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11. Das Prinzip der virtuellen Arbeit in der Statik

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Statik
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11 Das Prinzip der virtuellen Arbeit in der Statik11.1 VorbemerkungZur Klärung, ob sich ein System im Gleichgewicht befindet, gibt es in der Mechanikzwei Kriterien:– Untersuchung, ob sich alle einwirkenden Kräfte und Momente in ihrer Wirkunggegenseitig aufheben.– Anwendung eines Arbeitsprinzips mit Betrachtung der Arbeit, die Kräfte und Mo­mente bei einer gedachten Änderung des Systems leisten würden. Aus dem Ver­schwinden dieser Arbeit kann auf das Gleichgewicht geschlossen werden.Die erste Methode haben wir in den zehn Kapiteln dieses Lehrbuches mit den Gleich­gewichtsbedingungen angewendet. Diese sehr anschauliche, einfach zu handhaben­de Methode ist andie Bedingungen geknüpft, dassalle Kräfte –die eingeprägten Kräf­te, Reaktions- und Zwangskräfte sowie innere Kräfte – zu berücksichtigen sind unddass die Körper starr angenommen werden können.Bei der zweiten Methode müssen Reaktions- und Zwangskräfte, weil leistungslos,nicht berücksichtigt werden. Die Anwendung ist nicht auf starre Körper beschränkt.Das Arbeitsprinzip ist das allgemeinste, notwendige und hinreichende Gleichgewichts­prinzip der Statik.Über die Anwendung in der Statik hinaus istdas Arbeitsprinzip Grundlage für Lösun­gen in der Festigkeitslehre und der Kinetik.11.2 Arbeitssatz der MechanikDer mit den Grundlagen der Physik vertraute Leser wird mit dem Arbeitsbegriff min­destens die Merkregel „Kraft mal Weg“ verbinden. Da sowohl der Weg als auch dieKraft Vektorcharakter haben, muss die präzise Formulierung „Skalarprodukt vonKraftvektor mal Wegvektor“ heißen. Zur Berechnung z. B. der Federarbeit ist zu be­rücksichtigen, dass der Kraftvektor vom Federweg abhängt und somit nur für eininfinitesimales Wegstück als konstant angesehen werden kann. Somit erhalten wiralsodortalsSkalarproduktdesKraftvektorsmiteinemInkrement¹desVerschiebungs­vektors ein Arbeitsinkrement und aus der Summierung (Integration) aller Arbeitsin­kremente die geleistete Arbeit.Zur Bestimmung dieser Arbeit bringen wir die LastFschrittweise auf, bis die End­lastF0mitderVerlängerungsgemäßAbbildung11.1aerreichtist.Dabeidurchläuftder1Inkrement ‹lat.›: Zuwachs.https://doi.org/10.1515/9783110425031-011
© 2018 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Munich/Boston

11 Das Prinzip der virtuellen Arbeit in der Statik11.1 VorbemerkungZur Klärung, ob sich ein System im Gleichgewicht befindet, gibt es in der Mechanikzwei Kriterien:– Untersuchung, ob sich alle einwirkenden Kräfte und Momente in ihrer Wirkunggegenseitig aufheben.– Anwendung eines Arbeitsprinzips mit Betrachtung der Arbeit, die Kräfte und Mo­mente bei einer gedachten Änderung des Systems leisten würden. Aus dem Ver­schwinden dieser Arbeit kann auf das Gleichgewicht geschlossen werden.Die erste Methode haben wir in den zehn Kapiteln dieses Lehrbuches mit den Gleich­gewichtsbedingungen angewendet. Diese sehr anschauliche, einfach zu handhaben­de Methode ist andie Bedingungen geknüpft, dassalle Kräfte –die eingeprägten Kräf­te, Reaktions- und Zwangskräfte sowie innere Kräfte – zu berücksichtigen sind unddass die Körper starr angenommen werden können.Bei der zweiten Methode müssen Reaktions- und Zwangskräfte, weil leistungslos,nicht berücksichtigt werden. Die Anwendung ist nicht auf starre Körper beschränkt.Das Arbeitsprinzip ist das allgemeinste, notwendige und hinreichende Gleichgewichts­prinzip der Statik.Über die Anwendung in der Statik hinaus istdas Arbeitsprinzip Grundlage für Lösun­gen in der Festigkeitslehre und der Kinetik.11.2 Arbeitssatz der MechanikDer mit den Grundlagen der Physik vertraute Leser wird mit dem Arbeitsbegriff min­destens die Merkregel „Kraft mal Weg“ verbinden. Da sowohl der Weg als auch dieKraft Vektorcharakter haben, muss die präzise Formulierung „Skalarprodukt vonKraftvektor mal Wegvektor“ heißen. Zur Berechnung z. B. der Federarbeit ist zu be­rücksichtigen, dass der Kraftvektor vom Federweg abhängt und somit nur für eininfinitesimales Wegstück als konstant angesehen werden kann. Somit erhalten wiralsodortalsSkalarproduktdesKraftvektorsmiteinemInkrement¹desVerschiebungs­vektors ein Arbeitsinkrement und aus der Summierung (Integration) aller Arbeitsin­kremente die geleistete Arbeit.Zur Bestimmung dieser Arbeit bringen wir die LastFschrittweise auf, bis die End­lastF0mitderVerlängerungsgemäßAbbildung11.1aerreichtist.Dabeidurchläuftder1Inkrement ‹lat.›: Zuwachs.https://doi.org/10.1515/9783110425031-011
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