hatten wir die Euler-Gleichung für eine eindimensionale Strömunginnerhalb eines Stromfadens hergeleitet. Die Euler-Gleichung soll für den Fall einerinkompressiblenund instationärenStrömungauf drei Dimensionenerweitertwerden.Herleitung von (32.1) und (32.2):Betrachten wir dazu nochmals Abb. 30.2 rechts. Inder Bilanz (30.7) wird dies-Koordinate tangential zu jeder Stromlinie innerhalb desStromfadens nacheinander durchx,yundzersetzt. Das führt auf die drei Einzelbi­lanzendFax=dFGvx+dFpx−dF(p+dp)xdFay=dFGvy+dFpy−dF(p+dp)ydFaz=dFGvz+dFpz−dF(p+dp)zoderdm⋅ax=dm⋅gx−dpx⋅dAxdm⋅ay=dm⋅gy−dpy⋅dAydm⋅az=dm⋅gz−dpz⋅dAz,mitax=gx−dpxρ⋅dxay=gy−dpyρ⋅dyaz=gz−dpzρ⋅dzund schließlichρ(∂vx∂t+vx⋅∂vx∂x+vy⋅∂vx∂y+vz⋅∂vx∂z∂vy∂t+vx⋅∂vy∂x+vy⋅∂vy∂y+vz⋅∂vy∂z∂vz∂t+vx⋅∂vz∂x+vy⋅∂vz∂y+vz⋅∂vz∂z)+(∂p∂x∂p∂y∂p∂z)−ρ(gxgygz)=0.Kurz schreibt manρ[d⃗vdt+(⃗v⋅⃗∇)⃗v]+gradp−ρ⃗g=0(32.1)oderD⃗vDt+gradpρ−⃗g=0 mit der substantiellen BeschleunigungD⃗vDt.InBand5wirddieIdentität(⃗v⋅⃗∇)⃗v=12⃗∇‖⃗v‖2−⃗v×(⃗∇×⃗v)hergeleitet. Somit erhält die Euler-Gleichung in 3D die endgültige Gestalthttps://doi.org/10.1515/9783110737981-032
© 2022 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Boston

Chapters in this book

  1. Frontmatter I
  2. Vorwort VII
  3. Inhalt XI
  4. 1 Einleitung 1
  5. 2 Differentialgleichungen 1. Ordnung 7
  6. 3 Homogene und inhomogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung 11
  7. 4 Der funktionale Zusammenhang zweier physikalischer Größen 13
  8. 5 Kompartimentmodelle 23
  9. 6 Numerisches Lösen von Differentialgleichungen 29
  10. 7 Differentialgleichungen 2. Ordnung 33
  11. 8 Die Verformungen eines Festkörpers 52
  12. 9 Elastische, viskose und plastische Materialien 66
  13. 10 Statische Auslenkungen einer vorgespannten Saite 75
  14. 11 Balkenbiegungen 79
  15. 12 Schwingungen 96
  16. 13 Numerisches Lösen von Differentialgleichungen 2. Ordnung 103
  17. 14 Erzwungene Schwingungen 112
  18. 15 Gekoppelte Pendel 118
  19. 16 Partielle Differentialgleichungen 126
  20. 17 Die Wellengleichung für Longitudinalschwingungen eines Stabs 154
  21. 18 Die Gleichung für Biegeschwingungen eines Balkens 164
  22. 19 Die Gleichung für Schwingungen einer Membran 198
  23. 20 Die Plattengleichung 214
  24. 21 Wärmetransporte 230
  25. 22 Instationäre Wärmeleitung ohne innere Wärmequellen 241
  26. 23 Instationäre Wärmeleitung bei nicht konstanter Starttemperatur 272
  27. 24 Näherungslösungen zur Reihenlösung 276
  28. 25 Wärmeleitung mit innerer Wärmequelle 297
  29. 26 Wärmeübertragung mit Rippen 302
  30. 27 Wichtige Kennzahlen und Größen der Wärmeübertragung 307
  31. 28 Gleich- und Gegenstromwärmeüberträger 316
  32. 29 Wärmestrahlung 324
  33. 30 Strömungen 336
  34. 31 Wirbelströmungen 366
  35. 32 Potentialströmungen 374
  36. 33 Lösungen von Potentialströmungen 381
  37. 34 Keil- und Eckströmungen 397
  38. 35 Reibungsbehaftete Rohrströmungen 400
  39. 36 Gerinneströmungen 1. Teil 408
  40. 37 Zusammenfassung der bisherigen Strömungen 435
  41. 38 Die Navier-Stokes-Gleichung 437
  42. 39 Die Grenzschichtgleichungen 473
  43. 40 Die Energieerhaltung reibungsbehafteter Strömungen 512
  44. 41 Freie Konvektion 544
  45. 42 Turbulente Strömungen 559
  46. 43 Gerinneströmungen 2. Teil 615
  47. Weiterführende Literatur 649
  48. Stichwortverzeichnis 654
Readers are also interested in:
https://doi.org/10.1515/9783110737981-032

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  2. Vorwort VII
  3. Inhalt XI
  4. 1 Einleitung 1
  5. 2 Differentialgleichungen 1. Ordnung 7
  6. 3 Homogene und inhomogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung 11
  7. 4 Der funktionale Zusammenhang zweier physikalischer Größen 13
  8. 5 Kompartimentmodelle 23
  9. 6 Numerisches Lösen von Differentialgleichungen 29
  10. 7 Differentialgleichungen 2. Ordnung 33
  11. 8 Die Verformungen eines Festkörpers 52
  12. 9 Elastische, viskose und plastische Materialien 66
  13. 10 Statische Auslenkungen einer vorgespannten Saite 75
  14. 11 Balkenbiegungen 79
  15. 12 Schwingungen 96
  16. 13 Numerisches Lösen von Differentialgleichungen 2. Ordnung 103
  17. 14 Erzwungene Schwingungen 112
  18. 15 Gekoppelte Pendel 118
  19. 16 Partielle Differentialgleichungen 126
  20. 17 Die Wellengleichung für Longitudinalschwingungen eines Stabs 154
  21. 18 Die Gleichung für Biegeschwingungen eines Balkens 164
  22. 19 Die Gleichung für Schwingungen einer Membran 198
  23. 20 Die Plattengleichung 214
  24. 21 Wärmetransporte 230
  25. 22 Instationäre Wärmeleitung ohne innere Wärmequellen 241
  26. 23 Instationäre Wärmeleitung bei nicht konstanter Starttemperatur 272
  27. 24 Näherungslösungen zur Reihenlösung 276
  28. 25 Wärmeleitung mit innerer Wärmequelle 297
  29. 26 Wärmeübertragung mit Rippen 302
  30. 27 Wichtige Kennzahlen und Größen der Wärmeübertragung 307
  31. 28 Gleich- und Gegenstromwärmeüberträger 316
  32. 29 Wärmestrahlung 324
  33. 30 Strömungen 336
  34. 31 Wirbelströmungen 366
  35. 32 Potentialströmungen 374
  36. 33 Lösungen von Potentialströmungen 381
  37. 34 Keil- und Eckströmungen 397
  38. 35 Reibungsbehaftete Rohrströmungen 400
  39. 36 Gerinneströmungen 1. Teil 408
  40. 37 Zusammenfassung der bisherigen Strömungen 435
  41. 38 Die Navier-Stokes-Gleichung 437
  42. 39 Die Grenzschichtgleichungen 473
  43. 40 Die Energieerhaltung reibungsbehafteter Strömungen 512
  44. 41 Freie Konvektion 544
  45. 42 Turbulente Strömungen 559
  46. 43 Gerinneströmungen 2. Teil 615
  47. Weiterführende Literatur 649
  48. Stichwortverzeichnis 654
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© 2025 De Gruyter Brill
Downloaded on 9.10.2025 from https://www.degruyterbrill.com/document/doi/10.1515/9783110737981-032/html?licenseType=restricted&srsltid=AfmBOoqgaCgMHV__xqBdnMjA_90otAW3vfCZebBKQzfIfA_LF7ghJe7M
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