3. Theorie der Punktgruppen

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This chapter is in the book Molekülsymmetrie und Spektroskopie

3 Theorie der PunktgruppenGrundlage für die Anwendung der Symmetrieelemente aus Kapitel 2 zu Aussagenüber bestimmte Moleküleigenschaften ist dieGruppentheorie.WeilaberdieGesamt-heit aller Symmetrieoperationen eines Moleküls wenigstens einen Punkt im Raumunverändert lässt, durch den alle Symmetrieelemente verlaufen, spricht man hiervonPunktgruppen. Jedes Molekül lässt sich einer Punktgruppe zuordnen. Den unter-schiedlichen Symmetrieelementen der Moleküle entsprechen hierbei unterschiedli-che Punktgruppen.3.1 GruppentheorieEine Gruppe enthält eine endliche oder unendliche Menge von Operationen, die be-stimmte Bedingungen erfüllen. Diese Operationen bilden die Elemente einer Gruppe.Hierzu müssen folgende Voraussetzungen (Axiome) erfüllt sein:3.1.1 Gruppenaxiome(0) Es besteht ein Verknüpfungsgesetz, ×, dasProduktgenannt wird (nicht notwen-digerweise identisch mit der Rechenoperation Multiplikation).(1) Es gilt das Gesetz derAbgeschlossenheit, jedesProduktzweier Elemente oder dasProdukt eines Elements mit sich selbst ist wieder ein Element der Gruppe.(2) Es gilt dasAssoziativgesetz. Das Produkt von Operatoren ist assoziativ, d. h., Ope-rationen können beliebig zusammengefasst werden, solange die Reihenfolge er-halten bleibt. Das Produkt dreier ElementeA,B,Cist unabhängig davon, ob mandas ProduktA×BmitCoderAmit dem ProduktB×Cbildet.(3) Die Menge besitzt einEinselement Emit folgenden Eigenschaften:E×A=A×E=A.(4) JedesElementder MengebesitzteininversesElement. DasProdukteinesElements(Operators) mit seinem Inversen ergibt die Identität.Die Erfüllung der Axiome (1) bis (4) besagt, dass die Operatoren eineGruppebilden.Die Erfüllung eines fünften Axioms (5), dasKommutativgesetz, ist keine Bedin-gung dafür, dass die Elemente eine Gruppebilden, kann aber sehr nützlich für dieAnalyse eines Problemssein. Man redet indem Fall von einerkommutativenoderabel-schenGruppe:(5) Es gilt dasKommutativgesetz. Die Reihenfolge von Operatoren spielt keine Rollefür den Wert eines Produkts.

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3 Theorie der PunktgruppenGrundlage für die Anwendung der Symmetrieelemente aus Kapitel 2 zu Aussagenüber bestimmte Moleküleigenschaften ist dieGruppentheorie.WeilaberdieGesamt-heit aller Symmetrieoperationen eines Moleküls wenigstens einen Punkt im Raumunverändert lässt, durch den alle Symmetrieelemente verlaufen, spricht man hiervonPunktgruppen. Jedes Molekül lässt sich einer Punktgruppe zuordnen. Den unter-schiedlichen Symmetrieelementen der Moleküle entsprechen hierbei unterschiedli-che Punktgruppen.3.1 GruppentheorieEine Gruppe enthält eine endliche oder unendliche Menge von Operationen, die be-stimmte Bedingungen erfüllen. Diese Operationen bilden die Elemente einer Gruppe.Hierzu müssen folgende Voraussetzungen (Axiome) erfüllt sein:3.1.1 Gruppenaxiome(0) Es besteht ein Verknüpfungsgesetz, ×, dasProduktgenannt wird (nicht notwen-digerweise identisch mit der Rechenoperation Multiplikation).(1) Es gilt das Gesetz derAbgeschlossenheit, jedesProduktzweier Elemente oder dasProdukt eines Elements mit sich selbst ist wieder ein Element der Gruppe.(2) Es gilt dasAssoziativgesetz. Das Produkt von Operatoren ist assoziativ, d. h., Ope-rationen können beliebig zusammengefasst werden, solange die Reihenfolge er-halten bleibt. Das Produkt dreier ElementeA,B,Cist unabhängig davon, ob mandas ProduktA×BmitCoderAmit dem ProduktB×Cbildet.(3) Die Menge besitzt einEinselement Emit folgenden Eigenschaften:E×A=A×E=A.(4) JedesElementder MengebesitzteininversesElement. DasProdukteinesElements(Operators) mit seinem Inversen ergibt die Identität.Die Erfüllung der Axiome (1) bis (4) besagt, dass die Operatoren eineGruppebilden.Die Erfüllung eines fünften Axioms (5), dasKommutativgesetz, ist keine Bedin-gung dafür, dass die Elemente eine Gruppebilden, kann aber sehr nützlich für dieAnalyse eines Problemssein. Man redet indem Fall von einerkommutativenoderabel-schenGruppe:(5) Es gilt dasKommutativgesetz. Die Reihenfolge von Operatoren spielt keine Rollefür den Wert eines Produkts.

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