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IX. Endliche projektive Ebenen und Räume

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Einführung in die Kombinatorik
This chapter is in the book Einführung in die Kombinatorik
IX Endliche projektive Ebenen und R ̈aumeJeder Mathematikstudent lernt irgendwann einmal etwas projektive Geometrie undbegegnet dabei jener herrlichen inneren Symmetrie dieser Theorie, die sich in demauf den franz ̈osischen Mathematiker Joseph Diaz Gergonne (1771 – 1859) zur ̈uck-gehenden”Dualit ̈atsprinzip“ ausdr ̈uckt. Ferner lernt man meist auch etwas ̈uber dasgeometrische Rechnen mit Doppelverh ̈altnissen und den Widerschein von Rechen-gesetzen in sogenannten geometrischen Schließungss ̈atzen, unter denen der Satzvon Desarguesdereinfachsteist.ManlerntbeidieserGelegenheitauch,daßderSatzvon Desargues in projektiven R ̈aumen einer Dimension≥3fast trivial ist, in pro-jektiven Ebenen (Dimension 2) dagegen verletzt sein kann (”nicht-desarguesscheEbenen“). Auf jeden Fall spielen die projektiven Ebenen eine Sonderrolle, und essind ihnen ganze Monographien gewidmet worden.Die Theorie der endlichen projektiven Geometrien ist zugleich eines der sch ̈on-sten Kapitel der Kombinatorik; in diesem Abschnitt wollen wir typische Einblickein diese Theorie gewinnen. Wir lernen zun ̈achst einige allgemeine Eigenschaftenendlicher projektiver Ebenen und R ̈aume kennen und diskutieren Existenzfragen.Im Anschluß daran beweisen wir einen Satz ̈uber Polarit ̈aten; damit bereiten wiruns auch auf eine interessante Anwendung vor, n ̈amlich das Freundschaftstheo-rem von Erd ̋os, Rényi und Sós [1966]. Danach konstruieren wir besonders sch ̈oneKollineationsgruppen projektiver Geometrien, die sogenannten Singergruppen.Alsn ̈achstes betrachten wir dann einige interessante kombinatorische Unterstrukturenin projektiven Geometrien, n ̈amlich einerseits die sogenannten B ̈ogen, die in engemZusammenhang zu den im vorigen Kapitel eingef ̈uhrten MDS-Codes stehen, undandererseits Unterebenen und Blockademengen. Schließlich werden wir noch eineAnwendung der projektiven Geometrie in der Kryptographie darstellen und kurzauf affine Ebenen und R ̈aume eingehen.Trotzdem k ̈onnen wir nur einige Kostproben aus einem sehr umfangreichenGebiet geben, die hoffentlich beim Leser den Appetit auf weiterf ̈uhrende Lekt ̈ureanregen werden. Allgemeine Darstellungen der projektiven Geometriefindet manbeispielsweise bei Veblen und Young [1916], Lenz [1965], Coxeter [1987] oderBeutelspacher und Rosenbaum [1992]. Speziell f ̈ur projektive Ebenen seien dieMonographien von Dembowski [1968], Pickert [1975], L ̈uneburg [1980], Kallaher[1981] sowie Hughes und Piper [1982] genannt. Das Studium endlicher projektiver

IX Endliche projektive Ebenen und R ̈aumeJeder Mathematikstudent lernt irgendwann einmal etwas projektive Geometrie undbegegnet dabei jener herrlichen inneren Symmetrie dieser Theorie, die sich in demauf den franz ̈osischen Mathematiker Joseph Diaz Gergonne (1771 – 1859) zur ̈uck-gehenden”Dualit ̈atsprinzip“ ausdr ̈uckt. Ferner lernt man meist auch etwas ̈uber dasgeometrische Rechnen mit Doppelverh ̈altnissen und den Widerschein von Rechen-gesetzen in sogenannten geometrischen Schließungss ̈atzen, unter denen der Satzvon Desarguesdereinfachsteist.ManlerntbeidieserGelegenheitauch,daßderSatzvon Desargues in projektiven R ̈aumen einer Dimension≥3fast trivial ist, in pro-jektiven Ebenen (Dimension 2) dagegen verletzt sein kann (”nicht-desarguesscheEbenen“). Auf jeden Fall spielen die projektiven Ebenen eine Sonderrolle, und essind ihnen ganze Monographien gewidmet worden.Die Theorie der endlichen projektiven Geometrien ist zugleich eines der sch ̈on-sten Kapitel der Kombinatorik; in diesem Abschnitt wollen wir typische Einblickein diese Theorie gewinnen. Wir lernen zun ̈achst einige allgemeine Eigenschaftenendlicher projektiver Ebenen und R ̈aume kennen und diskutieren Existenzfragen.Im Anschluß daran beweisen wir einen Satz ̈uber Polarit ̈aten; damit bereiten wiruns auch auf eine interessante Anwendung vor, n ̈amlich das Freundschaftstheo-rem von Erd ̋os, Rényi und Sós [1966]. Danach konstruieren wir besonders sch ̈oneKollineationsgruppen projektiver Geometrien, die sogenannten Singergruppen.Alsn ̈achstes betrachten wir dann einige interessante kombinatorische Unterstrukturenin projektiven Geometrien, n ̈amlich einerseits die sogenannten B ̈ogen, die in engemZusammenhang zu den im vorigen Kapitel eingef ̈uhrten MDS-Codes stehen, undandererseits Unterebenen und Blockademengen. Schließlich werden wir noch eineAnwendung der projektiven Geometrie in der Kryptographie darstellen und kurzauf affine Ebenen und R ̈aume eingehen.Trotzdem k ̈onnen wir nur einige Kostproben aus einem sehr umfangreichenGebiet geben, die hoffentlich beim Leser den Appetit auf weiterf ̈uhrende Lekt ̈ureanregen werden. Allgemeine Darstellungen der projektiven Geometriefindet manbeispielsweise bei Veblen und Young [1916], Lenz [1965], Coxeter [1987] oderBeutelspacher und Rosenbaum [1992]. Speziell f ̈ur projektive Ebenen seien dieMonographien von Dembowski [1968], Pickert [1975], L ̈uneburg [1980], Kallaher[1981] sowie Hughes und Piper [1982] genannt. Das Studium endlicher projektiver

Chapters in this book

  1. Frontmatter 8
  2. Inhaltsverzeichnis 16
  3. I. Das kleine Einmaleins der Kombinatorik 1
  4. II. Der Heiratssatz und seine Verwandten 23
  5. III. Orthogonale lateinische Quadrate 62
  6. IV. Der Satz vom Diktator 87
  7. V. Fastperiodische 0-1-Folgen 96
  8. VI. Der Satz von Ramsey 104
  9. VII. Der Satz von van der Waerden 112
  10. VIII. Codes 128
  11. IX. Endliche projektive Ebenen und Räume 171
  12. X. Blockpläne 209
  13. XI. Symmetrische Blockpläne und Differenzmengen 241
  14. XII. Partitionen 277
  15. XIII. Die Abzähltheorie von Pólya 292
  16. XIV. Kombinatorische Betrachtungen topologischen Ursprungs 314
  17. XV. Spiele auf Graphen 338
  18. XVI. Spezielle Folgen von ganzen Zahlen 350
  19. Backmatter 369
Readers are also interested in:
https://doi.org/10.1515/9783110197990.171

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  1. Frontmatter 8
  2. Inhaltsverzeichnis 16
  3. I. Das kleine Einmaleins der Kombinatorik 1
  4. II. Der Heiratssatz und seine Verwandten 23
  5. III. Orthogonale lateinische Quadrate 62
  6. IV. Der Satz vom Diktator 87
  7. V. Fastperiodische 0-1-Folgen 96
  8. VI. Der Satz von Ramsey 104
  9. VII. Der Satz von van der Waerden 112
  10. VIII. Codes 128
  11. IX. Endliche projektive Ebenen und Räume 171
  12. X. Blockpläne 209
  13. XI. Symmetrische Blockpläne und Differenzmengen 241
  14. XII. Partitionen 277
  15. XIII. Die Abzähltheorie von Pólya 292
  16. XIV. Kombinatorische Betrachtungen topologischen Ursprungs 314
  17. XV. Spiele auf Graphen 338
  18. XVI. Spezielle Folgen von ganzen Zahlen 350
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Downloaded on 10.10.2025 from https://www.degruyterbrill.com/document/doi/10.1515/9783110197990.171/html?licenseType=restricted&srsltid=AfmBOoq14x-mdRta0xtxrGd2bt4G_00v984_YNCfbiQHjxklDHiOhUkL
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