4. Erwartungswert und Varianz

Hans-Otto Georgii

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4 Erwartungswert und VarianzReellwertige Zufallsvariablen besitzen zwei fundamentale Kenngrößen: den Erwar-tungswert, der den „mittleren“ oder „typischen“ Wert der Zufallsvariablen angibt, unddie Varianz, welche als Maß dafür dient, wie stark die Werte der Zufallsvariablen typi-scherweise vom Erwartungswert abweichen. Diese Größen und ihre Eigenschaften sindGegenstand dieses Kapitels. Als erste Anwendungen des Begriffs des Erwartungswertsbehandeln wir das Wartezeitparadox und – als kleine Kostprobe aus der Finanzmathe-matik – die Optionspreistheorie. Ferner betrachten wir erzeugende Funktionen vonganzzahligen Zufallsvariablen, mit deren Hilfe man (unter anderem) Erwartungswertund Varianz manchmal bequem berechnen kann.4.1 Der ErwartungswertZur Einführung des Erwartungswerts für reellwertige Zufallsvariablen beginnen wirmit dem einfacheren Fall von Zufallsvariablen mit höchstens abzählbar vielen Werten.4.1.1 Der diskrete FallSei(,F,P)ein Wahrscheinlichkeitsraum undX:→Reine reelle Zufallsva-riable.Xheißtdiskret, wenn die WertemengeX()= {X(ω):ω∈}höchstensabzählbar ist.Definition:SeiXeine diskrete Zufallsvariable. Man sagt,Xbesitzt einen Erwartungs-wert, wenn∑x∈X()|x|P(X=x) <∞.In dem Fall ist die SummeE(X)=EP(X):=∑x∈X()x P(X=x)wohldefiniert und heißt derErwartungswertvonX. Man schreibt dannX∈L1(P)oder, wennPnicht hervorgehoben zu werden braucht,X∈L1.Es folgen zwei grundlegende Beobachtungen zu dieser Definition.

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4 Erwartungswert und VarianzReellwertige Zufallsvariablen besitzen zwei fundamentale Kenngrößen: den Erwar-tungswert, der den „mittleren“ oder „typischen“ Wert der Zufallsvariablen angibt, unddie Varianz, welche als Maß dafür dient, wie stark die Werte der Zufallsvariablen typi-scherweise vom Erwartungswert abweichen. Diese Größen und ihre Eigenschaften sindGegenstand dieses Kapitels. Als erste Anwendungen des Begriffs des Erwartungswertsbehandeln wir das Wartezeitparadox und – als kleine Kostprobe aus der Finanzmathe-matik – die Optionspreistheorie. Ferner betrachten wir erzeugende Funktionen vonganzzahligen Zufallsvariablen, mit deren Hilfe man (unter anderem) Erwartungswertund Varianz manchmal bequem berechnen kann.4.1 Der ErwartungswertZur Einführung des Erwartungswerts für reellwertige Zufallsvariablen beginnen wirmit dem einfacheren Fall von Zufallsvariablen mit höchstens abzählbar vielen Werten.4.1.1 Der diskrete FallSei(,F,P)ein Wahrscheinlichkeitsraum undX:→Reine reelle Zufallsva-riable.Xheißtdiskret, wenn die WertemengeX()= {X(ω):ω∈}höchstensabzählbar ist.Definition:SeiXeine diskrete Zufallsvariable. Man sagt,Xbesitzt einen Erwartungs-wert, wenn∑x∈X()|x|P(X=x) <∞.In dem Fall ist die SummeE(X)=EP(X):=∑x∈X()x P(X=x)wohldefiniert und heißt derErwartungswertvonX. Man schreibt dannX∈L1(P)oder, wennPnicht hervorgehoben zu werden braucht,X∈L1.Es folgen zwei grundlegende Beobachtungen zu dieser Definition.

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